La magia del dodicesimo cammello

Recentemente, in un video su Facebook, mi sono imbattuto in una vecchia storiella, quella di un cammelliere che possiede 11 cammelli, che alla sua morte lascia in eredità ai suoi tre figli, indicando nel testamento che al primo figlio devolve metà (1/2) dei cammelli, al secondo un quarto (1/4) dei cammelli, e al terzo un sesto (1/6) dei cammelli.

Ovviamente, i fratelli iniziano a litigare, perché la metà di 11 cammelli (11/2) sono 5,5 cammelli, cioè 5 cammelli più mezzo cammello (5+1/2), e siccome non è pratico tagliare un cammello a metà, il primo fratello chiede di riceverne 6 di cammelli. I suoi due fratelli però obiettano: dal momento che ha già la fortuna di ricevere il maggior numero di cammelli, semmai dovrà accontentarsi di 5 soli cammelli. Per farla breve, la discussione si fa molto animata, fino a quando un tizio di passaggio, che si accorge della baruffa in atto, si fa spiegare la situazione. Nessuno sa che il tizio in questione è un matematico in incognito, in vacanza su un cammello. Dopo aver riflettuto un momento alla questione, propone ai tre fratelli di risolvere il problema nel modo seguente.

Fa dono ai 3 fratelli del suo cammello. In questo modo, l’asse ereditario diventa di 12 cammelli. Quindi, essendo 12 divisibile per 2, senza dover tagliare a metà un cammello, il primo fratello riceve una quota di 6 cammelli (12/2=6). Ma 12 è anche divisibile per 4, così il secondo fratello riceve una quota di 3 cammelli (12/4=3). Infine, essendo 12 anche divisibile per 6, il terzo fratello riceve una quota di 2 cammelli (12/2=6). Ma non è finita qui: dal momento che 6+3+2=11, i fratelli offrono al matematico il cammello restante, che può così riprendere la sua passeggiata “a cammello” nel deserto.

Alcuni usano questa curiosa (e per certi versi sorprendente) storiella per affermare che con il dono del cammello il tizio di passaggio “sblocca la giustizia inceppata dall’avidità”, riavendo indietro alla fine non solo il suo cammello, ma anche la gratitudine dei tre fratelli. Ma è davvero così?

Innanzitutto, bisogna osservare che l’origine del problema non sta tanto nell’avidità dei tre fratelli. Loro semplicemente cercano di dividersi i cammelli secondo giustizia, e questo nelle loro menti significa: secondo la volontà del loro padre, cioè secondo le quote di divisione da lui stabilite. Se hanno difficoltà a farlo, non è tanto (o meglio, non è solo) perché 11 (che è un numero primo) non è divisibile per 6, o per 3, o per 2. Infatti, si potrebbe obbiettare che i tre fratelli potevano semplicemente macellare alcuni degli animali, così da poter dare 5 cammelli + metà cammello al primo fratello (11/2=5 +1/2), 2 cammelli + tre quarti di cammello al secondo fratello (11/4=2 + 3/4), e infine 1 cammello + cinque sesti di cammello al terzo fratello (11/6=1+5/6).

Tutto qui? Il problema era dunque solo che che i tre fratelli erano vegetariani e non volevano macellare alcuni cammelli?

Non proprio, facciamo bene i conti: sommiamo i diversi cammelli e porzioni di cammello macellati ottenuti a seguito della divisione. I cammelli interi (vivi) sono 5+2+1=8. Ci si aspetterebbe quindi che sommando i pezzi restanti si ottengano altri 3 cammelli, ma non è così. Infatti: 1/2+3/4+5/6 non fa 3 ma 3–11/12. Questo significa che il padre, nel comporre il suo testamento, si è dimenticato di una parte del suo asse ereditario. Mi spiego meglio. Quando si fa un testamento, idealmente bisognerebbe specificare come va diviso tra gli eredi tutto l’asse ereditario (nella fattispecie, tutti e 11 i cammelli) e non solo una parte di esso. Le quote considerate dal padre, invece, quando le si sommano, non danno la totalità dell’asse ereditario. Infatti: 11/2+11/4+11/6 non fa 11, ma 11x(11/12)=11–11/12. In altre parole, il padre, nel suo testamento, ha specificato cosa fare degli undici dodicesimi dei suoi 11 cammelli, tralasciando il restante dodicesimo degli undici cammelli.

Pertanto, la morale provvisoria della storia è che, affinché vi possa essere giustizia, prima ancora del dono (ad opera del matematico di passaggio), vi dovrebbe essere chiarezza: quella di un testamento dove viene chiaramente specificato come devolvere tutta la sostanza ereditaria, e non solo parte di essa. Ma è proprio così? È proprio vero che il testamento del padre è incompleto?

Prima di rispondere a questa domanda, vediamo di spiegare intuitivamente perché il trucco del matematico permette (apparentemente se non altro) di risolvere la situazione (poi però, dobbiamo verificare che la risolve anche secondo giustizia). Come già detto, la somma delle percentuali del padre non fa 1, ma 11/12, cioè 1–1/12. Se ad esempio il padre avesse scritto nel suo testamento che lasciava metà dei suoi cammelli al primo figlio, un quarto al secondo e un altro quarto al terzo, avremmo avuto: 1/2+1/4+1/4=1. In questo caso, non ci sarebbero stati problemi (a condizione che i figli non fossero vegetariani): il primo figlio avrebbe infatti ricevuto 11/2=5,5 cammelli, il secondo 11/4=2,75 cammelli, e altrettanti il terzo figlio. I conti sarebbero tornati, perché 5,5+2,75+2,75=11, e per eseguire l’eredità i fratelli avrebbero dovuto semplicemente macellare due cammelli, tagliandoli ognuno in quattro parti eguali, dando due parti al primo figlio (0,25+0,25=0,5), tre parti al secondo (0,25+0,25+0,25=0,75) e tre parti al terzo (0,25+0,25+0,25=0,75).

Ma così non è stato, e il matematico di passaggio deve correggere l’errore. Lo fa alterando temporaneamente il numero di cammelli, di modo che per quanto la somma delle percentuali del padre non dia l’unità, tutto avvenga come se così fosse. Infatti, se è vero che 11 moltiplicato per 11/12 non fa 11, ma fa invece 11–11/12, se aggiungiamo 1 cammello abbiamo 11+1=12, che moltiplicato per 11/12 questa volta fa esattamente 11. Quindi, aggiungendo quel cammello “mancante”, è come se venisse corretto l’errore di suddivisione del padre.

Molto bene, lo stratagemma sembra in effetti funzionare, ma la domanda che dobbiamo porci è la seguente: giustizia è stata fatta, o si tratta unicamente di un’illusione di giustizia? Il matematico di passaggio ha solo escogitato un trucco per evitare che i fratelli si ammazzassero tra di loro, per pochi cammelli, oppure il suo è un ragionamento più profondo, frutto di una riflessione giuridico-matematica attenta? Vediamo di scoprirlo assieme, cercando di immaginare quale potrebbe essere stato il suo ragionamento.

Il matematico, naturalmente, si accorge subito che il testamento del padre è incompleto, dal momento che le percentuali non si sommano all’unità. D’altra parte, non è detto a priori che quelle percentuali siano il frutto di un errore. Potrebbe essere, infatti, che il padre era semplicemente un tipo complicato, o magari sperava che, per risolvere il problema della loro eredità, i suoi figli si sarebbero interessati alla nobile arte e scienza della matematica. O magari era solo un burlone, chi può dirlo. Ma senza maggiori informazioni, il matematico non può far altro che prendere le percentuali indicate dal padre sul serio, e cercare in tutti i modi di rispettarle. Vediamo come.

Dunque, come abbiamo visto, un’applicazione diretta del testamento fa sì che il primo figlio riceve 11/2 dell’asse ereditario, il secondo figlio 11/4, e il terzo figlio 11/6. Come abbiamo visto però, questa divisione fa sì che rimanga un resto di 1/12 dell’asse ereditario, cioè di undici dodicesimi (11/12) di cammello. E, ovviamente, questo resto va a sua volta ripartito tra i tre fratelli. Come fare? Naturalmente, si potrebbe suggerire di semplicemente dividerlo in tre parti eguali, cioè 11/36-esimi di cammello a ogni fratello. Ma questo ovviamente non significherebbe fare la volontà del padre, perché il padre ha specificato nel suo testamento quali siano le proporzioni da applicare. Quindi, quelle stesse proporzioni vanno ora applicate anche al resto di un dodicesimo dell’asse ereditario di 11 cammelli. Questo significa che il primo figlio deve riceve metà di quegli undici dodicesimi di cammello, cioè (1/2)x11/12=11/24, il secondo figlio un quarto, cioè 11/48, e il terzo figlio un sesto, cioè 11/72.

Molto bene, il problema però è che se facciamo la somma di questi valori, otteniamo: 11/24+11/48+11/72=11/12–11/144. In altre parole, la questione si ripresenta, perché come già più volte osservato la somma delle percentuali indicate dal padre non corrisponde all’unità. Quindi, una volta ripartito quel resto di 11/12, resta un ulteriore resto, più piccolo, di 11/144, cioè di un dodicesimo di dodicesimo (un centoquarantaquattresimo) di 11 cammelli: (1/12)x(1/12)x11=11/144. Poco male, è sempre possibile ripetere l’operazione ancora una volta e ripartire anche questa rimanenza di 11/144-esimi secondo le indicazioni del padre. Il primo figlio riceve allora metà di 11/144, cioè 11/288, il secondo figlio un quarto, cioè 11/576, e il terzo figlio un sesto, cioè 11/864. E ancora una volta possiamo osservare che se facciamo la somma otteniamo: 11/288+11/576+11/864=11/144–11/1728. Vale a dire, abbiamo nuovamente un resto da spartire, di un dodicesimo di dodicesimo di dodicesimo (un millesettecentoventottesimo) di 11 cammelli: (1/12)x(1/12)x(1/12)x11=11/1728.

Lo avrete capito, la cosa va avanti all’infinito. Ma i matematici non hanno paura dell’infinito, anzi, ci vanno proprio a nozze con l’infinito (anche se il matrimonio può a volte avere delle complicazioni, in quanto non tutti gli infiniti sono uguali tra loro). Essendo chiaro quale sia il meccanismo che produce i diversi valori da aggiungere a ogni passo successivo, è infatti possibile scrivere esattamente quale sia la parte dell’asse ereditario che bisogna attribuire ad ogni fratello. Ovviamente, essendo il numero di passaggi infinito, si tratterà di una somma infinita di valori, ma questo non significa che il risultato non possa essere qualcosa di finito. Guardiamo la cosa dalla prospettiva del primo figlio, il ragionamento per gli altri due fratelli essendo lo stesso, mutatis mutandis.

Dunque, lui riceve al primo passaggio (alla prima divisione) metà degli 11 cammelli, cioè: (1/2)x11. Al secondo passaggio bisogna aggiungere metà degli undici dodicesimi restanti, ossia: (1/2)x(11/12). Al terzo passaggio bisogna aggiungere metà degli undici dodicesimi di dodicesimo restanti, cioè: (1/2)x(11/12)x(1/12). Al quarto passaggio bisogna aggiungere metà degli undici dodicesimi di dodicesimo di dodicesimo restante, cioè: (1/2)x(11/12)x(1/12)x(1/12). E così via all’infinito. In altre parole, il numero di cammelli che deve ricevere in totale il primo figlio, secondo la volontà del padre, è dato dalla somma:

(1/2)x11+(1/2)x(11/12)+(1/2)x(11/12)x(1/12)+(1/2)x(11/12)x(1/12)x(1/2)+(1/2)x(11/12)x(1/12)x(1/2)x(1/2)+…

dove i puntini alla fine significano che si va avanti all’infinito a sommare tutti i valori generati in questo modo. Chi tra i lettori è un po’ pratico di questo tipo di calcoli, subito si accorgerà che il fattore (1/2)x11 è presente in ogni termine della somma. Pertanto, è possibile metterlo in evidenza e riscrivere la somma nel modo seguente:

(1/2)x11x[1+(1/12)+(1/12)x(1/12)+(1/12)x(1/12)x(1/12)+…]

Ciò che si trova tra le due parentesi quadre, [1+…], in matematica si chiama serie geometrica. Con questo termine si indica una somma tale che il rapporto tra due termini successivi è sempre lo stesso, cioè è costante. Nel nostro caso, tale rapporto è evidentemente 1/12. Fortunatamente, esiste una formula semplice che permette di calcolare questa somma [1+…], che nel nostro caso corrisponde alla seguente espressione:

[1+…]=[1-(1/12)x(1/12)x(1/12)x…]/[1-(1/12)]

Osserviamo che abbiamo in questa formula, al numeratore, un prodotto di fattori identici, (1/12)x(1/12)x(1/12)x… In matematica tale prodotto si chiama potenza. Se la serie comportasse n termini, allora tale prodotto comporterebbe n+1 fattori, cioè la potenza sarebbe di n+1. D’altra parte, noi sappiamo che abbiamo a che fare con una somma infinita, quindi la potenza è nel nostro caso infinita. Ma essendo 1/12 un numero strettamente inferiore a 1, quando lo si eleva alla potenza dell’infinito il risultato è esattamente 0. Pertanto, la summenzionata formula si semplifica e diventa:

[1+…] = [1–0]/[1–(1/12)]=1/[1–(1/12)]=12/11

Tornando quindi al numero di cammelli che deve ricevere in totale il primo figlio, secondo la volontà del padre, otteniamo che il risultato di tale somma è:

(1/2)x11x[1+…]=(1/2)x11x(12/11)=6

In altre parole, se si esegue alla lettera il testamento del padre, usando le sue quote di divisione solo apparentemente incomplete, si ottiene che il primo figlio deve ricevere esattamente 6 cammelli, e un calcolo del tutto simile permette di determinare che il secondo figlio deve ricevere esattamente 3 cammelli, e il terzo figlio esattamente 2 cammelli.

Morale della storia: il matematico di passaggio era un personaggio davvero astuto, e giusto. Infatti, non solo ha applicato alla lettera il testamento del padre, prendendo molto sul serio le sue volontà (eseguendo il calcolo matematico che esso implicava), ma al contempo ha compreso che non sarebbe mai riuscito a spiegare un tale calcolo (che richiede la capacità di sommare un’infinità di termini) ai tre figli del cammelliere, e per evitare una carneficina ha escogitato un trucco, una specie di magia, o meglio un “inganno a fin di bene”. L’inganno era però solo apparente, perché il risultato è identico a quello che si ottiene facendo il calcolo esatto, nel pieno rispetto della volontà del padre, cioè senza andare ad alterare il suo asse ereditario con l’aggiunta artificiosa di un cammello.

Detto questo, resta ovviamente un ultimo mistero: per quale ragione il cammelliere non ha diviso la sua eredità in parti eguali, tra i suoi figli? Insomma, la vera morale di questa storia è che: non sempre, facendo la cosa giusta, si ottiene giustizia…