เมทริกซ์ (Matrix) มีความสำคัญอย่างยิ่งในการศึกษาเกี่ยวกับ Data Science ไม่ว่าจะเป็นวิธีการในการแสดงข้อมูลเพื่อทำการวิเคราะห์และจัดการด้วย Machine Learning หรือ Algorithm การวิเคราะห์อื่นๆ หรือการใช้เมทริกซ์ในการหา Solution ของสมการต่างๆ เราสามารถแบ่งประโยชน์ของเมทริกซ์ใน Data Science Field ออกเป็น 2 หัวข้อหลักๆ
- การจัดเก็บข้อมูลแบบตาราง (Tabular Data) ถือเป็นการใช้ประโยชน์จากเมทริกซ์อย่างหนึ่ง เพื่อให้การใช้งาน Data นั้นสะดวกมากยิ่งขึ้น
- เมทริกซ์เป็นรากฐานของ Linear Algebra ซึ่งถือว่าอยู่เบื้องหลังของ Machine Learning และ Algorithm การวิเคราะห์ส่วนใหญ่
ดังนั้นจะดีมากๆ เลยใช่ไหมคะ ถ้าเรามีความรู้เบื้องต้นเกี่ยวกับเมทริกซ์และการดำเนินการของเมทริกซ์เป็นอย่างดี เพื่อไม่ให้เป็นการเสียเวลา งั้นเรามาเริ่มกันเลยดีกว่า…
Overview
เมทริกซ์ (Matrix) เป็นการเขียนเรียงแถวลำดับในรูปแบบสี่เหลี่ยมมุมฉากภายในเครื่องหมาย [] โดยจำนวนในเมทริกซ์จะเรียกว่า สมาชิก (Entries) ของเมทริกซ์
ปกติเราจะเขียนแทนเมทริกซ์ด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C ดังตัวอย่างต่อไปนี้
จะเห็นว่าเมทริกซ์มีหลายรูปแบบ ขึ้นอยู่กับจำนวนแนวนอน (Row) และแนวตั้ง (Column) เช่น A มี 2 แนวนอน 3 แนวตั้ง เมทริกซ์ใดๆ ที่มี m แนวนอน n แนวตั้ง จะเป็นเมทริกซ์ที่มีขนาด (Size) mxn จากตัวอย่างข้างต้น เมทริกซ์ A, B และ C มีขนาด 2x3, 2x2 และ 3x1 ตามลำดับ เมทริกซ์ที่มีขนาด 1xn จะเรียกว่า ‘เมทริกซ์แนวนอน’ ในขณะที่เมทริกซ์ที่มีขนาด mx1 จะเรียกว่า ‘เมทริกซ์แนวตั้ง’
เมทริกซ์ A มีขนาด mxn สามารถเขียนรูปทั่วไปได้ดังนี้
สมาชิกแต่ละตัวของเมทริกซ์สามารถระบุตำแหน่งในเมทริกซ์ได้ดังนี้ สมาชิกที่ (i,j) คือสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งแนวนอนที่ i แนวตั้งที่ j เช่น เมทริกซ์ B ในรูปที่ 1 ตำแหน่งที่ (2,1) หรือ a21 คือ 3
Note:
1. เมทริกซ์ที่มีขนาด nxn เรียกว่าเมทริกซ์จัตุรัส โดยสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่ง a11, a22, …, ann จะอยู่บนแนวทแยงหลัก (Main Diagonal)
2. เมทริกซ์ A และ B จะเท่ากัน (เขียนแทนด้วย A = B) ก็ต่อเมื่อทั้งสองเมทริกซ์มีขนาดเท่ากัน และสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกันมีค่าเท่ากัน
การบวกและการคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์ (Scalar)
ถ้า A และ B มีขนาดเท่ากัน ผลบวกของ A และ B คือเมทริกซ์ที่ได้จากการบวกสมาชิกที่อยู่ในตำแหน่งเดียวกัน เช่น ถ้า A = [aij], B = [bij] เพราะฉะนั้น A+B = [aij + bij]
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ใดๆ k เป็นสเกลาร์ ผลคูณเมทริกซ์ด้วยสเกลาร์ kA คือเมทริกซ์ที่ได้จากการคูณแต่ละสมาชิกของ A ด้วย k ถ้า A = [aij] เพราะฉะนั้น kA = [kaij]
*สเกลาร์ในที่นี้เป็นจำนวนจริงใดๆ
คุณสมบัติของเมทริกซ์ 1
ให้ A, B และ C เป็นเมทริกซ์ใดๆ ที่มีขนาด mxn และให้ k และ p แทนจำนวนจริงใดๆ จะได้ว่า…
- A + B = B + A (คุณสมบัติการสลับที่)
- A + (B + C) = (A + B) + C (คุณสมบัติการจัดหมู่)
- มีเมทริกซ์ 0 ขนาด mxn ซึ่ง 0 + A = A สำหรับแต่ละ A
- สำหรับแต่ละ A มีเมทริกซ์ -A ขนาด mxn ซึ่ง A + (-A) = 0
- k(A + B) = kA + kB
- (k + p)A = kA + pA
- (kp)A = k(pA)
- 1A = A
การสลับเปลี่ยน (Transpose)
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ขนาด mxn การสลับเปลี่ยนของ A แทนด้วย A^T เป็นเมทริกซ์ขนาด nxm ที่สมาชิกในตำแหน่งที่ (i,j) เท่ากับสมาชิกในตำแหน่งที่ (j,i) ของ A
หรือถ้ามองง่ายๆ Transpose ก็คือการเปลี่ยนแถวเป็นหลักนั่นเอง
คุณสมบัติของเมทริกซ์ 2
การคูณเมทริกซ์
ถ้า A เป็นเมทริกซ์ขนาด mxn และ B เป็นเมทริกซ์ขนาด nxk ผลคูณของ A และ B จะเป็นเมทริกซ์ขนาด mxk ซึ่งสมาชิกที่ (i,j) หาได้ด้วยการคูณสมาชิกที่อยู่ในลำดับเดียวกันตามแนวนอนที่ i ของ A กับแนวตั้งที่ j ของ B และนำมาบวกกัน ซึ่งเรียกว่า ผลคูณเชิงสเกลาร์ (Dot Product) ของแนวนอนที่ i ของ A กับแนวตั้งที่ j ของ B
กฎการคูณ: สมมติ A และ B มีขนาด mxn และ kxp ตามลำดับ ผลคูณของ A และ B จะหาได้ก็ต่อเมื่อ n=k และ AB มีจะขนาด mxp
หรือถ้ามองง่ายๆ การคูณเมทริกซ์ AB ก็คือการนำแถวของเมทริกซ์ A มาคูณหลักของเมทริกซ์ B
เมทริกซ์เอกลักษณ์ (Identity Matrix) เป็นเมทริกซ์จัตุรัสที่มีสมาชิกบนแนวทแยงมุมหลักเป็น 1 และสมาชิกในตำแหน่งอื่นๆ เป็นศูนย์ทั้งหมด แทนด้วย I
คุณสมบัติของเมทริกซ์ 3
เป็นอย่างไรกันบ้างคะทุกคน เห็นไหมคะว่าเมทริกซ์ (Matrix) ไม่ได้ยากอย่างที่คิด แถมยังเป็นเรื่องใกล้ตัวของคนใช้ Data อย่างพวกเรามากๆ หวังว่าบทความนี้จะเป็นประโยชน์ต่อทุกคน หากมีข้อติชมหรือคำแนะนำเพิ่มเติม เพื่อนๆ สามารถคอมเม้นต์กันมาได้เลยนะคะ ^^
References
สำหรับใครที่สนใจเรื่องราวดีๆ หรืออยากเรียนรู้เกี่ยวกับ Product ใหม่ๆ จากชาว KBTG สามารถติดตามรายละเอียดกันได้ที่เว็บไซต์ www.kbtg.tech
