前言
Uniswap 在 v1 , v2 基本上一直是維持著 xy = k 的模型，但這種簡潔的模型有一個缺點：資金利用率，如果今天代幣的價格只在某個區內徘徊的話，對流動性提供者而言，其實有很大一部分的資金是用不到的， v3 提出了一個嶄新的解決辦法，透過曲線的平移，讓流動性提供者可以使用較少的資金在其自訂的價格區間內，提供跟 v2 相同的流動性 ( 簡單來說，就是使用者放相同數量的 ETH 進到兩個池子，都要拿到一樣數量的 USDT )，細節這邊就不展開了，有興趣的人可以直接看看 v3 白皮書 或者參考 這篇。
本文主要是想探討，使用較少的資金確切是多少？也就是說，我們希望可以了解，在限定的價格區間中，假設在 v2 的流動性提供者提供了總價值 10000 USD 的資金，那麼在 v3 ，若想得到跟 v2 相同的流動性，他需要投入的資金量為何？
目標
根據下面這則 twitter ，Uniswap v3 跟 v2 的資金效率計算公式為：1/(1-(a/b)^(1/4))
其中 a , b 分別為流動性提供者在 v3 選擇的價格區間的下界與上界 ( a < b )
依照這個式子，v3 跟 v2 的資金效率 ( capital efficiency , 以下稱 ce ) 只和 a ,b 有關，與提供流動性當時的現價無關，也就是說：
- 若 a , b 的值固定，則不論現價為何， ce 不變
- 若 a/b 和現價均固定，則不論實際上 a , b 為何， ce 不變
( 其實 1. 跟 2. 就是在 a , b 比值固定的情況下，分別討論現價固定與否，ce 是否變化 )
此則 twitter 並沒有仔細說明這個公式是怎麼來的，但就字面意思解釋，加上 Uniswap 在他們文章中提供的計算器 ( 在 capital efficiency 章節裡，往下拉一點就會看到 )，本文認為 ce 的算法應該是 v2 所需資金 / v3 所需資金。
正因為如此，既然要提供資金，那麼從直覺來看，現價應該會對 ce 有影響，譬如今天要提供的資金是 50 ETH 跟 1000 USDT，在 ETH 現價為 100 跟 3000 的時候，兩者的價值是不一樣的。當然也不排除，v3 所需資金和現價是有關連的，也就是說，現價對 ce 的影響可能會被抵消，所以會產生 twitter 式子的效果。
總而言之，帶著這樣的疑惑，本文會一步步思考，ce 應該怎麼算、ce 和現價有沒有關係。如果有，是什麼關係，是不是可以推導出另一個 ce 的式子？如果沒有，原因是什麼？
符號以及定義
符號
- v3 跟 v2 的資金效率：ce
- 使用者提供的價格區間：[ a , b ]
— a < b - 提供流動性當時的現價：c
— a < c < b ( 本文先考慮現價在區間內的情況 ) - a , b , c 座標分別為：( xa , ya ) , ( xb , yb ) , ( xc , yc )
— 為了排版美觀，本文就不另外加下標
定義
- 本文考慮的代幣兌換池是 X token — Y token ( 可以想成 ETH — USDT )
- 本文的價格均是表示 X token 的價格，並且以 Y token 計價 ( 若價格為 100，表示 1 個 X token 能換 100 個 Y token )
根據 v3 白皮書：
請看圖片中最後一行，使用者實際提供的資金 ( reserves ) 為 x_real 和 y_real，若提供資金的當下價格為 c，代表使用者在 v3 提供的資金為 x_real * c + y_real ( 因為 y_real / x_real 不一定會等於 c ，所以不能直接表示成 2 * y_real )。
- x_real = xr = xc-xb
- y_real = yr = yc-ya
- ce = v2 所需資金 / v3 所需資金
— 在本文中，兩種資金皆以 Y token 計價
假設
本文有幾個重要假設
1). 使用者在 v2 提供的資金為 2*yc ( 因為在 v2 曲線上，任何一個點的 X token 和 Y token 的價值要相同，而本文的價格均是以 Y token 計價 )
2). 使用者在 v3 提供的資金為 xr * c + yr
3). Hayden Adams 在 twitter 的那個式子，想計算的東西就是本文的 ce
如果以上假設有任何一點不成立，則本文推論就沒有意義，但根據目前看到的資料 ( 白皮書、twitter、v3 計算器 )，應該可以認為這幾個假設是成立的。
Twitter 式子奇妙之處
接下來我們來看 twitter 的式子套用在前面提到的兩種情況。
1. 若 a , b 的值固定，則不論現價為何， ce 不變
- 直接代數字找反例
令 v2 曲線為：xy = 2500
b = 625 ( x : 2 , y : 1250 )
c2 = 25 ( x : 10 , y : 250 )
c1 = 1 ( x : 50 , y : 50 )
a = 1/4 ( x : 100 , y : 25 )
若 twitter 式子成立，代表流動性提供者在現價為 c1 和 c2 時，ce ( v2 所需資金 / v3 所需資金 ) 會是相同的
case1. ( 現價為 c1 = 1 )：
v2 所需資金 = 2 * 50 = 100
v3 所需資金 = xr * c1 + yr = (50–2) * 1 + (50–25) = 73
ce1 = 100 / 73 = 1.369863
case2. ( 現價為 c2 = 25 )：
v2 所需資金 = 2 * 250 = 500
v3 所需資金 = xr * c1 + yr = (10–2) * 25 + (250–25) = 425
ce2 = 500 / 425 = 1.764706
=> ce1 ≠ ce2 。
2. 若 a/b 和現價均固定，則不論實際上 a , b 為何， ce 不變
- 直接代數字找反例
令 v2 曲線為：xy = 2073600
b1 = 1600 ( x : 36 , y : 57600 )
a1 = 100 ( x : 144 , y : 14400 )
b2 = 6400 ( x : 18 , y : 115200 )
a2 = 400 ( x : 72 , y : 28800 )
c = 1296 ( x：40 , y：51840 )
a1 / b1 = a2 / b2 = 1 / 16
case 1. ( a1 = 100 , b1 = 1600 )：
v2 所需資金 = 2 * 51840 = 103680
v3 所需資金 = xr * c + yr = (40–36 ) * 1296 + (51840–14400) = 42624
ce1 = 103680 / 42624 = 2.432432
case 2. ( a2 = 400 , b2 = 6400 )：
v2 所需資金 = 2 * 51840 = 103680
v3 所需資金 = xr * c + yr= (40–18 ) * 1296 + (51840–28800) = 51552
ce2 = 103680 / 51552 = 2.011173
=> ce1 ≠ ce2 。
note：以上兩種狀況均可以直接透過數學推導證明，也就是 ce 在 xc 改變時會跟著改變或者 ce 在 a ,b 改變時會跟著改變，礙於篇幅，數學推導就不寫下來了，有興趣的讀者可以使用 telegram 找我討論，之後也有可能會補充到另一篇文章。
計算 ce
上面我們舉出反例證明 twitter 式子不是通用的，接下來會推導我認為的 ce 計算方式。
一開始，我們先再次確認我們已知的部分
已知
ce = v2 所需資金 / v3 所需資金
v2 所需資金 = 2 * yc
v3 所需資金 = xr * c + yr
a = ya / xa
- 流動性提供者選擇的區間下界
b = yb / xb
- 流動性提供者選擇的區間上界
接下來，我們希望能夠盡量用 a , b , c 來表示出 ce 公式中會出現的符號 ( yc , xr , yr )
step 1.
- xr = ( 1-sqrt(c/b) ) * xc
因為 b*xb^2 = c*xc^2
=> xb：xc = sqrt(c)：sqrt(b)
=> xb / xc = sqrt(c) / sqrt(b) = sqrt(c/b)
=> xb = xc * sqrt(c/b)
=> xr = xc-xb = xc-xc * sqrt(c/b)=( 1-sqrt(c/b) ) * xc
step 2.
- yr = ( 1 — sqrt(a/c) ) * yc
因為 ya^2 / a = yc^2 / c
=> ya：yc = sqrt(a)：sqrt(c)
=> ya / yc = sqrt(a) / sqrt(c) = sqrt(a/c)
=> ya = yc * sqrt(a/c)
=> yr = yc-ya = yc-yc * sqrt(a/c) = ( 1 — sqrt(a/c) ) * yc
整理化簡之後，可得
若 yr / xr = c
這個章節會說明，在 yr / xr = c 的情況下，ce 算出來的結果會跟 twitter 的式子相同，因此我們認為，twitter 的式子只是在這個情況下的一個特例。
note：這裡的式子比較多，閱讀起來可能會有一點點吃力，建議在看這部分推導時可以拿紙筆在旁邊跟著推導一次，或者也可以稍微違反去中心化的原則，直接選擇相信本文，然後拉到底部、按讚、訂閱、開啟小鈴鐺。
已知
- sqrt(c/b) * xc = xb
=> sqrt(c/b) = xb / xc — — 式子(1) - sqrt(a/c) * yc = ya
=> sqrt(a/c) = ya / yc — — 式子(2)
式子(1) , (2) 的推導過程在上一段文章
- xr = xc-xb — — 式子(3)
- yr = yc-ya — — 式子(4)
- yr / xr = c = yc / xc — — 式子(5)
step1.
將 圖8. 的式子移項之後可得： ya / xb = yc / xc = c — — 式子(6)
step2.
ce = v2 所需資金 / v3 所需資金
v2 所需資金為 2*yc
v3 所需資金 = xr * c + yr
且 yr / xr = c
可以推得 ce = 2*yc / (xr * (yr/xr)+ yr ) = yc / yr
又加上 yr = yc -ya
=> ce = yc / ( yc — ya ) — — 式子(7)
step3.
根據 式子(2) 可推得
ya：yc = sqrt(a)：sqrt(c) — — 式子(8)
到目前為止，將 ce 改寫成 sqrt(xa) / ( sqrt(xa)-sqrt(xb) ) — — 式子(9)
接下來要說明如何將 twitter 的式子也改寫成式子(9)。
step4.
已知 ya / xa = a ，yb / xb = b
移項後可得 ya = a*xa 以及 yb = b*xb
且 K = xa*ya = xb*yb
可推得：a*xa^2 = b*xb^2
=> a / b = (xb / xa )^2
=> (a/b)^(1/4) = ((xb/xa)^2)^(1/4) = (xb/xa)^(1/2) — — 式子(10)
最後，分子分母同乘 sqrt(xa) 即可得到式子(9)。因此，經過 Step 1 ~ 4，說明了，在 yr / xr = c 的情況下，ce 算出來的結果會跟 twitter 的式子相同。
事實上，還能證明， yr / xr = c 和 sqrt(a*b) = c 是若且唯若的關係，換句話說，也可以說只有在 a , b 是特別挑選的情況下 ( a , b 的幾何平均數是 c )，twitter 的式子才會成立。
note：若將 sqrt(ab) = c 的條件代入 ce = 2/(2-sqrt(c/b)-sqrt(a/c)) 的式子中，經過簡單化簡，也能夠得出 twitter 的那個式子。
結尾
能夠看到這邊，請先給自己一點掌聲，有耐心是一項值得鼓勵的美德，等等可以去買點炸雞來犒賞自己 ( 如果是直接往下滑的人，也去吃吧，追求效率也不是一件壞事 )。
到了該做結論的時候，還是要重複文章一開始提過的，本文的推論是建立在某些假設的基礎上進行，如果假設出了問題，推論就會直接垮掉。如果假設都沒錯，那麼我們可以宣稱：v2 , v3 資金效率 ( ce ) 和現價有關係。
而且，因為 ce 的定義是：v2 所需資金 / v3 所需資金。從這個公式也能清楚看出，v2 所需資金一定會大於 v3 所需資金 ( 因爲分子小於分母 ，所以 ce > 1 )。
另外，本文暫時只有考慮現價在 LP 所選的價格區間中間的情況 ( a < c < b )，Uniswap v3 其實也能允許 LP 選擇的價格區間不包含現價 (會分成 c < a < b 和 a < b < c )，在那兩種狀況下，ce 的公式也還是這個形式嗎？如果有下一篇文章的話，會針對這部分做探討，有興趣的讀者也可以自己先思考一下這個問題。
