Resposta Autônoma

O nome autônomo remete a equação diferencial que não possui um termo não homogêneo, também conhecido como forçante, na equação diferencial ordinária(EDO). Para sabermos mais a respeito das equações de modelos dinâmicos, é necessário solucionar as equações diferenciais.

Sistema de 1° Ordem

A partir da solução final da equação, mostrado na figura abaixo, temos que a resposta é uma exponencial assintoticamente estável, partindo das condições iniciais.

Sistema Massa

A partir da solução final da equação, mostrado na figura abaixo, temos que a resposta é uma reta crescente, partindo das condições iniciais.

Sistema Massa-Amortecedor

A partir da solução final da equação, mostrado na figura abaixo, temos que a resposta é uma marginalmente estável estável, partindo das condições iniciais.

Sistema Massa-Mola

A partir da solução final da equação, mostrado na figura abaixo, temos que a resposta é uma oscilação harmônica, partindo das condições iniciais.

Sistema Massa-Mola-Amortecedor

A partir da solução final da equação, mostrado na figura abaixo, temos que há alguns casos possíveis devido ao sinal do termo c²-4mk.

Os três casos são mostrados na figura abaixo. A partir deles, vemos que nos dois primeiros casos, temos uma resposta como uma exponencial decrescente. Já para o último caso, a resposta é uma oscilação que perde amplitude continuamente.

Conclusão

Todos os sistemas mostrados são lineares em q(t). Os sistemas também são invariantes no tempo, ou seja, possuem coeficientes constantes no tempo.

Pode-se concluir que um sistema LTI(Linear Time Invariant) é assintoticamente estável se e somente se as raízes da equação característica possuírem parte real negativa.