La paradoja de Braess: cómo nos perdemos oportunidades de optimizar

Federico Pousa
Mar 11, 2019 · 7 min read

“Hace 30 años que estoy en esta industria, ya sé como hacer esto”. Una frase emblemática que hemos escuchado varias veces en diversas formas y con variaciones menores cuando charlamos con personas que día a día se enfrentan a un problema operativo que estaría bueno optimizar. La pregunta en estos casos es, ¿cómo le explicamos a esa persona que la optimización matemática de su proceso tiene sentido? ¿Cómo le decimos que no es su culpa que el proceso no se esté realizando de la mejor manera posible, sino que simplemente puede que sean demasiadas las opciones posibles para que una persona sea capaz de encontrar la mejor?

También puede pasar que no importa que la persona se las “sepa todas” sino que la mejor opción puede resultar anti-intuitiva y nunca hubiese sido considerada. Es acá donde la Paradoja de Braess nos puede dar una mano.

Durante mis estudios tuve la suerte de cursar más de una materia con el profesor Juan Pablo Pinasco. Pinasco no es solamente un excelente profesor de matemática, que logra explicar todo de la forma más intuitiva posible, sino que además aprovecha cada momento posible de sus clases para sumar algún dato interesante. En una de esas tantas veces, dijo algo parecido a “si tenemos una red de tráfico congestionada, podemos empeorarla si construimos una autopista más” y siguió con la clase. ¿Qué? No, pará, ¿no vas a seguir como si nada, no? Pero siguió, así que tuve que buscar después de qué estaba hablando. ¿Cómo puede ser que si uno quiere optimizar el tiempo de viaje en una red sea malo poner una autopista más? Pinasco estaba hablando de la Paradoja de Braess.

La llamada “Paradoja de Braess” fue presentada en 1968 por el propio Braess en el paper Uber ein Paradoxon aus der Verkehrsplanung o en criollo algo así como Sobre una paradoja en la planificación de tráfico.

El paper dice específicamente: “Si cada conductor toma el camino que parece el más favorable, los tiempos de manejo pueden no necesariamente ser los mínimos. Lo que es más, se indica con un ejemplo que una extensión a la red de caminos puede causar una redistribución del tráfico que resulta en tiempos de manejo individuales más largos.”

O sea que es verdad que, bajo ciertas condiciones, agregar un camino puede empeorar la situación.

Veamos cómo puede suceder eso con un ejemplo

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Supongamos que hay 200 autos que todos los días van de “Principio”(P) a “Fin”(F).

Para hacer ese camino hay dos alternativas, una que pasa por A y una que pasa por B. La que pasa por A primero tiene un camino en el que se tarda T/10 minutos, donde T es la cantidad de autos que lo usan. Luego hay un segundo tramo desde A hasta Fin que no depende de la carga del camino, sino que tiene un tiempo fijo de 25 minutos.

Yendo por B pasa algo parecido pero al revés. Primero hay un trayecto de tiempo fijo y luego uno de tiempo variable.

Si cada auto piensa de forma individual la mejor manera de viajar, se va a converger a una solución en donde 100 autos tomen el camino que va por A y 100 autos tomen el camino que va por B, y ambos caminos tomarían 25+100/10=35 minutos (si no estuviese balanceado, entonces hay un camino por el que se tarda un poco más y los autos de ese camino tendrían un incentivo para cambiar, por lo que no estaríamos en un equilibrio).

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Primera solución balanceada

De repente se construye un nuevo camino que nos puede llevar de A a B en tan solo un minuto. Los autos que tomaban el camino por A, ahora van a preferir llegar hasta A, luego cambiar a B y ahí seguir. No importa que el camino desde B hasta Fin ya esté cargado, aún con su carga total de 200 autos se recorre en 200/10=20 minutos que, sumado al minuto para ir de A hasta B, es mejor que los 25 que estaban usando antes para ir de A hasta fin.

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Se agregó un camino rápido de A a B

Ahora los autos que iban por la ruta que pasaba por B están furiosos. No solo no construyeron algo que les sirva, sino que ahora la segunda parte del camino está mucho más cargada y entonces tardan 25+200/10=45, cuando antes tardaban 35. Lo que es más, ahora sí tienen incentivo para cambiarse al camino Principio-A-B-Fin porque es mejor.

Después de que se cambian todos los autos de manera egoísta, ahora todos tardan 200/10+1+200/10=41 minutos. Es decir, luego de crear un camino super rápido nuevo, todos los autos tomaron sus decisiones de manera egoísta y el tiempo de viaje pasó de ser 35 minutos a ser 41 minutos para todos ellos. Esta solución de nuevo está en un equilibrio. Si bien todos empeoraron su tiempo de viaje, nadie tiene el incentivo individual de cambiar, ya que cambiar al camino Principio-B-Fin significaría tardar 45 minutos en total, perdiendo 4 minutos.

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Solución balanceada con la nueva autopista

Conclusión: Agregamos una autopista súper veloz de A a B. Todos los autos hicieron lo mejor posible para ellos mismos y todos terminaron perdiendo 6 minutos de viaje.

Lo que nos muestra esto es algo sobre lo que hablaba al principio. ¿Quién hubiera dicho que agregar una autopista a un red congestionada podía empeorar la situación? Es muy posible que el encargado de la planificación estratégica de la red nunca hubiese llegado ni a evaluar esta opción, menos que menos a elegirla como la mejor opción.

Esta paradoja de hecho llegó a tener su momento de fama con una aparición estelar en el New York Times. En 1990 se decidió clausurar una calle particular en Nueva York para una festividad y, para sorpresa de muchos, eso no solo no empeoró el flujo de tráfico en los alrededores, sino que lo mejoró.

Este salto a la fama se puede ver en https://www.nytimes.com/1990/12/25/health/what-if-they-closed-42d-street-and-nobody-noticed.html en donde se puede visualizar una explicación parecida a la de más arriba sobre el fenómeno.

Otra cosa interesante de esta paradoja es que no solo aplica para cuestiones de tráfico, sino que tiene su contraparte en otros procesos y sistemas. No voy a dar una explicación de cómo funcionan los resortes en serie y en paralelo porque estoy lejos de ser el indicado. Pero en https://www.youtube.com/watch?v=nMrYlspifuo se puede ver una aplicación física de la paradoja. En ese video hay una masa colgando de un sistema de resortes unidos de diversas maneras. Al cortar una de esas uniones (que de hecho está tensada, por lo que está siendo responsable de sostener la masa), la masa se mueve hacia arriba (si, leíste bien, hacia arriba).

Lógico, corto algo que sostiene, y todo va para arriba

La paradoja de Braess no tiene nada de paradójico sino que, como pasa con muchas otras llamadas paradojas, simplemente está conceptualizando un hecho que no es intuitivo. Son estos hechos los que son muy fáciles de pasar de largo por una persona que está a cargo de optimizar un proceso simplemente porque es “obvio” que esa opción no puede servir.

Hay muchos casos de situaciones anti-intuitivas cuando se quiere optimizar alguna cuestión. Un caso de juguete, pero que resulta muy ilustrativo, es el que se puede encontrar en https://blog.openai.com/faulty-reward-functions. En dicho experimento lo que se busca es hacer que la computadora aprenda a jugar un juego de carreras de lanchas. El objetivo, uno creería, es ganar la carrera porque esa es la forma de conseguir más puntos. Es lo que toda persona razonable hubiese hecho si se la hubiese puesto a jugar.

La cuestión es que en este juego se pueden sumar puntos también agarrando ciertos items en la pista. Los puntos que se agarran por esos items son muy pocos en comparación con ganar la carrera, pero si de repente agarro muuuchos items…

Después de un rato aprendiendo a jugar a la supuesta carrera de lanchas, la computadora se dio cuenta que existe un pequeño ciclo repetible en el medio de la pista en el que se pueden sumar muchos más puntos que ganando la carrera. No importa que se la dé contra la pared. No importa que se choque contra un barco y la lancha se prenda fuego. En ese ciclo cortito la lancha agarra 3 items. Ese ciclo se puede repetir muchísimas veces mientras otras ilusas lanchas buscan ganar la carrera. Cuando se termina la carrera, la lancha que cruzó primero la línea festeja alocadamente, solo para darse cuenta que una lancha que nunca llegó y que se prendió fuego reiteradas veces sumó en el orden de 20% más de puntos.

Qué poco me importa la carrera

Este es otro ejemplo claro en donde la solución vencedora posiblemente nunca hubiese sido considerada por un experto de dominio.

En resumen:

  • Optimizar no es fácil: más allá de la cantidad de soluciones posibles a considerar, es posible que el sesgo humano para buscar la solución a un problema sea demasiado fuerte.
  • Esto no quiere decir que el sesgo no sirva para resolver problemas (de hecho sirve y mucho). Sumar un camino a una red congestionada puede no ser bueno, pero esto solo sucede en algunos casos puntuales. No vale usar estas paradojas para sentarse y no hacer nada y seguir teniendo solamente la General Paz como única opción para circundar toda la Ciudad de Buenos Aires.
  • Sumar un camino siempre es bueno en realidad, solo que hay que tomar la decisión centralizada. Tal vez lo que había que cambiar era el enfoque de cómo se están tomando las decisiones.

Eryx

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