Docker を利用するために dockerd と docker コマンドをインストールする必要があります。dockerd がコンテナを管理し、docker コマンドで dockerd にリクエストを送り制御します。
Ubuntu などの Linux であればパッケージマネージャーを使ってインストールできます。macOS と Windows にはそれぞれ Docker for Mac と Docker for Windows があります。以降は macOS + Docker for Mac をベースに話を進めます。また、扱うコンテナについてはLinuxのコンテナのみを対象とします。
以下のリンクから Docker for Mac をインストールします。Stable/Edge の2種類ありますが、Stableが良いと思います。
Docker for Mac がインストールできたら Docker.app を起動します。メニューバーに Docker.app のアイコンが表示されていることを確認します。
Docker for Mac をインストールすると合わせて docker コマンドも一緒にインストールされます。
$ type docker
docker is /usr/local/bin/docker
Docker.app が起動できていることを確認するために、docker コマンドでプロセス一覧を表示してみます。Docker で何も動かしていないので空ですが、dockerd と通信できていることが確認できます。
$ docker ps
CONTAINER ID IMAGE COMMAND CREATED STATUS PORTS NAMES
一方、Docker.app が立ち上がっていない場合、dockerd との通信に失敗します。
$ docker ps
Error response from daemon: Bad response from Docker engine
おまけ
Docker for Mac と Docker for Windows は OS の仮想化技術を使って Linux VM を立ち上げています。この意味では VirtualBox などを使って Linux VM を立ち上げることと大きく違いはありません。ただし、Docker for Mac では macOS から使いやすいように様々な機能を使い親和性を高めています。この辺について詳しく知りたい場合は Docker for Mac vs. Docker Toolbox をご覧ください。
上述の通りDocker for Mac においてもバックグラウンドでは Linux が走っています。これは以下のように screen コマンドでアクセスして確認することができます。
$ screen ~/Library/Containers/com.docker.docker/Data/com.docker.driver.amd64-linux/tty
linuxkit-025000000001:/# uname -a
Linux linuxkit-025000000001 4.9.125-linuxkit #1 SMP Fri Sep 7 08:20:28 UTC 2018 x86_64 Linux
Docker for Mac では linuxkit を使っているようです。
https://github.com/linuxkit/linuxkit