Yuk, Mengenal Fungsi Kuadrat

Photo by Thomas T on Unsplash

Halo sobat pintar, matematika adalah bahasa universal yang merangkum aturan dan konsep untuk memahami dan menjelaskan berbagai fenomena di sekitar kita. Dalam dunia matematika, fungsi kuadrat adalah salah satu bentuk fungsi yang sangat penting dan merangkum sejumlah konsep matematis yang mendalam. Fungsi kuadrat menggambarkan hubungan matematis antara variabel yang dinyatakan dalam bentuk umum seperti berikut:

Pada bacaan di bawah ini, sobat pintar akan belajar mengenai sifat, aplikasi, dan beberapa hal yang berkaitan dengan fungsi kuadrat.

Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat merupakan sebuah fungsi polinomial atau suku banyak dimana pangkat tertinggi dari variabelnya adalah 2. Secara umum, bentuk dari fungsi kuadrat adalah seperti berikut:

Dengan a, b, dan c adalah konstanta dengan a tidak boleh sama dengan nol. Fungsi kuadrat memiliki beberapa komponen seperti berikut:

1. Variabel Independen (x), merupakan input dari suatu fungsi dimana nilai x dapat bervariasi dan fungsi akan memberikan outut yang sesuai.
2. Koefisien Kuadrat (a), merupakan koefisien dari suku x^2. Nilai a memengaruhi arah pembukaan parabola. Jika a > 0, parabolanya terbuka ke atas dan jika a < 0, parabolanya terbuka ke bawah.
3. Koefisien Linear (b), merupakan koefisien dari suku x dan nilai b akan memengaruhi kemiringan parabola.
4. Konstanta (c), merupakan suku bebas atau nilai ketika x = 0. Ini merupakan titik potong sumbu-y dari grafik.

Dari rumus tersebut, maka kita dapat mengetahui bentuk dari fungsi kuadrat. Untuk membuat grafik fungsi kuadrat, maka kita harus membuat tabelnya terlebih dahulu. Misalkan tabel fungsi kuadratnya adalah sebagai berikut:

Maka, gambar fungsi kuadrat berdasarkan tabel adalah sebagai berikut:

Sifat-Sifat Fungsi Kuadrat

Titik Puncak

Titik puncak grafik parabola terletak pada koordinat (h,k), dengan h adalah sebagai berikut:

dan k adalah sebagai berikut:

Akar-akar Fungsi Kuadrat

Akar-akar fungsi kuadrat (x1 dan x2) dapat ditentukan dengan menggunakan rumus ABC atau kuadratik.

Diskriminan

Diskriminan digunakan untuk menentukan sifat akar-akar fungsi kuadrat. Jika D > 0, fungsi memiliki dua akar real dan berbeda. Jika D = 0, fungsi memiliki dua akar real dan sama. Jika D < 0, fungsi tidak memiliki akar real.

Aplikasi Fungsi Kuadrat dalam Kehidupan Sehari-hari

Gerak Parabola dalam Fisika

Salah satu aplikasi utama fungsi kuadrat dapat dilihat dalam analisis gerak parabola, seperti gerak peluru. Untuk menentukan tinggi peluru pada waktu tertentu (t), maka kita dapat menggunakan persamaan berikut:

Analisis Biaya dan Pendapatan dalam Ekonomi

Fungsi kuadrat juga digunakan dalam analisis ekonomi. Misalnya, suatu perusahaan dapat menggunakan fungsi kuadrat untuk memodelkan biaya produksi, C(x) atau pendapatan R(x), dimana x adalah jumlah produk yang diproduksi atau dijual.

Desain Jembatan dan Struktur Bangunan

Fungsi kuadrat digunakan dalam rekayasa sipil untuk merancang struktur, seperti jembatan lengkung, Kurva parabola yang dibuat dengan menggunakan prinsip fungsi kuadrat sangat membantu insinyur dalam memprediksi bentuk optimal jembatan yang memiliki dukungan maksimal pada tengah dan meminimalkan beban di ujung jembatan.

Contoh Soal

Desa A dan desa C merupakan sebuah desa yang berada di kaki gunung Arjuna. Kedua desa dipisahkan oleh sungai. Untuk menghubungkan kedua desa, dibutuhkan jembatan seperti pada gambar di bawah ini. Terdapat terowongan di bawah jembatan dengan tinggi terowongan 4 meter dan lebarnya 6 meter. Sungai tersebut biasa digunakan oleh warga setempat untuk memindahkan kayu dengan menggunakan perahu. Perahu yang dapat melewati terowongan tersebut merupakan perahu yang memiliki ukuran (lebar dan tinggi dengan tinggi dihitung dari dasar perahu hingga atas kayu yang diangkut) tertentu.

Berdasarkan informasi di atas, jika titik tengah sungai menunjukkan koordinat (0,0), maka fungsi kuadrat yang menggambarkan persamaan terowongan pada jembatan adalah ….

Pembahasan:

Informasi yang didapatkan dari soal adalah tinggi terowongan adalah 4 meter dan lebarnya adalah 6 meter. Ilustrasi terowongan dapat dilihat pada gambar di bawah ini.

Berdasarkan ilustrasi tersebut, didapatkan bahwa titik puncak terowongan berada pada koordinat (xp,yp) = (0,4). Untuk menentukan fungsi kuadrat terowongan, kita dapat menggunakan salah satu koordinat yang diketahui, yaitu (-3,0) atau (3,0). Persamaan yang dapat menggambarkan fungsi kuadrat dari terowongan tersebut adalah sebagai berikut:

Koordinat yang kita gunakan adalah (x,y) = (3,0).

Substitusikan nilai a yang sudah diketahui ke fungsi kuadrat sebelumnya.

Jadi, fungsi kuadrat yang menggambarkan persamaan terowongan di atas adalah

Agar lebih memahami lagi materi tentang fungsi kuadrat, mari kita kerjakan kembali latihan soal berikut:

Dua orang anak sedang berlatih menendang bola dari pojok lapangan. Anak pertama menendang bola ke arah vertikal dengan sudut tertentu hingga kembali lagi jatuh ke tanah. Data waktu dan juga ketinggian dari bola anak pertama dapat dilihat pada tabel berikut:

Ketinggian bola anak pertama dapat dinyatakan sebagai fungsi tinggi (h) terhadap waktu (t), yaitu:

Sedangkan ketinggian bola anak kedua dapat dinyatakan sebagai fungsi tinggi (h) terhadap waktu (t), yaitu:

Berdasarkan informasi di atas, nilai k yang memenuhi persamaan bola anak pertama adalah ….

Pembahasan:

Informasi yang diketahui dari soal adalah data waktu dan ketinggian dari bola yang ditendang oleh anak pertama dan fungsi ketinggian terhadap waktu. Untuk menentukan nilai k, maka kita dapat mensubstitusikan nilai t dan juga h yang telah diketahui.

Untuk (t,h) = (0,0)

Didapatkan nilai k adalah k = 5 dan k = -5. Terdapat dua nilai k dan untuk menentukan serta memastikan nilai k mana yang digunakan, maka kita gunakan data selanjutnya.

Untuk (t,h) = (1,48)

Didapatkan hasil (2 — k) = 3 dan (2 — k) = -3.

Berdasarkan data kedua, didapatkan nilai k = 5 dan k = -1. Sehingga, dapat disimpulkan bahwa nilai k yang memenuhi persamaan bola anak pertama adalah k = 5.

Jadi, fungsi kuadrat merupakan salah satu konsep matematika yang mendalam dan memiliki aplikasi yang sangat luas dalam kehidupan sehari-hari. Sifat-sifatnya yang unik dan keberadaannya dalam berbagai aspek kehidupan membuktikan pentingnya pemahaman matematika dalam eksplorasi dan pengembangan dunia.

Fungsi kuadrat tidak hanya alat analisis, tetapi juga jendela keindahan matematika yang melibatkan kita dalam pemahaman yang lebih dalam tentang hubungan dan pola di sekitar kita.

Dengan memahami fungsi kuadrat, kita membuka pintu untuk penemuan baru dan pengaplikasian matematika dalam beragai bidang kehidupan dan ilmu pengetahuan.

Editor by Iftihal Muslim Rahman