Panoptic 解析 (一)：前世今生
談 Perpetual Option 與 AMM LP 之間的關係
前言
Panoptic 在 2022 年發佈白皮書以來，一直算是 DeFi 圈帶著一點神秘光環的明星項目，上個月又公布多融了 7M，預計明年 Q1 要讓 V1 正式上線，也宣布 2025 會有 v2，是大家引頸期盼的下一個新星。大家都知道他們主打要通過 Uniswap v3 搞 options，但是好像很少人真的理解他們到底做了什麼，以及其背後的原理。今天我們一起就來覆盤一下這個神秘項目。
由於篇幅較長，而且有許多需要知道的先備知識以及跟 Protocol 設計沒有直接關係的「存在原理」，因此一共分成上下兩篇來介紹：
(1) Panoptic 解析（一）：前世今生
(2) Panoptic 解析（二）：協議介紹
本篇將會著重在介紹永續選擇權（Perpetual Option）、它與 AMM LP 之間的關係。主要將會解釋為什麼 Panoptic 會存在、會以什麼方式存在，還有他們白皮書提出來的重點假設。
P.S.有時候講買權賣權很容易搞混，以下統一使用英文 Call & Put
Option & Orderbook — 選擇權與訂單簿的關係
在進入 Panoptic 之前，我們先稍微提一個簡單的觀念，就是「訂單」跟「選擇權」間巧妙的關係。
首先我們回歸到一個 call （買權）的定義：持有 call 的人，可以在到期日之前選擇執行，並用行權價格 (strike price) 買到對應資產。例如我買了一個 $1000 ETH call ，我就可以在 ETH 高過 1000 的時候，仍然只用 1000 買到一個以太，所以只要以太漲到高於 1000 ，高出的價差就是賺到的錢。
這其實就相當於我在一個一般交易所中，拿了別人的一個訂單 (order)，然後我可以在任何時候選擇，要不要拿這個訂單給交易所媒合。
因此，如果我可以說服別人給我一個「賣單」，確保我可以用一個 1000 的價格買到一個 eth，其實這就跟我買到 (long) 一個 call option 是一樣的。相反的，在交易所掛一個以太的賣單，就是 short call option。在這個情況下，你設定的訂單失效時間，就是這個 option 的到期日。
因此這裡有一個小小的 takeaway，就是以後你在交易所掛單的時候，要知道這其實等於平白送給市場一個 option，代表你白白損失了一些本來可以收取的權利金！所以千萬不要掛一個長期有效的訂單，否則可能損失的收益比想像中還要高。
Uniswap V3
眾所周知，Uniswap V3 的一大特色就是集中流動性 (Concentrated Liquidity)，大家可以自由決定要在哪個價格區間提供流動性，也就代表你可以把 Uniswap 當作一個訂單簿來使用。唯一不同的是，在 Uniswap 中，提供一個 LP position是沒有到期日的，也就是說這裡「掛的單」是沒有有效期限的。所以，如果掛一般有效期的訂單是賣選擇權，掛一個沒有效期的訂單是不是就是賣「永續選擇權 perpetual option」？
Panoptic 的 CEO Guillaume Lambert 在 Uniswap V3 問世後不久，就寫了下面這篇文章，解釋了我們上面所說的猜想：Uniswap LP 其實跟 short perpetual option 是相同的。（還不確定什麼是 Perpetual option 沒關係，馬上就會說到了）
這篇文章算是由一個倉位價值（position value）的角度，解釋了上面的關聯性。把這篇文章總結在一張圖裡可以看出：
- 左圖：當我們提供流動性在一個比較寬的 range 時，看得出有一個弧線範圍，我們的 LP position 是由 ETH 與 Dai 組成。這就是我們一般比較常見的 LP position 價值、隨 underlying 變動的圖。
- 右圖：當我們把流動性集中在一個很窄的 range (single tick) 時，一但價格超過某個值，整個 LP position 就變成 Dai，相當於賣掉了原本的 delta 1 asset。這整個價值曲線，就變成經典的 covered call payout。
但別忘了，這個圖像的是 covered call 的 “payout diagram”。傳統上，賣一個 covered call 真正的收益其實是一開始收取的權利金 (premium)，接著在這個選擇權到期的時候，最終價值會收斂到上右圖這個 diagram。在 Uniswap 當 LP 並沒有權利金或到期日等概念，但可以賺取交易的手續費，因此不難猜，這裡暗示的，就是這樣新型態的 perpetual option 中，將會透過「交易手續費」來負擔 short 方的收益。
這篇文章其實沒有涵蓋太多東西，只是用另一個角度解釋我們的猜想 — Uniswap LP 可以當作 perpetual option。
Perpetual Option — 永續選擇權
前面一直提到這個叫 perpetual option 這個東西，這邊稍微展開一下。
其實 perpetual option 是一個傳統金融就存在的商品，簡稱為 XPO，就是永遠沒有到期日的選擇權。換個角度來說，它還是一個需要執行、實物交割的選擇權，只是沒有到期日。理論上一個到期日無限長的選擇權理論上價格是無限大（無法定價），因此無法一開始就預付一個權利金；反之，需要用 streaming 的方法，讓買方不斷的付給賣方錢，這樣才比較合理。
P.S. 傳統金融中定義上並沒有明確的講這種商品怎麼交易，以及權利金怎麼支付，只說通常只有很特定的情況下才會使用到這樣的合約。當買賣雙方決定進行一個 XPO 交易時，他們可能過了 一天，或 20 天、或 50 天就會關倉，也有可能一直等到有一方行權才結算。總之這個「賭注」不像一般選擇權有自動結束的一天。
Paradigm 研究員 Dave White 兩年前跟 SBF 一起發過一篇 Everlasting Option (EO) 的研究，跟它有點類似，但是 EO 是用 perp 與 funding rate 的觀念來詮釋這個衍生品。其中上面說到 streaming 權利金的地方，也改成利用 funding 支付，也沒有所謂的行權這件事了。不過這些跟 Panoptic 就比較沒有關係了，這些用 funding 來做的新衍生品都算是另外一個家族，這裡就不展開，有興趣的可以去看我之前對 Power Perp 的介紹。
Uniswap V3 與 Perpetual Option 的關係
我們再回來說道 Uniswap V3 與 perpetual option 的關係。上面的那篇文章沒有太多內容，但下面這篇文章就有趣了，也更大程度地奠定了 Panoptic 的基礎：
我這裡擷取了文章自己總結的 TL;DR 給大家：
Perpetual Options can be deployed right now between any two assets, for any expiration time (not just 1DTE), at any delta (not just ATM), and without the need to deploy an intermediary protocol.
簡單的說：他們找到了一個神奇的公式，讓你可以利用部署不同的 Uniswap LP Price Range，來達到模擬不同「到期時間」以及不同「delta」的 perpetual option 價值曲線的效果。例如：我想要模擬一個還有 45 天到期 (DTE, Days till expiry = 45)，並且 delta = 0.5 的 short call，就可以用它的神奇公式算出 price range。
近一步看一下兩個結論的分析：
(1) 透過選擇 r (tick range)，決定 LP Position 模擬了多少 DTE 的 option
其中兩者的關係像是下圖：左邊是不同的 covered call 價值在 DTE 變動下的變化，最右邊則是自定義的參數 r 變動下 LP Position 的價值變化。
其中 r = √(tH/tL) ，tH, tL 分別是 Tick 的 upper bound 以及 lower bound。 如果 r 值是 1.2，代表一個 range 的上下界差了 1.2²，代表我們要把設定一個 [k / r, k * r] 的 price range。假如 k 是 1000，即為 [833, 1200]。
厲害的是，他發現由 r 我們可以很好地去複製不同到期日的 option pricing，並且可以有一個公式可以把 DTE 對應到 r 上。 我們可以觀察到，右邊在 r = 1 的時候，就是 single tick liquidity，回歸到我們前面講的 “payout diagram”，相當是一個到期時間剩下 0 (DTE = 0) 的選擇權（左圖）；而當 r 越大 （price range 越寬），就相當於 short 一個比較長期的 option。
下面就是這篇文章最重要推導出來的公式：T (到期日）與 rT 之間的關係。
舉一個實際的例子：假如你今天要用 Uniswap LP 模擬一個 45 天後到期的 1000 Short Call, 我們只要把 45 / 365 代進上面的公式的，就可以得到 rT，決定 range 有多寬。假如 rT 的答案是 1.2 ，你接著只要把 K 設定在 1000，就代表你現在只要部署一個 [833, 1200] Range 的 Uniswap LP，就相當於 Short ㄧ個 45 天後到期的 1000 Call。
要注意的是，這裡的公式僅是一個「逼近直」。觀察上圖也可以發現其實兩者沒有完全重合，尤其是離 strike price 越來越越遠的時候，就會越不準。
(2) 可以透過選擇 Strike Price (mid price for the range) 鎖定 delta
後半段講的如何固定一個倉位的 “delta”：假如我不知道我想要的 strike price 是什麼，但是我想要確保這個 position 的 delta 為 0.3 ，那我可以用一條新公式來算，要怎麼決定這個 strike price，也就是我去設定 LP Range 的時候的 K。
有興趣的人可以去這篇文章裡面看一下剩下的例子，也可以直接用這個 Desmos 玩一玩。
P.S. 如果對 delta 不熟，可以看我之前的這篇介紹，我也不知道這裡為什麼特別討論「想要一個特別 delta 」的情境 ，但總之這是一個在選擇權界很常看的指標，在一些情境下可能比直接決定 strike price 還有意義。
上述的結論 (1) 可以算是該文章最重要的結論。但上面的 TLDR 如果有認真看的話，會發現他最後說：Perpetual Options can be deployed right now …. without the need to deploy an intermediary protocol.
如前述，我們直接使用 Uniswap LP，就可以達到 short perpetual option 的效果，這裡更是直接下結論不需要其他的 intermediary protocol。那…. Panoptic 到底還要做啥呢…？
答案是，有不少可以改進的空間，以下就簡易列出兩個「直接使用現有 Uniswap LP Token」會遇到的問題：
- Long option 不容易: 原則上想要 long option，你要把別人的 LP position (short perpetual option) 借來賣，但現有的 Uniswap LP token 並不是 fungible，等於要遇到剛好有一個買方，想要一個一模一樣大小、執行價的，才有辦法跟賣方「媒合成功」。想要解決這個問題必須要重新設計 Uniswap Liquidity LP。
- 不支援複雜的選擇權組合（策略）：現有的 LP NFT，只支援一個單純的 short option。這除了不夠酷以外，在資金利用率上有許多限制。
由上面兩點可以發現，其實要做到 perpetual option 交易市場，就是要打造新的 Uniswap LP 借貸市場。這也是 Panoptic 的本體：
改進現有的 Uniswap V3 LP Token，並用它做出資金效率更佳、更好用的借貸市場。
剩下更多 Panoptic 這個協議的詳細介紹，且聽下回分解。
補充：LP Fee 與 Option Premium 的關係
上述的文章證明了 Uniswap LP 以及 covered call 有著非常類似的價值曲線。但若現在 Panoptic 像要說服大家：我們可以直接把 Uniswap V3 LP 當成 short perpetual option，那他的收益（Fee）跟傳統選擇權的權利金 (Premium) 這部分又有什麼關係呢？
Option Pricing vs Theta (θ)
Panoptic 的白皮書中提出：LP 這種一但進入一個範圍就會開始收手續費的 收益，可以想像成一個 short option 隨時間累積的 theta (θ) 價值。
Theta (θ) 的定義是選擇權價格 (V) 對於時間的微分，為的是看出一個倉位隨時間改變，其價格 (V) 的變化。一個 short option 的 θ 為正，代表每過去一個時間單位，如果其他條件都不，則這個倉位是淨賺的。
依照「theta 是 V 對時間微分」定義，把 θ 對時間積分積回來，會變回 V 乍看之下是一件很合理的事情。但如果我們假設 underlying 的價格在這段時間是可以自由變動的，那就有點難證明了。
換句話說，假設一段時間內一個資產可以隨機變動，那直接去加總每個時間點的 θ，還會給我們趨近於 Black-Scholes 原本運算出來的結果嗎？這方面並沒有什麼既有的研究支持，因此，我們無法推論「只要把所有時間點的 θ 加總，就會得到跟 Black-Scholes Pricing 一樣的結果」，也無法解釋直接推論這種 Steaming 收費方式是合理的。唯一能做的，就只有跑模擬了。
模擬結果
在本篇 Paper 中有被提出的實驗結果，就是他們用蒙地卡羅模擬來模擬了許多不同的價格曲線，並直接觀察「Uniswap LP 的邏輯累計手續費加總」與「相對應之 Short Option 由 Black-Scholes 定價」之間是否有關聯。
結論是：有相關性（向 Black-Scholes 的結果收斂），但是也有許多例外的狀況。
結論（一）：高度取決於價格路徑 (path-dependent)
這一結論其實不難想像：下圖的灰色部分就是設定好的 LP price range，圖中簡單化出三條不同價格路徑，對應到的不同收益（與 BS, Black-Scholes比較）。其中路徑不同，fee 可能從原本的 0% 變成 500%。
但這其實很廢話，沒有講每條線出現的機率的話，任何倉位都可以這樣形容，因此下一張圖就是讓我們看出到底這樣的定價方式跟 Black-Scholes 重合度多高。
結論（二）：跟 BS 定價「相呼應」
下圖即可翻譯成上面看到的路線出現比例分佈。在模擬過程中，以 7 天到期日舉例，有 33% 的 LP 從頭到尾都沒有收到 Fee，也就是有 33% 的路線走出來的結果是上面的綠色路徑（也就是下圖最左邊）。
這樣的分布顯示，路徑發生機率並沒有特別趨向集中在 100% of BS Price，也就是沒有與 BS 的定價吻合。但這就是每個人可以自行解釋的地方了，也可以解釋成 100% BS 滿接近上圖的分佈高峰點。以下是白皮書自己的結論：
Interestingly, the result does converge to the Black-Scholes price, but the distribution of option price can be quite large
不過，這也不代表用 LP Fee 作為權利金就很不合理，因為其實大家都知道 Black-Scholes 方程式是有問題的，否則也不會再選擇權世界出現這麼多定價定不準的問題。
小結
這裡一起總結一下 TL;DR
- 上述的 Paper 可以證明，Uniswap V3 LP 可以很好的復刻 short perpetual option position 的收益曲線（但當然無法完全複製）。透過改變不同的 tick range，其實就等於開不同 DTE 的 perpetual option。
- 這代表我們只要能夠更有效做 uniswap V3 LP 借貸，就可以打到打造完整的永續選擇權交易市場。
- 利用 Uniswap V3 打造出的 Perpetual Option，其中的 premium (權利金) 將透過交易手續費來補償。這方面模擬的結果到底有沒有說服你這個方式的合理性，可以自行下結論
以上就是關於 Panoptic 的前情提要，大概解釋了 Panoptic 作為一個協議是什麼，還有他要被稱為新的「Option AMM」其中隱含了哪些假設。希望大家看完這篇文章，對於 Oracle-less Option Protocol / AMM 這種 Buzz word 具備了一定的判斷能力，可以看懂他到底有多像 option 了！
更多關於他的設計細節，以及我對於 Panoptic 整體的評價，會放在下一篇文章裡。那我們就幾週後見啦！
