Teorema do Transporte de Reynolds
O teorema de transporte de reynolds é o teorema fundamental utilizado na formulação das leis básicas da dinâmica, que são:
- Equação da conservação da massa
- Equações da conservação da quantidade de movimento
- Equação da conservação da energia
Para isso, usaremos o seguinte exemplo da figura abaixo.
Nessa figura há dois instantes para um escoamento em um tubo. O escoamento está indo da esquerda para a direita. Para facilitar o entendimento de como esse escoamento está se comportando, ele foi dividido em 3 sistemas. O desenho de cima é um retrato do sistema no instante t e o desenho abaixo é um retrato do sistema no instante t + Δt, com o fluido escoado.
Se considerarmos o sistema 2 um volume de controle fixo no espaço, por definição no instante t, temos que o volume de controle 2 é igual ao volume do sistema 2, no instante t. Já para o instante t + Δt a igualdade não é válida, pois uma parte do sistema 1 entrou no volume de controle e uma parte do sistema 3 saiu do sistema de controle. Isso é mostrado na figura abaixo.
Dado que isso aconteceu, analisaremos o que acontece com uma dada propriedade no sistema e no volume de controle. Para isso, definiremos uma propriedade β, que é uma outra propriedade B por unidade de massa.
Uma vez definido as duas propriedade, a partir do que já foi feito nas grandezas de fluxo, sabemos que no volume de controle 2 a grandeza B varia da forma:
Uma vez que temos B no volume de controle 2, agora devemos analisar como ela varia no tempo. Para isso, devemos saber como a derivada da propriedade B no tempo está se comportando. Sabemos que em um instante Δt os sistemas se movimentam entrado saindo do volume de controle. Sabemos também que se houver alguma variação na propriedade dos sistemas, isso impacta diretamente no volume de controle.
Além disso, os fluxos que passam pelo volume de controle 2, com 1 entrado e 3 saindo, influenciam na taxa da propriedade B. Logo, a taxa da propriedade B pode ser escrita da seguinte forma:
A fórmula acima mostra que a taxa do sistema 2 causa uma variação positiva no volume de controle. Além disso, o fluxo de B na superfície b gera um fluxo de saída, pois o sistema 3 está saindo do volume de controle. Já o fluxo de B na superfície a gera um fluxo de entrada, pois o sistema 1 está entrando no volume de controle.
Para finalizar, precisamos apenas escrever uma expressão matemática para os fluxos. Isso pode ser feito considerando um superfície de controle que seja fronteira do volume de controle 2 e com normal unitária apontando para fora da superfície.
Os fluxos de entrada e saída podem ser calculados usando uma integral de superfície no volume de controle.
Com todos os termos calculados, basta substituir eles na equação das taxas de variação de B pelo tempo.
A expressão final é a equação do Teorema de Transporte de Reynolds.
