Kenali “e”, Salah Satu Bilangan Terpenting dalam Sejarah Matematika!
Bagi Sahabat Pintar yang suka sekali dengan matematika, pasti tidak asing dengan percakapan seperti “logaritma natural” dan “e pangkat x”. Namun untuk mereka yang masih awam, pasti akan diam atau bengong seakan tahu tapi tidak tahu. Tidak perlu khawatir, simak konten ini dan kalian semua akan paham dan kenal dengan konstanta menarik ini, “e”!
Jadi, Apa Sih “e” Itu?
Menurut Wikipedia, konstanta “e” yang diketahui juga sebagai Bilangan Euler, didefinisikan sebagai konstanta matematika yang berawal dari hasil limit:
dengan n mendekati tak hingga. Tidak perlu khawatir dengan definisi yang terlihat membingungkan ini, anggaplah definisi di atas hanyalah pengenalan awal sebagai tahap untuk mengenal lebih dalam.
Seperti yang sudah Sahabat Pintar ketahui, memberikan definisi saja akan terasa membingungkan dan tidak terbayangkan untuk khalayak umum. Jadi, mari kita buat pengandaian yang masuk akal, yaitu dengan uang dan bank.
Katakanlah, Sahabat Pintar menaruh modal di bank sebesar 1 juta rupiah. Kemudian bank tersebut memberikan suku bunga yang sangat besar yaitu 100%. Suku bunga itu dihitung tahunan sehingga di akhir tahun kamu akan mendapatkan modal akhir sebesar 2 juta rupiah, menguntungkan, bukan? Perhitungan sederhananya adalah sebagai berikut:
(1 + 1)¹ = 2 juta rupiah
Kemudian di kasus lain, daripada menghitung suku bunga per tahun, bank tersebut memilih untuk memajemukkan suku bungamu menjadi 6 bulan sekali. Hasilnya, modal kamu akan bertambah dalam periode 6 bulan sekali, sehingga di akhir tahun, kamu akan mendapatkan modal akhir sebesar 2,25 juta rupiah. Perhitungannya adalah sebagai berikut:
(1 + 1/2)² = 2,25 juta rupiah
Kita coba lagi untuk memajemukkan suku bunganya menjadi sebulan sekali. Kamu akan mendapatkan modal akhir sekitar 2,62 juta rupiah, dengan perhitungannya adalah sebagai berikut:
(1 + 1/12)¹² = 2,61…. juta rupiah
Terlihat bahwa semakin sering kamu memajemukkan suku bunga, semakin banyak modal akhir yang kamu dapatkan di akhir tahun. Tentu hal seperti ini menarik namun jangan terlalu cepat mengambil kesimpulan dari pernyataan di atas.
Sekarang kita lihat jika periode dari bunga majemuknya menjadi setiap hari (365 hari).
(1 + 1/365)³⁶⁵ = 2,7145674… juta rupiah
Perlu diperhatikan bahwa selisih perubahan bunga majemuk dari bulanan ke harian lebih kecil dibandingkan dengan perubahan bunga majemuk dari tahunan ke bulanan. Pola ini berlanjut untuk bunga majemuk dengan periode waktu yang semakin kecil. Jika Sahabat Pintar memajemukkan bunganya hingga 1000 satuan waktu per tahun, total modal akhirnya pun hampir sama dengan bunga majemuk harian.
(1 + 1/1000)¹⁰⁰⁰ = 2,7169239… juta rupiah
Dapat kita lihat semakin banyak kita memajemukkan suku bunganya, jumlah uang atau modal akhir yang kita dapat di akhir tahun akan mendekati suatu nominal tertentu dan tidak bertambah sebanyak perhitungan di awal. Sekarang bayangkan jika kita dapat memajemukkan suku bunga sampai tak hingga waktu per tahun, berapa banyak modal akhir yang akan kita dapat?
Ya, jawabannya adalah e. Hasil dari perhitungan di atas menghasilkan bilangan irasional dan transendental, yang berarti tidak dapat dijadikan bentuk pecahan dan memiliki tak hingga angka di belakang koma. Nilai e dapat diaproksimasi yaitu setara dengan 2,7182818284…(Nominal ini mendekati hasil dari memajemukkan suku bunga hingga 10 ribu satuan waktu per tahun).
Dalam aplikasinya, Nilai e ini sangat berguna terutama saat kita memiliki suatu proses yang dihitung secara kontinu atau berkelanjutan. Dalam semua bidang sains selalu berbicara terkait proses yang berkelanjutan, sehingga penggunaan Nilai e ini ada dimana-mana.
Bilangan Euler
Sahabat Pintar yang masih awam dengan nilai e ini cenderung akan bingung kenapa nama dari nilai e ini adalah bilangan Euler? Pada tahun 1731, Matematikawan asal Swiss yang bernama Leonhard Euler memberikan nama untuk Nilai e sebagai “Bilangan Euler” setelah ia berhasil membuktikan sifat irasional dari nilai tersebut dengan melakukan ekspansi deret tak hingga menggunakan faktorial.
Kalkulus dan Bilangan Euler
Bilangan Euler ini sangat erat kaitannya dalam kalkulus karena memiliki sifat yang unik. Keunikannya adalah pada fungsi dasar
dimana gradien atau kemiringan dari fungsi tersebut pada setiap titiknya akan bernilai sama dengan nilai fungsi tersebut pada titik yang sama.
Kita ambil contoh ketika berada di titik x = 0, nilai dari f(0) = e⁰ = 1, kemudian untuk gradien di titik tersebut juga bernilai sama yaitu m = f ’(0) = e⁰ = 1. Maka dapat digambar grafik untuk kedua fungsi sebagai berikut:
Sekian pembahasan kali ini tentang salah satu bilangan terpenting dalam sejarah matematika. Semoga membuka wawasan Sahabat Pintar dan dapat belajar lebih dalam terkait penggunaan bilangan e ini, ya!
