PDKT dengan “Kombinatorika”, Lakukan 4 Langkah Ini untuk Kuasai Permutasi dan Kombinasi
Sahabat pintar, perlu kita ketahui bahwa kombinatorika telah menjadi topik yang cukup menarik untuk kita bicarakan, dan aplikasinya pun sudah diterapkan secara luas ke berbagai macam bidang seperti; ilmu komputer, kimia, fisika, teknik, dan lain-lain. Artikel ini dapat menjadi acuan dasar untuk membantu Sahabat Pintar memahami konsep dasar dari permutasi dan kombinasi, dua topik paling fundamental dan mendasar melalui 4 langkah berikut ini:
Pertama, Pahami Aturan Perkalian dengan Pengulangan
Bayangkan ketika kalian sedang berada di ruang makan untuk segera makan malam bersama keluarga, dan kalian melihat terdapat 3 jenis tudung saji dengan tiap tudung sajinya berisi 3 jenis makanan yang berbeda di dalamnya.
Ibu kalian bilang bahwa ia memasak 3 jenis lauk pauk yaitu ada ayam goreng, ikan bakar, dan semur daging. Kalian dan anggota keluarga lain masing-masing akan memakan lauk pauk tersebut, maka berapa banyak susunan dari lauk pauk tersebut yang akan dimakan oleh kalian?
Pada contoh kasus di atas, kalian mempunyai 3 pilihan lauk pada tudung saji pertama, 3 lauk pada tudung saji kedua, dan 3 lauk lagi pada tudung saji ketiga. Maka untuk keseluruhannya, kalian akan memiliki 3 x 3 x 3 = 27 banyaknya susunan dalam memilih lauk. Misalkan pada tudung saji pertama, kalian memilih ayam goreng, tudung saji kedua ayam goreng lagi, dan tudung saji ketiga kalian memilih semur daging, maka itu termasuk dalam 1 susunan.
Jika kalian totalkan semua kemungkinan susunan yang ada, maka hasilnya akan menjadi 27 susunan seperti pada perhitungan sebelumnya. Inilah yang merupakan contoh kasus dari aturan perkalian dengan pengulangan.
Secara umum, aturan perkalian ini memiliki definisi sebagai berikut:
Jika terdapat suatu kejadian sebanyak M kejadian, dan setiap kejadian dapat memiliki Ni kemungkinan hasil, maka jumlah susunan hasil yang didapat dari kejadian tersebut adalah N1 x N2 x …x NM.
Sekarang kalian sudah membaca dan diharapkan mengerti tentang penjelasan di atas. Selanjutnya kita akan lanjut menuju langkah yang kedua.
Kedua, Pahami Aturan Perkalian tanpa Pengulangan
Pada langkah kedua ini kita akan ambil kembali contoh kasus langkah pertama, namun akan terdapat perubahan pada hasilnya nanti. Kita tahu pada tiap tudung saji terdapat 3 jenis lauk pauk.
Namun sekarang, jika kalian sudah mengambil 1 jenis lauk pada salah satu tudung saji, kalian tidak dapat mengambil lauk yang sama pada tudung saji berikutnya. Sehingga, berapa banyak susunan dari lauk pauk yang akan kalian makan pada kasus ini?
Berbeda dengan kasus yang pertama dimana kalian bebas mengambil lauk yang sama pada setiap tudung saji, pada kasus ini kalian tidak bisa mengambil lauk yang sama pada tudung saji yang berikutnya. Pada tudung saji yang pertama, kalian masih bisa memilih ketiga lauk yang tersedia seperti misalnya kalian memilih ayam goreng.
Kemudian, pada tudung saji yang kedua, kalian tidak bisa memilih ayam goreng lagi, sehingga hanya terdapat dua pilihan yaitu ikan bakar dan semur daging. Begitupun selanjutnya pada tudung saji yang ketiga, kalian tidak bisa memilih lauk yang sudah kalian pilih di tudung saji sebelumnya. Dengan menggunakan aturan perkalian, perhitungannya akan menjadi 3 x 2 x 1 = 6, sehingga kalian memiliki 6 susunan yang berbeda untuk pengambilan lauk pauk yang tersedia.
Perbedaan mendasar antara perkalian dengan pengulangan dan tanpa pengulangan adalah ketika kalian sudah memilih satu pilihan, pilihan tersebut sudah tidak bisa digunakan kembali pada kejadian berikutnya. Disamping perbedaan tersebut, definisi dari aturan perkaliannya masih tetap sama.
Perhatikan contoh kasus sederhana berikut ini:
Misal kalian sedang berada di lapangan badminton dan melihat ada 4 orang pemain di lapangan tersebut. Kemudian terdapat satu babak yang membutuhkan 2 pemain untuk dipilih bertanding dengan memperhatikan urutannya. Berapa banyak susunan yang tersedia?
Solusi: 4 x 3 = 12. Susunan tersebut terdiri dari {AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA. DB. DC}
Ketiga, Pahami Aturan Perkalian ketika Urutan Tidak Diperhatikan
Pada contoh sebelumnya, kita berasumsi bahwa kita memperhatikan urutan dalam pilihan yang ada di setiap kejadian. Seperti pada contoh kasus lauk pauk sebelumnya, Kita berasumsi bahwa memilih ayam goreng di tudung saji pertama berbeda dengan memilih ayam goreng di tudung saji yang kedua, sehingga urutan yang kita pilih perlu diperhatikan. Pada langkah ketiga ini kalian perlu memahami suatu kejadian yang urutannya tidak diperhatikan.
Kita ambil contoh kasus pemain badminton pada soal sebelumnya. Pada kasus kali ini, daripada memilih pemain untuk bertanding, kita akan memilih 2 pemain yang akan dijadikan pelatih untuk mengajari anak-anak bermain badminton. Kali ini, kita tidak perlu memperhatikan pemain mana yang dipilih pertama dan terakhir. Maka berapa banyak susunan untuk 2 orang tersebut untuk dijadikan pelatih?
Seperti pada solusi di atas, kita punya 4 x 3 = 12 susunan jika urutan pemainnya diperhatikan, sekarang kita perlu menghitung susunannya ketika urutan pemainnya tidak diperhatikan. Sebelumnya, kita menghitung A B (tiap huruf melambangkan pemain) dan B A sebagai susunan yang berbeda, tapi sekarang, kita akan menggabungkannya menjadi 1 susunan karena A B maupun B A adalah pemain yang sama.
Hal yang perlu kita lakukan adalah menggabungkan setiap susunan yang memiliki huruf yang sama menjadi satu susunan saja. Untuk menghitung penggabungan huruf tersebut, berapa banyak susunan penggabungan untuk kasus 2 pemain yang dipilih ini?
Mengacu pada langkah pertama, maka kita memiliki 2 x 1 = 2 susunan untuk 2 pilihan pemain tersebut. Kemudian gabungkan perhitungan yang sudah kita dapatkan. Pertama kita mendapatkan 12 susunan dari langkah kedua, lalu kita susun ulang 2 susunan untuk pemain yang memiliki huruf yang sama menjadi 1 hitungan saja. Sehingga, total akhirnya kita akan mendapat (4 x 3)/(2 x 1) = 6 susunan (AB, AC, AD, BC, BD, CD).
Cara umum untuk menyelesaikan persoalan tersebut adalah dengan redaksi sebagai berikut: “Pilih m yang ada pada susunan sebanyak n (n >= m)”, yang berarti urutan dari kejadian tersebut tidak perlu kita perhatikan. Rumusan dari redaksi di atas adalah sebagai berikut:
Terakhir, Formulasikan Konsep yang Sudah Dipelajari ke Dalam Bahasa Matematika
Sekarang, sampai tahap ini, kalian diharapkan sudah mengerti logika dan konsep dari permutasi dan kombinasi. Yang perlu kalian lakukan adalah merepresentasikannya ke dalam bentuk operasi matematika untuk memudahkan pemahaman konsep yang kalian pelajari.
Pertama, kalian perlu tau bentuk operasi yang disebut sebagai faktorial (!). Faktorial didefinisikan sebagai berikut:
Jika n merupakan bilangan bulat, maka n! = n x (n-1) x (n-2) x (n-3) x … x 1.
Sekarang kita definisikan kombinasi dan permutasi ke dalam bentuk yang baru sebagai berikut:
Kombinasi: Kombinasi merupakan bentuk formal matematis dari redaksi “Pilih m dari n susunan”. Dengan bentuk faktorialnya yaitu
Permutasi: Permutasi merupakan bentuk formal matematis dari redaksi “Pilih m dari n susunan jika urutannya diperhatikan”. Dengan bentuk faktorialnya yaitu
Nah, seperti itulah konsep awal untuk kalian mengenali dan bisa lebih dekat dengan kombinatorika!
Konsep dasar ini dapat membuka pemahaman kalian untuk mempelajari materi-materi probabilitas yang lain dan akan memudahkan kalian dalam mengerjakan soal terkait peluang dan statistika dasar.
