Galileo Galilei: il linguaggio della natura

Vignetta tratta da Galileo Galilei di Paolo D’Antonio

Con l’occasione dell’uscita della mia recensione del volume Galileo Galilei per la Kleiner Flug scritto e disegnato da Paolo D’Antonio, mi sembra una buona idea provare a raccontare la figura di Galieo, mettendo insieme e rimontando tutto quello che ho scritto negli ultimi anni (link ai post originali in fondo) su una delle figure più importanti nella storia della scienza italiana, europea e mondiale.

Informazioni biografiche

In breve: Galilei nacque a Pisa i 15 febbraio del 1564, dove iniziò i suoi studi in medicina nel 1581: dopo 4 anni, però, abbandonò la sua città natale e la medicina, verso la quale era stato orientato dal padre, per andare a Firenze e riprendere attivamente le sue passioni verso la meccanica e l’idraulica. Tra i suoi esperimenti più importanti sono da ricordare quelli con il pendolo, il piano inclinato, il compasso proporzionale (che vendeva, con successo, ai suoi studenti), il micrometro e un primo tentativo di misurare la velocità della luce. Lo scienziato pisano, infatti, aveva intuito che la luce non poteva avere una velocità finita.
Ha insegnato matematica a Padova, occupandosi anche di oroscopi, pur se non credeva nel loro potere divinatorio. Egli, infatti, interpretava l’astrologia in termini utilitaristici: era utile per incassare maggior denaro, che utilizzava spesso per la sua famiglia (la madre, il fratello scialacquatore, la convivente, i figli) e per mantenere un tenore di vita agiato, ma anche e soprattutto per mantenere dei buoni rapporti con i personaggi più in vista del tempo che affidavano spesso le decisioni importanti agli oroscopi e alle previsioni astrologiche. In effetti l’astronomia moderna difficilmente sarebbe quello che è oggi senza l’astrologia, ma solo grazie a Galileo l’osservazione scientifica del cielo ha iniziato a distaccarsi dall’astrologia in maniera netta e definitiva. Galileo riteneva, in effetti, che l’astrologia non fosse scienza né lo potesse diventare: tra le sue carte astrologiche emerge un interesse prettamente matematico verso le carte natali: la maggior parte degli astrologi, invece, pur tenendo da conto i complessi calcoli matematici, sfruttavano di più le loro doti di psicologi per raccontare al cliente quello che voleva sentirsi dire [1].
Le sue opere più importanti: Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo tolemaico e copernicano, dove difende il sistema copernicano, parlando delle prove sperimentali a suffragio di questo modello; Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, dove pone le basi per la meccanica classica, utilizzando la matematica e gli esperimenti; Il Saggiatore, dove pone le basi per il metodo scientifico; Sidereus Nuncius, dove raccoglie tutte le sue osservazioni astronomiche.

Sempre da Galileo Galilei di Paolo D’Antonio

Carattere sanguigno

È un uomo facile all’ira, passionale e sanguigno, ma le sue collere durano poco e lasciano spazio all’allegria. Le sue lezioni universitarie sono ormai famose a Padova: è particolarmente incline a farsi capire, e il suo modo di esporre i problemi è affascinante. (…) Ma è, soprattutto, un individuo inquieto che effettua strane ricerche in condizioni di discreto isolamento rispetto all’accademia patavina. Ne discute, infatti, con pochissimi amici: soprattutto per corrispondenza.

Così Enrico Bellone ne L’abisso di Galileo descrive il fisico pisano Galileo Galilei. Egli ama le sfide che la natura gli propone e soprattutto ama burlarsi dei dotti filosofi che ritengono che per conoscere la natura e il funzionamento del mondo basta prendere in mano i testi di chi ci ha preceduto, accettandoli senza alcuna critica o necessità di verificare quanto lì affermato.
Galilei, invece, seguendo gli insegnamenti contenuti in particolare nei Libri di ottica di Alhazen, arrivati a lui e altri scienziati in Europa grazie a vari testi rinascimentali, mette in dubbio ogni cosa, convinto che solo con la matematica e gli esperimenti si possa arrivare a comprendere il funzionamento del mondo.
Mosso da queste idee, sono molti gli esperimenti su cui lavora, alla ricerca di queste leggi matematiche o per verificare delle intuizioni. Molti di questi esperimenti si concentrano sugli eventi che accadono sulla Terra, ma la rivoluzione per cui è maggiormente ricordato è l’aver deciso di rivolgere lo sguardo verso le stelle.

Su una stella nuova

La supernova di Keplero

La prima vera osservazione celeste di Galilei avvenne nel 1604 [1], quando si interessò alla comparsa nel cielo di una nova, o supernova, come le chiamiamo oggi. Egli, però, non fu il primo a osservare un evento di tal genere: il primo fu Tycho Brahe nel 1572.
Brahe, di osservazioni, se ne intendeva: molte di queste le aveva realizzate a occhio nudo, ottenendo dei risultati incredibili per la loro precisione. Galilei, invece, grazie al telescopio, in pratica una versione aggiornata del cannocchiale olandese, rivoluzionò la tecnica con la quale osservare il cielo, proprio iniziando con l’osservazione della supernova del 1604:

(…) che causò una maggiore eccitazione rispetto a quella di Tycho poiché la sua comparsa coincise con la così detta Grande Congiunzione o l’allineamento di Giove, Marte e Saturno. [2]

La scoperta di Galilei fu rivoluzionaria per il semplice fatto che scardinava le nozioni basate sugli scritti aristotelici:

Le osservazioni di Galileo e quelle fatte nel resto dell’Italia e dell’Europa settentrionale indicarono che essa era oltre la Luna, nella regione dove la nuova stella del 1572 era comparsa. L’apparizione di un nuovo corpo oltre il sistema Terra-Luna aveva sfidato la credenza tradizionale, incarnata dalla Cosmologia di Aristotele, che la materia dei pianeti fosse inalterabile e che nulla di nuovo poteva accadere nei cieli. [2]

Riguardo la nuovastella, poi

Galileo stabilisce che [essa] era inizialmente piccola ma crebbe rapidamente in dimensioni tanto da sembrare più grande di tutte le stelle e di tutti i pianeti ad eccezione di Venere. [2]

Possiamo confrontare questa osservazione con le definizioni moderne:

Le novae sono il risultato delle esplosioni superficiali delle nane bianche, causate dalla caduta sulla sua superficie di materia proveniente dall’atmosfera di una compagna più grande. Una supernova è una stella che improvvisamente aumenta drammaticamente la luminosità, quindi si affievolisce di nuovo, finanche a scomparire alla vista, ma è molto più brillante, circa diecimila volte, di una nova. [2]

Questi eventi drammatici sono oggi un ottimo strumento per osservare l’espansione dell’universo:

Le supernovae di tipo Ia sono strumenti empirici la cui precisione e luminosità intrinseca le rendono prove sensibili dell’espansione cosmologica. [3]

Questa, però, è un’altra storia, ed è dunque meglio concentrarsi su Galileo e sulla nova del 1604.

Il mistero del Dialogo di Cecco

Agli inizi del 1605 viene pubblicato a Padova un Dialogo in prepuosito de la stella nuova firmato da tale Cecco di Ronchitti. I due protagonisti, i “dialoganti”, sono due contadini che discutono della nuova stella comparsa nel cielo nel 1604 e su cui hanno discusso con una certa veemenza un filosofo e un matematico, con il filosofo a difendere il punto di vista aristotelico e il matematico a opporsi ad esso, in pratica da un punto di vista copernicano senza però citarlo esplicitamente per ovvi motivi di sicurezza, per se e i suoi cari [4].
Sull’identità dei contendenti e, per traslato, di Cecco di Ronchitti sembrerebbero esserci pochi dubbi. Da un lato abbiamo il conte Baldassarre Capra e, molto probabilmente, Antonio Lorenzini che giusto un paio di settimane prima aveva visto stampato il Discorso intorno alla Nuova Stella, cui il Dialogo di Cecco contrappone argomentazioni definite galileiane nel secondo volume delle opere di Galileo pubblicato nel 1891 dalla Tipografia G. Barbera di Firenze. E’ quindi a ragion veduta che si ritiene il Dialogo di Cecco un’opera di Galileo Galilei, all’epoca rettore della cattedra di matematica a Padova, territorio di competenza della Serenissima Repubblica di Venezia [4].

La posizione geografica è importante, perché è quella che permette al matematico di sfuggire una prima volta alle grinfie dell’inquisizione, e questa vicinanza, che implica anche un certo interesse nei confronti della sua opera, potrebbe essere uno dei motivi per la cautela nel dare alle stampe, sotto pseudonimo, un testo che sarebbe stato decisamente pericoloso per la sua incolumità, non solo per le prese di posizione antiaristoteliche, ma anche per la grande ironia di un Dialogo che prende in giro i filosofi, quelli che cercano la comprensione del mondo nei testi, esaltando la figura dei matematici, intesi come coloro che il mondo lo misurano.
E’ ovvia la conseguenza di quest’ultima posizione, soprattutto se la si inserisce nel contesto del modello copernicano: le ipotesi dei matematici, soprattutto quando suffragate da dati sperimentali, sono una visione più realistica del mondo rispetto alle teorie dei filosofi, che con questo mondo si rifiutano di entrare in contatto. E questo vuol dire che la teoria di Copernico secondo cui il Sole è al centro e la Terra ruota intorno ad esso è reale e non una semplice ipotesi, come invece fatto aggiungere da Andrea Osiander, amico di Copernico, nella prima edizione del suo libro (tra l’altro uscito postumo). E affermare che quelle di Copernico non sono delle semplici ipotesi è posizione pericolosa assai nell’Italia dell’epoca, e da qui nasce la necessità di tenersi quanto più nascosti possibile: Galileo lo conferma a Keplero durante il loro scambio epistolare, e lo stesso Keplero preferirà non pubblicare il suo Somnium, un proto-romanzo di fantascienza che circolò solo all’interno della sue cerchia privata [4].

Dante, l’Inferno, la Luna

L’interesse di Galilei verso la Divina Commedia di Dante Alighieri e in particolare nei confronti dell’Inferno nasce a causa di una disputa per stabilire quale delle recensioni avesse ragione riguardo l’opera di Dante.
Queste recensioni, o come venivano chiamate all’epoca commenti, erano spesso molto più di semplici recensioni. In particolare le due più gettonate erano quelle di Manetti, fiorentino, dell’Accademia delle Scienze di Firenze, poi Accademia della Crusca, e di Vellutello, veneziano. Le due posizioni erano differenti, opposte, viene tramandato, e così è necessario dirimere la questione, e l’unico che in grado di farlo è solo un matematico, possedendo egli le qualità per esaminare la questione sia dal punto di vista scientifico (utilizzato soprattutto da Manetti), sia da quello umanistico, essendo questo tipo di formazione basilare all’epoca. L’unico matematico che decise di accettare la sfida fu proprio Galileo Galilei, che non accettò semplicemente per amore della sfida, ma soprattutto per poter andare a Firenze e riuscire magari ad ottenere un impiego stabile e ben remunerato. Nascono così le due lezioni che Galileo dedicò, nel 1587, ai due saggi sull’Inferno di Dante, alla fine delle quali il matematico e fisico pisano affermò che l’esame scientificamente più corretto dell’opera dantesca fosse quello di Manetti (e d’altra parte non c’erano dubbi sull’esito, essendo Galileo pagato proprio da Firenze!).
A queste due lezioni sull’Inferno dantesco il Politecnico di Milano ha dedicato, nel 2012, una piccola mostra dove venivano unite le interpretazioni artistiche degli studenti dell’Accademia di Brera ad altre prettamente scientifiche, come la ricostruzione, che propongo con le foto qui sotto, dell’esame galileiano dei due commenti.

Alighieri e Galilei, però, non possono essere accostati solo per l’interesse di quest’ultimo sulla struttura matematica dell’Inferno, ma anche per, ad esempio, il carattere sanguigno, per la grandissima cultura (Galileo era anche un teatrante), e per l’interesse verso l’astronomia e in particolare verso la Luna. Il poeta toscano, infatti, le dedica ben 4 canti nel Paradiso [5]. In particolare nel II, il primo della serie, egli si pone un importante interrogativo:

Ma ditemi: che son li segni bui di questo corpo, che là giuso in terra fan di Cain favoleggiare altrui?

Ovviamente la domanda è posta a Beatrice, la sua accompagnatrice per l’ultima tappa dei suo viaggio mistico, e Beatrice, prima di rispondergli, lo invita a proporre la sua soluzione:

E io: “Ciò che n’appar qua sù diverso credo che fanno i corpi rari e densi”.

La lunga risposta di Beatrice (che inizia al verso 61) è una sorta di piccolo bignamino di ottica, da cui vi estraggo questo passaggio:

S’elli è che questo raro non trapassi, esser conviene un termine da onde lo suo contrario più passar non lassi;
e indi l’altrui raggio si rifonde così come color torna per vetro lo qual di retro a sé piombo nasconde.
Or dirai tu ch’el si dimostra tetro ivi lo raggio più che in altre parti, per esser lì refratto più a retro.

E giusto un paio di terzine più sotto ecco che Dante propone, per bocca di Beatrice, un esperimento mentale sulle Luna:

Tre specchi prenderai; e i due rimovi da te d’un modo, e l’altro, più rimosso, tr’ambo li primi li occhi tuoi ritrovi.
Rivolto ad essi, fa che dopo il dosso ti stea un lume che i tre specchi accenda e torni a te da tutti ripercosso.
Ben che nel quanto tanto non si stenda la vista più lontana, lì vedrai come convien ch’igualmente risplenda.
Or, come ai colpi de li caldi rai de la neve riman nudo il suggetto e dal colore e dal freddo primai,
così rimaso te ne l’intelletto voglio informar di luce sì vivace, che ti tremolerà nel suo aspetto.

Alla spiegazione dantesca delle macchie lunari (perché è di questo che si sta parlando), che poi è anche profondamente aristotelica, e rappresentata nel Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo da Simplicio, Galileo risponde con un esperimento, anche questo mentale, come quello presente nel Paradiso, ma certamente galileiano, ovvero riproducibile:

Simplicio e Copernico da Galileo Galilei di Paolo D’Antonio
Salviati: Pigliate ora in cortesia quello specchio che è attaccato a quel muro, ed usciamo qua nella corte. Venite, signor Sagredo. Attaccate lo specchio là a quel muro, dove batte il sole; discostiamoci e ritiriamoci qua all’ombra. Ecco là due superficie percosse dal sole, cioè il muro e lo specchio. Ditemi ora qual vi si rappresenta piú chiara: quella del muro o quella dello specchio? voi non rispondete?
Sagredo: Io lascio rispondere al signor Simplicio, che ha la difficultà; ché io, quanto a me, da questo poco principio di esperienza son persuaso che bisogni per necessità che la Luna sia di superficie molto mal pulita.
Salviati: Dite, signor Simplicio: se voi aveste a ritrar quel muro, con quello specchio attaccatovi, dove adoprereste voi colori piú oscuri, nel dipignere il muro o pur nel dipigner lo specchio?
Simplicio: Assai piú scuri nel dipigner lo specchio.
Salviati: Or se dalla superficie che si rappresenta piú chiara vien la reflession del lume piú potente, piú vivamente ci refletterà i raggi del Sole il muro che lo specchio.
Simplicio: Benissimo, signor mio; avete voi migliori esperienze di queste? Voi ci avete posti in luogo dove non batte il reverbero dello specchio; ma venite meco un poco piú in qua: no, venite pure.
Sagredo: Cercate voi forse il luogo della reflessione che fa lo specchio?
Simplicio: Signor sì.
Sagredo: Oh vedetela là nel muro opposto, grande giusto quanto lo specchio, e chiara poco meno che se vi battesse il Sole direttamente.
Simplicio: Venite dunque qua, e guardate di lì la superficie dello specchio, e sappiatemi dire se l’è piú scura di quella del muro.
Sagredo: Guardatela pur voi, ché io per ancora non voglio acceccare; e so benissimo, senza guardarla, che la si mostra vivace e chiara quanto il Sole istesso, o poco meno
Simplicio: Che dite voi dunque che la reflession di uno specchio sia men potente di quella di un muro? io veggo che in questo muro opposto, dove arriva il reflesso dell’altra parete illuminata insieme con quel dello specchio, questo dello specchio è assai piú chiaro; e veggio parimente che di qui lo specchio medesimo mi apparisce piú chiaro assai che il muro.
Salviati: Voi con la vostra accortezza mi avete prevenuto, perché di questa medesima osservazione avevo bisogno per dichiarar quel che resta. Voi vedete dunque la differenza che cade tra le due reflessioni, fatte dalle due superficie del muro e dello specchio, percosse nell’istesso modo per l’appunto da i raggi solari; e vedete come la reflession che vien dal muro si diffonde verso tutte le parti opposteli, ma quella dello specchio va verso una parte sola, non punto maggiore dello specchio medesimo; vedete parimente come la superficie del muro, riguardata da qualsivoglia luogo, si mostra chiara sempre egualmente a se stessa, e per tutto assai piú chiara che quella dello specchio, eccettuatone quel piccolo luogo solamente dove batte il reflesso dello specchio, ché di lí apparisce lo specchio molto piú chiaro del muro. Da queste cosí sensate e palpabili esperienze mi par che molto speditamente si possa venire in cognizione, se la reflessione che ci vien dalla Luna venga come da uno specchio, o pur come da un muro, cioè se da una superficie liscia o pure aspra.
Sagredo: Se io fussi nella Luna stessa, non credo che io potessi con mano toccar piú chiaramente l’asprezza della sua superficie di quel ch’io me la scorga ora con l’apprensione del discorso. La Luna, veduta in qualsivoglia positura, rispetto al Sole e a noi, ci mostra la sua superficie tocca dal Sole sempre egualmente chiara; effetto che risponde a capello a quel del muro, che, riguardato da qualsivoglia luogo, apparisce egualmente chiaro, e discorda dallo specchio, che da un luogo solo si mostra luminoso e da tutti gli altri oscuro. In oltre, la luce che mi vien dalla reflession del muro è tollerabile e debile, in comparazion di quella dello specchio gagliardissima ed offensiva alla vista poco meno della primaria e diretta del Sole: e cosí con suavità riguardiamo la faccia della Luna; che quando ella fusse come uno specchio, mostrandocisi anco, per la vicinità, grande quanto l’istesso Sole, sarebbe il suo fulgore assolutamente intollerabile, e ci parrebbe di riguardare quasi un altro Sole.
Salviati: Non attribuite di grazia, signor Sagredo, alla mia dimostrazione piú di quello che le si perviene. Io voglio muovervi contro un’instanza, che non so quanto sia di agevole scioglimento. Voi portate per gran diversità tra la Luna e lo specchio, che ella rimandi la reflessione verso tutte le parti egualmente, come fa il muro, dove che lo specchio la manda in un luogo solo determinato; e di qui concludete, la Luna esser simile al muro, e non allo specchio. Ma io vi dico che quello specchio manda la reflessione in un luogo solo, perché la sua superficie è piana, e dovendo i raggi reflessi partirsi ad angoli eguali a quelli de’ raggi incidenti, è forza che da una superficie piana si partano unitamente verso il medesimo luogo; ma essendo che la superficie della Luna è non piana, ma sferica, ed i raggi incidenti sopra una tal superficie trovano da reflettersi ad angoli eguali a quelli dell’incidenza verso tutte le parti, mediante la infinità delle inclinazioni che compongono la superficie sferica, adunque la Luna può mandar la reflessione per tutto, e non è necessitata a mandarla in un luogo solo, come quello specchio che è piano. [6]

L’osservazione delle macchie lunari è, in effetti, un’altra delle importanti osservazioni celesti fatte da Galilei grazie al telescopio, insieme alla scoperta dei satelliti di Giove, noti anche come satelliti medicei poiché, con grande intuizione politica, il fisico li dedicò a una delle più importanti famiglie dell’epoca ovviamente con lo scopo di ottenere protezione e finanziamenti.
Più scientificamente, le osservazioni celesti ebbero un’importanza cardinale, poiché, come succede ancora oggi, spesso gli esseri umani si rivolgono al cielo e quindi tutto quello che su di esso si può raccontare è sempre accolto con un certo interesse. Questo implica che furono proprio le osservazioni al telescopio di Galilei che ebbero la maggiore risonanza e quindi quelle dove le critiche e i processi si concentrarono, nel momento in cui fu chiaro che, come Copernico e Keplero, anche Galileo stava mettendo in dubbio le basi aristoteliche (e religiose) della cultura europea.

Il pendolo

Questa operazione di scardinamento venne portata avanti da Galilei anche nei suoi scritti riguardo la meccanica. Uno dei più noti tra i suoi risultati fu la scoperta dell’isocronismo del pendolo del 1583: leggenda vuole che Galilei ebbe l’intuizione osservando le oscillazioni di una lampada nella navata centrale del Duomo di Pisa. Per verificare quell’intuizione che una semplice osservazione gli aveva posto nella mente, ecco ideato il pendolo, uno strumento semplicissimo costituito da una corda e da un pesetto legato a un capo del filo, mentre l’altro viene fissato, magari tenuto fermo da due semplici dita.
Il pendolo è però uno strumento al tempo stesso semplice e complesso da studiare: dal punto di vista strettamente matematico, le soluzioni delle equazioni del moto che ne descrivono le oscillazioni non sono banali, ma i calcoli possono essere svolti in maniera semplice introducendo una semplice, ma sensata approssimazione, ovvero limitarsi alle piccole oscillazioni. In questo caso la legge per calcolare il periodo è data dall’equazione:

dove T è il periodo di oscillazione, l la lunghezza del filo e g l’accelerazione di gravità.
Come si può notare il periodo di oscillazione non dipende dalla massa del pesetto, ma solo dalla lunghezza del filo: questa equazione può essere determinata con dei calcoli o nello stesso modo con cui la scoprì Galileo, ovvero con dei semplici esperimenti.

Il piano inclinato

Un altro degli strumenti più noti tra quelli ideati da Galilei è certamente il piano inclinato, utilizzato per capire (o testare le ipotesi su) il moto uniformemente accelerato, oltre ad avere una certa importanza nella formulazione del principio di inerzia. Grazie ai suoi esperimenti, egli scopre come lo spazio dipenda dal quadrato dei tempi, come scrive nel passo tratto dai Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attinenti alla meccanica e ai movimenti locali del 1638:

Piano inclinato conservato presso il Museo Galileo di Firenze
In un regolo, o vogliàn dir corrente, di legno, lungo circa 12 braccia, e largo per un verso mezo bracio e per l’altro 3 dita, si era in questa minor larghezza incavato un canaletto, poco più largo d’un dito; tiratolo drittissimo, e, per averlo ben pulito e liscio, incollatovi dentro una carta pecora zannata e lustrata al possibile, si faceva in esso scendere una palla di bronzo durissimo, ben rotondata e pulita; costituito che si era il detto regolo pendente, elevando sopra il piano orizontale una delle sue estremità un braccio o due ad arbitrio, si lasciava (come dico) scendere per il detto canale la palla, notando, nel modo che appresso dirò, il tempo che consumava nello scorrerlo tutto, replicando il medesimo atto molte volte per assicurarsi bene della quantità del tempo, nel quale non si trovava mai differenza né anco della decima parte d’una battuta di polso. Fatta e stabilita precisamente tale operazione, facemmo scender la medesima palla solamente per la quarta parte della lunghezza di esso canale; e misurato il tempo della sua scesa, si trovava sempre puntualissimamente esser la metà dell’altro: e facendo poi l’esperienze di altre parti, esaminando ora il tempo di tutta la lunghezza col tempo della metà, o con quello delli duo terzi o de i 3/4, o in conclusione con qualunque altra divisione, per esperienze ben cento volte replicate sempre s’incontrava, gli spazii passati esser tra di loro come i quadrati e i tempi, e questo in tutte le inclinazioni del piano, cioè del canale nel quale si faceva scender la palla; dove osservammo ancora, i tempi delle scese per diverse inclinazioni mantener esquisitamente tra di loro quella proporzione che più a basso troveremo essergli assegnata e dimostrata dall’Autore. Quanto poi alla misura del tempo, si teneva una gran secchia piena d’acqua, attaccata in alto, la quale per un sottil cannellino, saldatogli nel fondo, versava un sottil filo d’acqua, che s’andava ricevendo con un piccol bicchiero per tutto ‘l tempo che la palla scendeva nel canale e nelle sue parti: le particelle poi dell’acqua, in tal guisa raccolte, s’andavano di volta in volta con esattissima bilancia pesando, dandoci le differenze e proporzioni de i pesi loro le differenze e proporzioni de i tempi; e questo con tal giustezza, che, come ho detto, tali operazioni, molte e molte volte replicate, già mai non differivano d’un notabil momento.

Un modo per osservare il principio di inerzia e la conservazione dell’energia al lavoro è accostare uno di fronte all’altro due piani inclinati entrambi dello stesso angolo di base θ.

Facendo scendere una sfera da un’altezza h1 per un tratto l1 di quello a sinistra [Galileo] notò che la sfera, arrivata sul piano orizzontale tra i due piani inclinati, continua il suo moto rettilineo fino alla base del piano inclinato di destra. A quel punto, in assenza d’attrito, la sfera risale il piano inclinato di destra per un tratto l2=l1 e si ferma alla stessa altezza h2=h1 di partenza. In termini attuali, la conservazione dell’energia meccanica impone che l’iniziale energia potenziale
della sfera si trasformi — man mano che la sfera discende il primo piano inclinato di sinistra — in energia cinetica
sino alla sua base, dove vale
La sfera si muove quindi sul piano orizzontale coprendo la distanza tra i piani inclinati con velocità costante vmax, fino alla base del secondo piano inclinato. Risale poi il piano inclinato di destra, perdendo progressivamente energia cinetica che si trasforma nuovamente in energia potenziale, fino a un valore massimo uguale a quello iniziale
al quale corrisponde velocità finale nulla v2=0.
Si immagini ora di diminuire l’angolo θ2 del piano inclinato di destra in modo tale che θ2<θ1, e di ripetere l’esperimento. Per riuscire a risalire — come impone il principio di conservazione dell’energia — alla medesima quota h2 di prima, la sfera dovrà ora percorrere un tratto l2 più lungo sul piano inclinato di destra. Se si riduce progressivamente l’angolo θ2, si vedrà che ogni volta aumenta la lunghezza l2 del tratto percorso dalla sfera, per risalire all’altezza h2. Se si porta infine l’angolo θ2 ad essere nullo, si è di fatto eliminato il piano inclinato di destra. Facendo ora scendere la sfera dall’altezza h1 del piano inclinato di sinistra, essa continuerà a muoversi indefinitamente sul piano orizzontale con velocità vmax (principio d’inerzia) in quanto, per l’assenza del piano inclinato di destra, non potrà mai risalire all’altezza h2 (come prevederebbe il principio di conservazione dell’energia meccanica).

Come avete letto dalla trattazione qui sopra estratta da it.wiki, la velocità lungo un piano inclinato aumenta con la discesa della pallina fino a raggiungere un valore massimo che, dal principio di conservazione dell’energia è pari a

dove, cambiando la notazione rispetto al passo citato, vf è la velocità alla fine del piano inclinato, m la massa della pallina (o dell’oggetto), h la quota di partenza. Il valore della velocità finale, calcolato attraverso la conservazione dell’energia cinetica, è dipende quindi dalla massa e dall’altezza del piano inclinato. Detto, però, θ l’angolo di inclinazione del piano, allora si può utilizzare la trigonometria per determinare la velocità finale della pallina in dipendenza della lunghezza l del piano:

Si potrebbe allora dire che per un piano inclinato infinitamente lungo la velocità è innumerabilmente grande. Ciò che impedisce alla velocità di aumentare indefinitamente è che la grandezza l sinθ è costante (ricordo che stiamo solo allungando il piano inclinato, non lo stiamo alzando) e quindi anche la velocità finale, il cui valore è fissato dall’altezza h del piano inclinato. Se poi introduciamo un coefficiente di attrito tra la superficie e l’oggetto in caduta lungo il piano, dovremo modificare l’accelerazione parallela al moto che, detto k il coefficiente d’attrito, sarà data da

Se poi consideriamo anche l’attrito dell’aria, la situazione si complica leggermente. Prendendo la strada più semplice, possiamo valutare tale forza con la formula:

dove ρ è la densità dell’aria (o più in generale del fluido), v la velocità relativa dell’oggetto rispetto al fluido, k il coefficiente d’attrito, A l’area della sezione dell’oggetto.
In questo caso è facile intuire come l’attrito dell’aria influenza l’accelerazione dell’oggetto (riducendola) che a sua volta influisce sulla velocità dell’oggetto modificando quindi l’attrito dell’aria che influenza l’accelerazione dell’oggetto che a sua volta… e così via fino a che l’oggetto non si ferma.

La matematica dell’infinito

Galilei, però, non si occupò solo della fisica, ma anche della matematica più strettamente detta, come quella degli infiniti e degli infinitesimi.
Proviamo, innanzitutto, a circostanziare l’argomento: seguendo quanto scoperto e dimostrato da Georg Cantor, il numero di elementi contenuti nell’intervallo [0;1] dei numeri reali è lo stesso del numero di elementi contenuti nell’intervallo [0;10], o dell’intervallo[0;100], o dell’intervallo [0;1000] e così via.
Questo vuol dire che tutti questi insiemi, ognuno sottoinsieme di quello successivo, hanno la medesima cardinalità: con questa proprietà in pratica si identificano il numero di oggetti contenenti in un dato insieme. Ad esempio gli oggetti contenuti nell’insieme portamonete coinciderà con il numero di monete contenute nel nostro portamonete. Quando gli insiemi cui pensiamo sono insiemi finiti, è semplice vedere che un qualsiasi sottoinsieme ha cardinalità inferiore all’insieme dato, a meno di non prendere come sottoinsieme l’insieme stesso. Quando però gli insiemi sono infiniti, la questione diventa leggermente meno intuitiva.
Il primo ad accorgersi di questo fatto fu proprio Galilei, che scoprì quello che poi venne chiamato paradosso di Galileo: la cardinalità dell’insieme dei numeri interi è la stessa dell’insieme degli interi quadrati, o detta in altri termini tutti i numeri naturali sono la radice quadrata di un altro numero naturale. O detta ancora più semplice: di qualunque numero naturale posso sempre calcolare il quadrato. Se così non fosse, i naturali sarebbero superiori ai naturali al quadrato.
In questo modo io sto associando a ciascun numero naturale il suo quadrato, ovvero sto costruendo una corrispondenza biunivoca, ovvero un’operazione che mi associa ad ogni elemento di un dato insieme A uno e un solo elemento di un altro insieme B. Quando tra due insiemi A e B esiste una corrispondenza biunivoca, allora i due insiemi hanno la stessa cardinalità.
Questa prima stranezza scoperta (o riscoperta) da Galileo è semplicemente un indizio della forse ancora più strana proprietà che un qualsiasi sottoinsieme dei numeri reali ha la stessa cardinalità dell’insieme di tutti i numeri reali. E questo vuole anche dire che tutti i sottoinsiemi della retta reale hanno tra loro la stessa cardinalità.
Un modo per vederlo graficamente è utilizzare il paradosso del cerchio [7]:

Facendo partire delle rette dall’origine del cerchio, posso associare ciascun punto di una qualsiasi corda all’interno della circonferenza con ciascun punto di una corda più grande o, addirittura, con ciascun punto della retta tangente del cerchio e parallela alla corda! Forse è una dimostrazione un po’ semplicistica, ma ha il pregio di essere semplice e diretta, in puro stile galileiano!

Intervista a Galileo

Concludo questo lungo post su Galileo Galilei con l’intervista fittizia di Andrea Camilleri allo scienziato pisano interpretato per l’occasione dall’attore Roberto Scarpa. L’intervista venne rappresentata il 6 giugno 2009 al Teatro Verdi di Pisa.
Prima di lasciarvi ai video, vorrei farvi osservare come la posizione sull’abiura nel testo di Camilleri sia differente non solo da quella citata di Brecth, ma anche da quelle sostanzialmente simili, ma profondamente differenti per il rispetto nei confronti di Galilei, di Odifreddi e Paolini.


[1] Andrea Albini, Oroscopi e cannocchiali, Avverbi Edizioni, novembre 2008
[2] Shea, W. Galileo and the Supernova of 1604. 1604–2004: Supernovae as Cosmological Lighthouses, ASP Conference Series, Vol. 342, Proceedings of the conference held 15–19 June, 2004 in Padua, Italy.
[3] Perlmutter, S. and Schmidt, B.P. Measuring Cosmology with Supernovae. Lecture Notes in Physics, 2003, Volume 598/2003, 195–217. (arXiv)
[4] Enrico Bellone, L’abisso di Galileo, Codice Edizioni
[5] Informazione accessoria: in un interessante articolo per La Stampa Piero Bianucci esplora i legami del Paradiso con la geometria non-euclidea.
[6] Estratto dalla Giornata prima del Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo
[7] Immagine tratta da Galileo’s Views on Infinity di Lubański, M., pubblicato su The Galileo affair: A meeting of faith and science, Proceedings of the Cracow Conference, May 24–27, 1984


Ulteriori letture:

Riguardo il Sidereus vi segnalo due post in particolare, uno scritto da Cristina Sperlari, l’altro da Annarita Ruberto.
Galileo e il piano inclinato di Claudia Borghini
Il piano inclinato di Galilei
Un bellissimo pdf, Il piano inclinato dagli studi di Galileo ad oggi