無法判定、無法計算、無法預測

數學是科學的工具，但是數學並不等於科學。某些數學的本質（無法判定、無法計算、無法預測）並不會影響大自然本身，但是會影響我們用數學來了解、預測大自然的能力。

無法判定：

一個邏輯系統（例如：數學、科學）必須要有幾個條件，第一是「有效性」：只要「前提」正確，那麼結論一定是正確的。第二是可靠性：所有的定理都是真的。第三是自洽性（一致性）：任何公理或定理都不能互相矛盾。第四是完備性：沒有不能證明或否證的有效命題。

哥德爾不完備定理：任何一個包含自然數公理（例如：皮亞諾公理）的算術形式系統都不可能同時滿足自洽性和完備性。亦即有一些數學真理在該體系內是無法被證明的（蘇軾：「不識廬山真面目，只緣身在此山中」）。

物理 = 數學公理 + 測量（操作化的觀念），如果有某物理定律用了不完備（無法證明或證偽）的數學公理，那麼就用測量來證實該物理定律的預測。

無法計算（亦即無法解決所有的問題）：

無限是無法計算的，但是物理量是有限的。例如停機問題：電腦計算某個問題時可能會停機（找到答案）或永遠不能停機（無限迴圈，找不到答案）。假設有某個全知全能的程式（演算法）能知道某個程式是否會停機，如果我們把該全知全能的程式輸入給它自己（自我指涉），那麼就會造成矛盾。類似的情形是「羅素悖論」：有ㄧ位理髮師宣稱他幫所有不給自己刮臉的人刮臉，如果他幫自己刮臉，那麼他就屬於「給自己刮臉的人」，他就不應該這麼做; 如果他不幫自己刮臉，那麼他就屬於「不給自己刮臉的人」，那麼他就應該幫自己刮臉。

無法預測：量子（微小世界）、混沌系統（例如：天氣）是無法預測的。