Il paradosso di Bertrand

Joseph Louis François Bertrand (1822–1900) è stato un matematico francese, che ha contribuito in numerosi campi dello scibile umano: teoria dei numeri, geometria differenziale, teoria delle probabilità, economia e termodinamica.

Nel suo famoso libro sulla teoria delle probabilità — Calcul des probabilités (1889) — ha posto un problema che ha messo in crisi i fondamenti stessi della teoria delle probabilità, oggi noto con il nome di Paradosso di Bertrand. Usando le sue stesse parole (o quasi), il problema si enuncia nel modo seguente:

Se tracciamo in modo casuale una corda su un cerchio, qual è la probabilità che sia più lunga del lato di un triangolo equilatero inscritto nel cerchio?

A questo quesito, Bertrand ha fornito tre diverse risposte, associate a tre distinti valori per la probabilità in questione. E poiché queste tre risposte sembrano fondarsi, tutte e tre, su un ragionamento perfettamente valido, questo spiega perché il problema di Bertrand (e altri problemi simili) sia stato susseguentemente definito, da Poincaré, un paradosso.

La prima soluzione

La prima soluzione proposta da Bertrand consiste nel scegliere un punto arbitrario sul cerchio, considerandolo uno dei vertici di un triangolo equilatero inscritto. Questo punto, che descrive uno dei due punti d’intersezione della corda con il cerchio, è mantenuto fisso, mentre il secondo varia (cosicché la corda si muove come una sorta di pendolo). Si osserva allora che considerando tutti i punti possibili sul cerchio (relativi a questo secondo punto d’intersezione) la corda ruoterà di un angolo totale di 180°, ma che solo le corde che intersecano l’arco di cerchio sotteso da un angolo di 60°, rispetto al vertice del punto fisso (fedi la figura), soddisfano la condizione di essere più lunghe del lato del triangolo equilatero inscritto. Pertanto, la probabilità cercata è data dal rapporto:

P = 60° diviso 180° = 1/3.

La seconda soluzione

La seconda soluzione proposta dal matematico francese consiste nel scegliere prima una direzione arbitraria, quindi di considerare tutte le corde che sono parallele a tale direzione. Muovendole lungo il cerchio, si osserva allora che quelle che intersecano il suo diametro (perpendicolare alle stesse) in un segmento centrale la cui lunghezza è pari a metà del diametro (vedi la figura) soddisfano la condizione di essere più lunghe del lato del triangolo equilatero inscritto. Pertanto, questa volta la probabilità cercata è:

P = mezzo diametro diviso diametro = 1/2.

La terza soluzione

La terza soluzione consiste nel scegliere un punto arbitrario all’interno del cerchio, e considerarlo come il punto mediano della corda. Muovendolo all’interno del cerchio, si osserva allora che tutte le corde il cui punto mediano è contenuto in un cerchio più piccolo (corrispondente al cerchio inscritto nel triangolo equilatero), il cui raggio è metà del raggio del cerchio grande, soddisfano la condizione di essere più lunghe del lato del triangolo equilatero inscritto. Ed essendo l’area del cerchio piccolo esattamente un quarto dell’area del cerchio grande, la probabilità cercata è data dal rapporto:

P = area cerchio piccolo diviso area cerchio grande = 1/4.

In un recente scritto, il filosofo Nicholas Shackel1 ha affermato che la situazione attuale, per quanto attiene al paradosso di Bertrand, è che dopo più di un secolo questo rimane un problema del tutto irrisolto, che continua a minare la validità del cosiddetto principio di indifferenza, su cui si fonda l’intera teoria della probabilità; un principio secondo cui:

Eventi alternativi per i quali esistono pari ragioni hanno la stessa probabilità di verificarsi.

Più recentemente, e più pessimisticamente, il filosofo Darrell P. Rowbottom ha concluso, in una sua recente analisi2, che tutte le soluzioni proposte da Bertrand sono di fatto inapplicabili, e che il paradosso, a dispetto dei difensori del principio di indifferenza, è molto più difficile da risolvere di quanto inizialmente si fosse pensato.

Malgrado tutte queste difficoltà, assieme a Diederik Aerts abbiamo proposto quella che riteniamo essere una soluzione del tutto convincente di questo famoso problema, che giace ai fondamenti stessi della teoria delle probabilità. La risposta è giunta a noi quale conseguenza di un altro problema matematico, che cercavamo di risolvere in relazione a un altro famoso enigma: quello della misura in teoria quantistica. Ci siamo accorti, infatti, che il paradosso di Bertrand costituiva l’ostacolo che si frapponeva tra noi e la soluzione di questo problema, tanto che, trovando una possibile soluzione per quest’ultimo abbiamo ottenuto, come bonus, una soluzione del problema di Bertrand.

Questo intimo collegamento tra “fondamenti della teoria delle probabilità” e “fondamenti della teoria quantistica” non dovrebbe sorprendere. Infatti, non è il frutto di una coincidenza: entrambi questi approcci al reale s’interessano di descrivere dei sistemi fisici sottoposti ad azioni sperimentali specifiche, secondo protocolli che incorporano la presenza di fluttuazioni irriducibili, tanto che i risultati di queste azioni non possono essere predetti in anticipo, con certezza, nemmeno in linea di principio (da cui l’utilizzo delle probabilità).

In tale senso, possiamo affermare che i padri fondatori della teoria delle probabilità, a loro insaputa, erano dei fisici quantistici ante litteram!

Per saperne di più:

Qui di seguito, il link al preprint dell’articolo originale, con la soluzione tecnica del problema. Questa, come vedrete, necessita sia di un’analisi concettuale, sia di un’analisi matematica. Il tutto resta però accessibile a chi dal liceo si ricorda ancora che cos’è un’integrale, o una dimostrazione per induzione.

Solving the hard problem of Bertrand’s paradox
by Diederik Aerts and Massimiliano Sassoli de Bianchi

Abstract: Bertrand’s paradox is a famous problem of probability theory, pointing to a possible inconsistency in Laplace’s principle of insufficient reason. In this article we show that Bertrand’s paradox contains two different problems: an “easy” problem and a “hard” problem. The easy problem can be solved by formulating Bertrand’s question in sufficiently precise terms, so allowing for a non ambiguous modelization of the entity subjected to the randomization. We then show that once the easy problem is settled, also the hard problem becomes solvable, provided Laplace’s principle of insufficient reason is applied not to the outcomes of the experiment, but to the different possible “ways of selecting” an interaction between the entity under investigation and that producing the randomization. This consists in evaluating a huge average over all possible “ways of selecting” an interaction, which we call a universal average. Following a strategy similar to that used in the definition of the Wiener measure, we calculate such universal average and therefore solve the hard problem of Bertrand’s paradox. The link between Bertrand’s problem of probability theory and the measurement problem of quantum mechanics is also briefly discussed.

Originally published at www.zenon.it on March 23, 2014.