Введение
Движение по окружности часто встречается в природе и в деятельности человека. По окружности движутся спутники вокруг Земли (при упрощенном рассмотрении, на самом деле по эллиптической орбите), по окружности двигаются детали механизмов, ободы колес, шестерен, движение по окружности возникает при движении машин по закруглению дороги и так далее.
Рассмотрим равномерное движение тела по окружности.
Вектор скорости в таком случае направлен по касательной к окружности, и при движении не меняется по модулю, но, очевидно, изменяется по направлению.
Изобразим такое движение на схеме:
На схеме видно, как точка движется по окружности, из начального положения M переходит последовательно в положения М₁, М₂, М₃. Очевидно, что модуль вектора скорости в этих положениях не изменяется, а вектор всегда направлен по касательной окружности в этой точке.
Рассмотрим внимательнее перемещение точки из положения М в положение М₁ за интервал времени 𝛥t.
Отметим на рисунке векторы скоростей:
Эти скорости по модулю равны:
Найдем изменение скорости. Для этого надо из конечного вектора скорости вычесть вектор скорости в начальной точке:
Среднее ускорение за время 𝛥t по определению (ускорение есть изменение скорости за промежуток времени) будет равно:
Найдем модуль и направление вектора ускорения.
Вывод формулы определения модуля ускорения
Снова рассмотрим схему:
На схеме отмечены векторы:
И с помощью векторного вычитания отметим разность векторов скорости:
Для того, чтобы определить модуль среднего ускорения нам необходимо углубиться в геометрию.
Рассмотрим треугольники ОММ₁ и М₁АВ.
Это подобные треугольники. Докажем это:
во-первых, треугольники ОММ₁ и М₁АВ равнобедренные:
У треугольника ОММ₁ стороны ОМ = ОМ₁ (т.к. это радиусы окружности, по которой движется точка).
У треугольника М₁АВ стороны М₁А = АВ — так как это векторы скорости, их длина (модуль) не меняется во время движения.
Во-вторых, у треугольников ОММ₁ и М₁АВ равные углы при вершинах.
Докажем и это:
Эти углы равны, т.к. сторона ОМ треугольника ОММ₁ перпендикулярна стороне АВ треугольника М₁АВ, а сторона ОМ₁ треугольника ОММ₁ перпендикулярна стороне М₁А треугольника М₁АВ
(ведь ОМ и ОМ₁ — это радиусы окружности, а АВ и М₁А — это векторы скорости, направленные по касательной к окружности, а значит перпендикулярно радиусу).
Из курса геометрии вспомним теорему об углах с соответственно перпендикулярными сторонами: стороны одного угла соответственно перпендикулярны сторонам другого угла, то такие углы или равны, или в сумме составляют 180º.
В нашем случае очевидно что оба угла острые, соответственно они равны.
Снова вспоминаем курс геометрии, а именно теорему о подобии треугольников: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, заключенные между этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.
В нашем случае эти условия выполняются, стало быть треугольники ОММ₁ и М₁АВ подобны.
Для подобных треугольников мы можем составить пропорцию:
Вернемся из геометрии к физическому смыслу сторон наших треугольников, и запишем пропорцию в виде:
Разделим обе части равенства на промежуток времени 𝛥t:
Умножим обе части равенства на модуль скорости v:
Но ведь отношение разности скоростей к промежутку времени — это среднее ускорение:
а отношение вектора перемещения к промежутку времени — это средняя скорость:
Но нам необходимо найти модуль мгновенного ускорения. Для этого мы должны взять предельный случай, когда промежуток времени 𝛥t стремится к нулю.
В этом случае,
и
Значит равенство:
мы можем записать в виде:
или:
Вот мы и вывели формулу вычисления центростремительного ускорения.
А так как в равномерном движении по окружности — радиус окружности и модуль скорости остаются постоянными, то и модуль центростремительного ускорения тоже остается постоянным.
Далее, определим направление вектора ускорения.
Определение направления вектора центростремительного ускорения
Из названия центростремительного ускорения очевидно, что вектор ускорения направлен к центру окружности, по которой движется точка. Но, докажем это. Снова рассмотрим схему:
Вектор ускорения будет направлен так, как направлен вектор
при приближении промежутка времени к нулю.
Если
то точка М₁ приближается к точке М, а угол 𝜑 стремится к нулю.
Это значит, что угол ВМ₁А стремится к 90°.
А это значит, что угол между вектором изменения скорости и радиусом окружности при приближении промежутка времени к нулю тоже стремится к нулю. Таким образом, вектор мгновенного ускорения стремится к центру окружности.
Для наглядности, изобразим это на схеме:
мы видим как при уменьшении промежутка времени 𝛥t направление разности векторов 𝛥v все ближе и ближе приближается к радиусу (отмечен пунктирной линией), и в конце концов совпадает с радиусом и в предельном случае, вектор изменения скорости направлен строго к центру. Соответственно, строго к центру направлен и вектор мгновенного ускорения.
Итоговая схема векторов сил и ускорений
Изобразим векторы ускорения на схеме:
Выводы
Резюмируем: при равномерном движении точки по окружности (т.е. с постоянной линейной скоростью), модули скорости и ускорения остаются неизменными, вектор скорости постоянно направлен по касательной к окружности, а вектор центростремительного ускорения — к центру окружности.
Формула для определения центростремительного ускорения:
