ปัญหาแห่งสหัสวรรษ

พีธาโกรัสแห่งซาโมสมักได้รับการยกย่องเป็นบิดาของตัวเลข เราคุ้นเคยภาพของเขาที่สอนเรขาคณิตให้กับศิษยานุศิษย์โดยใช้แท่งไม้วาดบนผืนทรายเฉกเช่นคทาร่ายเวทมนต์ วันหนึ่งศิษย์คนหนึ่งถามว่าเขาจินตนาการทฤษฎีของเขาแม่นยำแบบนี้ได้อย่างไรโดยที่ไม่มีใครเคยจินตนาการได้มาก่อน พีธากอรัสลูบเคราของเขาและแค่นหัวเราะตอบว่า “ศิษย์เอ้ย ความลับ อยู่ที่การสังเกตความบรรสานออกจากความอลหม่านอย่างไรเล่า”

เมื่อพีธาโกรัสเปิดเผยต่อโลกว่าพื้นที่ของด้านตรงข้ามมุมฉากนั้นเท่ากับผลรวมของพื้นที่ของอีกสองด้านที่เหลือ นี่คือการเปิดเผยของคณิตศาสตร์ อาวุธที่ลึกล้ำที่สุดของเราในการเข้าใจจักรวาล เฉกเช่นการโพรมีธีอุสขโมยไฟจากเหล่าเทพเจ้า

ตามตำนานยังเล่าอีกว่า เมื่อพีธาโกรัสค้นพบสัดส่วนที่กำหนดโน้ตของเสียงดนตรี สร้างสิ่งที่เรียกว่าสเกลของพีธาโกรัส ก็ได้ผูกมนุษยชาติให้ใกล้เคียงเทพเจ้ายิ่งขึ้น แต่ไม่มีอินทรีหรือโทษทัณฑ์อันใดที่ส่งจากสรวงสววค์มาหาเขา เพราะการเปิดเผยของเขาไม่ได้ต่อต้านเทพเจ้าแต่กลับสดุดีแซ่ซ้องต่อกฎระเบียบแบบแผนของพระผู้เป็นเจ้า คณิตศาสตร์จึงกลายเป็นเปลวไฟของเรานั่นเอง — ไฟที่เผาผลาญความไม่รู้ แสงสว่างที่เปิดเผยความจริงที่ซ่อนอยู่ให้เห็นชัดเจน เป็นคบเพลิงแห่งความรู้ที่ยังคงเปิดเผยความลับของจักรวาลให้เราจนถึงทุกวันนี้

นักคณิตศาสตร์ทั้งหลายนั้นช่างพากเพียร ลองย้อนรอยสิ่งที่เราได้คลี่คลายจากโครงสร้างแห่งจักรวาลผ่านตัวเลขและแบบรูปเหล่านี้:

ก่อน 3,000 ปีก่อนคริสตกาล: ระบบการนับขั้นพื้นฐานและเรขาคณิตอย่างง่าย ซึ่งเห็นได้จากอารยธรรมเมโสโปเตเมียและอียิปต์ตอนต้น

ประมาณ 2,000 ปีก่อนคริสตกาล: ชาวบาบิโลนพัฒนาคณิตศาสตร์ขั้นสูง รวมถึงพีชคณิตรูปแบบแรกๆ

ศตวรรษที่ 6 ก่อนคริสต์ศักราช: ชาวกรีกเริ่มการศึกษาคณิตศาสตร์อย่างเป็นระบบ ส่วนพีธาโกรัสสำรวจความสัมพันธ์เชิงตัวเลขในดนตรีและเรขาคณิต

ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช: ยูคลิดเขียน “The Elements” ซึ่งเป็นการรวบรวมความรู้ทางเรขาคณิต เพื่อสร้างมาตรฐานการศึกษาเรขาคณิต

ศตวรรษที่ 2: ปโตเลมีเขียนอัลมาเจสต์ ซึ่งเป็นรากฐานสำหรับการทำความเข้าใจเรขาคณิตของทรงกลมและดาราศาสตร์

ศตวรรษที่ 12: นักคณิตศาสตร์ชาวอินเดียแนะนำแนวคิดเรื่องศูนย์เป็นตัวเลข และพัฒนาแคลคูลัสรูปแบบแรกเริ่ม

ศตวรรษที่ 16: การแก้สมการกำลังสามถือเป็นจุดเริ่มต้นของพีชคณิตสมัยใหม่

ศตวรรษที่ 17: ยุคฟื้นฟูศิลปวิทยาทางคณิตศาสตร์! เดการ์ตเสนอพิกัดคาร์ทีเซียน นิวตันและไลบ์นิซพัฒนาแคลคูลัสได้พร้อม ๆ กัน

ศตวรรษที่ 18: ออยเลอร์ก้าวหน้าในการศึกษาฟังก์ชันทางคณิตศาสตร์และแนะนำทฤษฎีกราฟ

ศตวรรษที่ 19: บูลวางรากฐานสำหรับพีชคณิตแบบบูล ซึ่งมีความสำคัญอย่างยิ่งต่อวิทยาการคอมพิวเตอร์ เรขาคณิตที่ไม่ใช่แบบยุคลิดได้รับการพัฒนาขึ้น เพื่อท้าทายแนวคิดเกี่ยวกับอวกาศที่มีมายาวนานนับศตวรรษ

ศตวรรษที่ 20: ทฤษฎีบทความไม่สมบูรณ์ของเกอเดลได้เขย่ารากฐานของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ ทัวริงเสนอแนวคิดเกี่ยวกับเครื่องจักรสากลในการกำหนดค่าคอมพิวเตอร์ล่วงหน้า ทฤษฎีความโกลาหลและเรขาคณิตแฟร็กทัลเกิดขึ้น เผยให้เห็นรูปแบบใหม่ในระบบที่ซับซ้อน

แล้วในศตวรรษที่ 21 นี้หละ ในช่วงเวลาอันยาวนานของประวัติศาสตร์ มนุษย์ได้สร้างสรรค์นวัตกรรมที่เปลี่ยนแปลงโลกอย่างมากมาย แต่ถึงกระนั้นก็ยังมีปริศนาที่ยังคงเป็นคำถามใหญ่ที่ยังคงรอการไขอยู่ หนึ่งในปริศนาเหล่านั้นก็คือ “ปัญหาแห่งสหัสวรรษ” ซึ่งเป็นปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่ท้าทายและมีอิทธิพลอย่างมากในวงการวิทยาศาสตร์และคณิตศาสตร์ ในบล็อกโพสต์นี้ เราจะพาคุณไปสำรวจเรื่องราวและความลึกลับของปัญหาเหล่านี้ ตลอดจนผลกระทบและความหมายของมันต่อโลกวิทยาศาสตร์ในปัจจุบันและอนาคตของเรา

ตั้งแต่ทศวรรษที่แล้ว ปัญหาแห่งสหัสวรรษได้เป็นหัวข้อสนทนาและความท้าทายในหมู่นักคณิตศาสตร์และนักวิทยาศาสตร์ทั่วโลก ปัญหาเหล่านี้ถูกนำเสนอโดยสถาบันคณิตศาสตร์เคลย์ (Clay Mathematics Institute) ในปี 2000 ซึ่งมีจำนวนทั้งสิ้น 7 ปัญหา แต่ละปัญหามีรางวัลมูลค่า 1 ล้านดอลลาร์สหรัฐฯ สำหรับผู้ที่สามารถแก้ปัญหาเหล่านี้ได้

ปัญหาที่ว่านี้ครอบคลุมหลายสาขาของคณิตศาสตร์ ตั้งแต่ทฤษฎีตัวเลข ทฤษฎีกลุ่ม ไปจนถึงฟิสิกส์ทฤษฎี และมีความซับซ้อนถึงขั้นที่นักคณิตศาสตร์หลายคนเชื่อว่าอาจใช้เวลาหลายทศวรรษหรือแม้กระทั่งศตวรรษกว่าที่จะได้คำตอบที่แท้จริง

หนึ่งในปัญหาที่โดดเด่นที่สุดคือ “ปัญหา P vs NP” ซึ่งเกี่ยวข้องกับคำถามที่ว่าปัญหาที่สามารถตรวจสอบคำตอบได้อย่างรวดเร็วสามารถแก้ไขได้เช่นกันหรือไม่ ปัญหานี้มีความสำคัญอย่างมากในวงการคอมพิวเตอร์ และการไขปัญหานี้ได้จะเปลี่ยนแปลงโลกแห่งการคำนวณอย่างมาก

อีกปัญหาแห่งสหัสวรรษที่น่าสนใจคือนาเวียร์-สโตกส์ (Navier-Stokes) ปัญหานี้เกี่ยวข้องกับสมการที่ใช้อธิบายการไหลของของเหลวและก๊าซในธรรมชาติ สมการนาเวียร์-สโตกส์ได้รับการตั้งชื่อตามผู้พัฒนา คือ คล็อด-หลุยส์ นาเวียร์และจอร์จ สโตกส์ และถือเป็นหนึ่งในสมการที่สำคัญที่สุดในกลศาสตร์ของของไหล

ปัญหานาเวียร์-สโตกส์ไม่ได้อยู่ในการพิสูจน์ว่าสมการนี้ถูกต้องหรือไม่ (เนื่องจากเราสามารถเห็นผลลัพธ์ของมันในธรรมชาติ) แต่ปัญหาอยู่ที่การพิสูจน์ความมีเสถียรภาพและความต่อเนื่องของการไหลของของเหลวหรือก๊าซภายใต้สมการเหล่านี้ในทุกสถานการณ์

การพิสูจน์ความมีเสถียรภาพและความต่อเนื่องนี้มีความสำคัญอย่างยิ่ง เนื่องจากมันจะช่วยให้เราเข้าใจอย่างลึกซึ้งถึงการเคลื่อนที่ของของเหลวและก๊าซ ซึ่งสามารถนำไปใช้ในหลายๆ ด้าน เช่น อุตุนิยมวิทยา การออกแบบยานพาหนะ และการวิเคราะห์การไหลของของไหลในกระบวนการอุตสาหกรรม

อย่างไรก็ตาม แม้ว่าปัญหานี้จะมีมานานกว่าศตวรรษ แต่นักคณิตศาสตร์ยังคงหาคำตอบที่สมบูรณ์ไม่ได้ เนื่องจากความซับซ้อนของปัญหาและความต้องการความเข้าใจที่ลึกซึ้งในด้านคณิตศาสตร์และกลศาสตร์ของของไหล

อีก 5 ปัญหาได้แก่

- Hodge conjecture: เป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับพื้นผิวที่มีการโค้งงอ (algebraic varieties) โดยจะพยายามหารูปแบบของพื้นผิวเหล่านี้

- Riemann hypothesis: เป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการกระจายของจำนวนเฉพาะ (prime numbers) โดยจะพยายามพิสูจน์สมการที่เชื่อมโยงจำนวนเชิงซ้อน (complex numbers) กับจำนวนเฉพาะ

- Yang–Mills existence and mass gap: เป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับทฤษฎีการถ่ายโอนพลังงาน (quantum field theory) โดยจะพยายามพิสูจน์การมีอยู่ของ Yang-Mills theory และการแบ่งช่วงของพลังงาน (mass gap)

- Birch and Swinnerton-Dyer conjecture: เป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการแก้สมการที่มีรูปแบบของเส้นโค้ง (elliptic curves) โดยจะพยายามหาความสัมพันธ์ระหว่างจำนวนของรูปแบบเหล่านี้

- Poincaré conjecture: เป็นปัญหาที่เกี่ยวข้องกับพื้นผิวที่มีรูปร่างของโลก (topology) โดยจะพยายามพิสูจน์ว่าพื้นผิวที่ไม่มีรูหรือแตก จะเหมือนกับทรงกลม

จาก 7 ปัญหาแห่งสหัสวรรษนี้ มีเพียง Poincaré conjecture เท่านั้นที่ถูกแก้ได้แล้ว โดย Grigori Perelman ในปี 2003 แต่เขาปฏิเสธรับรางวัลเงิน เหตุผลที่เขาให้ได้คือ “(ในเมื่อ) ผมรู้วิธีควบคุมจักรวาล ทำไมผมต้องเอาเงินล้านด้วยเล่า”

ในครั้งถัดไปเราจะคุยกันถึงเรื่องปัญหาแห่งสหัสวรรษนี้กับวงการหุ่นยนต์ และอยากจะเชิญชวนให้ผู้อ่านลองศึกษาเพิ่มเติมเกี่ยวกับปัญหาเหล่านี้ไปกับเรา