主成分分析的概念及應用

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Marketingdatascience

4 min readAug 23, 2019

在這個充滿大數據的時代裡，要蒐集到資料並非一件難事，但如何分析資料，並且找出這些資料背後的價值，是身為行銷人的我們必須學會的技能。在這項技能的背後，「統計」又扮演著非常重要的角色。也因此，我們將陸續介紹這些統計工具。而本篇文章，將介紹「主成分分析（Principal Component Analysis）」。

簡單來說，主成分分析能將眾多的變數（如5個變數），透過少數幾個變數來描述（如2個主成分）。例如：將學生的國語、英文、數學、社會、自然等5項成績（即5個變數），透過主成分分析後，得到：「綜合成績」與「文理科成績」兩項指標（如2個主成分）。接著，將以上兩項指標（主成分）當作X軸與Y軸，還可以畫出「主成份負荷圖」，來呈現各個學生在兩項指標（主成分）上的位置，如圖1所示。

資料來源：栗原伸一, 丸山敦史，《統計學圖鑑：未來10年的最熱技能，保持領先，必學「極簡統計」！》，譯者：李貞慧，楓葉社文化，2019/05/02

主成份分析能夠將一組高度相關的變數，建構出背後的「指標（主成分）」。例如上述中的學生的國語、英文、數學、社會、自然成績，其指標為：「綜合成績」與「文理科成績」。或是將棒球隊的一壘安打、二壘安打、三壘安打、全壘打、打點、盜壘次數、四壞球等變數，進行主成份分析，可得到「上壘」、「打擊者」、「安打」等指標。

至於最多能萃取出多少主成分。理論上，K個變數，最多能萃取出K個主成份，但萃取出K的主成分的意義不大，因為這違反了一開始進行主成分分析的目的 — 即透過少數變數來描述眾多變數。此外，經過主成分分析所萃取出的主成份，重要性依序遞減，第一個所萃取出的主成份，解釋力最高。

那到底該萃取出多少主成分?統計上，我們可以利用陡坡圖，根據凱莎(kaiser)準則，保留特徵值大於1的主成份。另外，就是根據自己的需求來決定。至於需求數的多寡，在應用上，最常見的是萃取出1個主成分，以及2個主成分。

1.單一主成分

通常當我們只想找出一個「總指標」，就會只保留第一個主成份。例如：將應徵勞動工作者的身高、體重、胸圍、負重跑百米的時間等變數，透過主成分分析，萃取出背後的「體格」指標。這時，面試官就可透過「體格」這項指標，來進行排序，進而作為甄選的依據。或是將各種通路商的合作時間、公司成立時間、每年進貨數量、每次進貨數量、應收帳款時間、繳款時間…等變數，透過主成分分析，找出「優質廠商」指標，以作為給予各家廠商折扣多寡的依據。

2.雙主成分

在行銷上，「品牌定位」是個重要的議題。當我們萃取出雙主成分時，就可以根據這兩項主成分，發展出「定位圖」。舉例來說，透過儀器檢測市場上不同品牌啤酒的各種資料（如乙醛、乙酸乙酯等），透過主成份分析，找出兩項主成分（香醇與酒勁），協助企業發展品牌定位策略，或是做為改善產品的依據。

最後，主成分分析的目的，在透過少數變數來描述眾多變數，應用到資料科學領域，很適合用來「降維」（Dimension reduction）。在進行資料分析時，變數太多，會增加分析的複雜度，相對的，所投入的時間與資源也就更多。而每個變數，就是一個維度，主成分分析能用少數變數來描述眾多變數，亦即能降低變數的維度（如圖2所示）。舉一個在行銷資料科學上的實際應用 — 人臉辨識（雖然這項應用早在1991年就被提出），因為人臉辨識所牽涉到的變數很多，透過主成分分析可以萃取出少數的臉部特徵，來減少影像誤判的結果。