一道題目的n種錯法

「如果我再把濃度重講一次,你一定懶得聽、在那邊恍神;因為濃度其實你早就懂了,你不是不會濃度,你只是……」

我常跟學生講這樣的句子。

學生又錯了一次濃度、又錯了一次速度,「把原理再講一次」這種不對症下藥的做法,不但浪費時間, 而且之後學生又錯,反而會覺得「濃度、速度是一種很難的東西,我每次聽都有懂,但題目就是不會寫」。

「對症下藥」說來簡單,但連學生自己都不知道自己「為什麼這次又錯」;

老師要「白天能懂夜的黑」那可不容易…… ,我們先來看看底下兩個例子:

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一) 裡面鹽有多少? 學生答:16%

「一包乖乖有20顆,小明吃了半包,他吃了多少乖乖? 學生答:半包」

生活上我們常常會把「量」和「占比」混著用,尤其是把整體當成「新單位:一包、一杯」的時候,半包、1/3杯就也可以作為「量」的表示方式。

上圖中,下面那個 16/18 的算式,分子寫16 可能意味著學生想到「鹽有多少」的時候,跳出了一個念頭:「鹽有16%」 — 但因為學生覺得寫 16% / 18 或 0.16/18 很奇怪,所以自動把那個 % 省略掉。

所以說學生並非不懂「濃度怎麼算」,而是他「沒有堅定地去區分 量 和 占比」。

我說「沒有堅定地去區分」是因為,如果近距離觀察學生,可能會發現他這個16也寫得很猶豫 — 他不是沒有懷疑,而是「放過了自己」;那為什麼學生會這樣放過自己、填下不確定的數字呢?

大家可以先想想,這個待會再講。

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二) 什麼是「重量百分濃度」? 學生答:就是有分子放那個什麼,然後分母還要加……

教到像濃度這種應用問題時,我都會跟學生強調:

「數學是一些「關係」,不是一條條公式」

有「關係」,就有「角色」,所有的數學應用問題、理化問題,第一步都是要先瞭解「故事裡的角色有哪些,它們有什麼關係、有什麼是我已經知道的、有什麼是還不知道的。」 在濃度的故事裡有三個角色:溶質、溶劑、溶液 — 我這麼說,不是要大家去編一個「從前有一個濃度王國」這種小故事,而是要強調,所有的濃度問題,第一步都是要先瞭解「鹽多少我知道嗎? 水多少我知道嗎? 鹽水多少我知道嗎? 」

至於關係:「重量百分濃度 就是 「占比」

而「除法 => 寫成分數」是我們求出占比的方法。 但「占比」也有其他的用法:

占比 = 倍」你喝的牛奶占全部的1/5,也就是 1/5倍,則「你喝的 = 全部 x 1/5」

( 我們小時候只有在「比較大」的時候才會用「倍」,更小的時候甚至是「整數倍」才用倍;但其實非整數、比1小也可以用倍。 )

其實,「為什麼 除法可以求「占比」?」
這個問題的答案,就是因為「占比 = 倍」,
而除法是乘法的逆運算,所以可以反過來求出「幾倍」。

回來看上圖的第一個算式,乍看之下,可能有人會說: 「學生把 “鹽水18克” 當成了 ”水18克”」,或是說「他的分母多加了 x」

但這些說法都太不合理,「鹽水18克」沒有那麼容易看錯;學生常常會在檢討考卷後說「啊,我多加了一次」、「啊,我把這個當成……」 其實多半也不是這樣。

學生的問題,是他把重量百分濃度當成「一個分數,上面有一些什麼、下面有一些什麼」, 然後解題時像在國小在寫「填填看」那樣,把題目的數字和 x 憑著印象填進式子裡。

他不是「不會濃度」,老師再教一次濃度他會覺得膩;他的問題是在解題時,沒有真正地去想像「這個故事裡,每個角色是多少、彼此有什麼關係」。

順便介紹一下這個問題,較為正確的兩種思路:

再來看看下面兩個錯法:

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三) 企圖用眼睛 看 出答案來……

如果近距離指導過學生,上面這張圖的第一個算式,大家一定看得出來學生在幹嘛 — 他在「抓整數」; 寫出這種算式的學生,十有八九,正在企圖看出分子應該是3、還是4、還是5……

小六的應用問題答案大部份是整數 — 已經過了練習小數、分數的年紀,而且很多「幾個」、「多少錢」的問題; 小六甚至有一節是要學生「逐個找,去找符合x、y的整數解」。

找整數解的確是一種很實用的數學能力,而且二元未知數的問題,例如 2x+3y=20還可以在找整數解的過程中「感覺出 x每加3、y就減2」的相對變化關係。

但學生、師長往往忽略了學生會因此「懶得解方程式」,結果

  1. 因為方程式計算不足,導致「分式計算」、「根號計算」、「代入消去」的生疏。
  2. 因為生疏而生出「迴避」心態,明明慢慢想還是可以算對的,就非要「繼續用眼睛找整數解」。
  3. 最後放任自己亂算、亂猜答案「應該就是1吧」、「應該可以直接加吧」……

這題的答案是 2.88,我故意的;尤其是二元一次的那章,我出的題目十有六七不是整數解,這題我算出來之後,會目光嚴峻地看著學生,一字一字地對他說:

「這題的答案是 2.88,你用眼睛看,你、一、輩、子、也看不出來,老師我可以心算,那是因為我真的在心裡「算」了,我不是一個一個找整數解的。」

那學生能不能也用心算呢?

  1. 他能辦到的話,早就答對了。 事實上寫下算式反而「省心」; 不寫算式,他要記住「空的那個地方有乘了100,然後16x18等於……,咦,那100之後要怎樣……」
  2. 即便學生心算能寫對,我也會要他們「不要改在算式裡」。也就是,不要先寫 ___/16 =18/100 , 後來又把2.88填回去,變成 2.88/16=18/100 
    我會要求學生寫成 x/16=18/100,心算出來之後再寫 x = 2.88 這是為了「讓你回頭來看這行,知道x是自己算出來的、順帶想到它是什麼,然後能繼續想下去。

心算本身沒有不好,但我會要學生問自己:

  • 你是真的在心裡計算,還是在「找整數解」?
  • 你心裡是有在推論,還是只有在「感覺…… 好像……記得……

如果只是在找整數解、如果只是在「搜尋記憶中的速解」,那我會提醒他們:

考試的時候,三秒鐘沒看出來的,就要去用「比較麻煩,但一定會對」的方式去寫。

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四) 我怎麼知道,這題要不要設x?

其實我上面示範的「思路二」裡面,是不需要設x的,鹽的量,就是 「18克鹽水的 0.16倍 = 18x0.16 = 2.88」

那有的學生會問:「我怎麼知道這題要不要設x?」或「我怎麼知道這題要設幾個未知數?」

其實這是一種迷思。 如果有看我在 youtube 的影片,會發現我在教「一元一次」的一開始,就示範了下面這個例題:

請接著看下一張:

「設未知數」是為了幫助思考

  • 遇到每一題,就先確認「我不知道什麼」,然後不知道的就設未知數
  • 就算原本沒有設,只要想到一半發現「這個我不知道欸」三秒鐘沒看出它該怎麼寫的,就設一個未知數,再往後面
  • 有的時候「設了x,到後面算一算會約掉」,或「x沒解出來,但答案還是找到了」也沒關係。

什麼是「數學素養」,這些就是數學的素養之一。

我上面提到學生「把鹽量寫16的時候,心裡也會猶豫,但還是放過自己、寫下去了」,為什麼呢? 其實多半就是因為「不寫16,他們也不知道分子該填什麼」

— 那,「不知道該填什麼」…… 就應該「設x」啊!

所以終歸一件事,就是學生沒有「遇到不知道的,就設x來幫助自己想下去」的素養;

才會到了國三、到了高中,還在問「這題要設什麼為 x」。

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上面說學生會「空著分子,一直空想、找整數解」,其實多半也和這種不設未知數的習慣有關。

我教過很多不愛寫算式的學生,越是有點聰明的學生,越愛心算、他們以此為樂、以此為傲;

這種學生需要「調教」 — 我找到機會、心裡盤算「這題你心算一定會卡住」就塞給他算,等他卡住、算給他看時,補上一刀:

如果你設x, 交叉相乘會不會? 16x18 動筆算完之後,看著 100x=288 同除會不會?
你不是不會濃度,你只是不肯設x、不肯動筆算。
結果你這題空著,你心算多強,又有誰知道?  錯久了,連你自己都會懷疑「數學不好,大概是我笨吧 …… 」

越聰明的學生,會「堅持」得越久,有的甚至會拖到高中才「認輸」動筆;但他們夠聰明,其實也會懂你要他寫算式是對的,只是不甘願、或著習慣了,或是跟自己說「我這是在練習心算」

— 我會說「你寫下來,你的心一樣會算,你算久了,每次都對,就可以不要寫」。

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五) 「如果……」、「變成……」

我在第一段提到,學生會在思考「鹽有多少」的時候,想成「鹽有 16%」,類似的「口語化思考」是需要矯正的,另一很常見的就是「如果……」和「變成……」

「濃度16%是什麼意思?  意思是 ”如果鹽水有100克,那鹽有16克” ,但現在鹽水沒有100克、鹽水是18克,那鹽有幾克?」
學生:「……  不知道」 ( 我怎麼知道「如果沒有 100克」會怎樣?)

當然老師在口語上還是可以說「如果鹽有100克……」;但當你發現上面這個問題,學生說他不知道的時候, 或是當你看到學生留上面那種「100 →18 ,16 → ___」的算式時,

也許你該提醒學生,數學關係,包括「占比」並不是「如果有、如果沒有」這種事 — 你如果有去早餐店,會點漢堡,但如果沒有去,早餐會吃什麼……我怎麼知道。

你可以改用「比」或「倍」

「濃度16%,代表鹽占鹽水的比例,固定是 16:100」 或 「濃度=占比=倍,鹽是鹽水的0.16倍」

另一種常見的口語誤區,就是「16%的鹽水18克,加水6克,變成濃度___%的鹽水」

同樣的,稀釋不是「變成」。 並不是說老師要「謹慎用詞」,我覺得不需要,但就是要留意學生是否因為對於濃度知識的內化不足,而在思考時會停留在「變成……」這種模糊概念上面。

我喜歡叫初學的學生講解「為什麼寫下這行算式」給我聽,他錯也問、他對也問;

學生一開始會覺得「我知道為什麼,我只是不會講」,但我會找機會證明給他們看:

「你能清楚跟我講,就代表你能 清楚地跟自己講
你想的是明確的、每一步都是有道理的,就一定會對;不然,就可能會錯。」

數學和理化都一樣,尤其是理化,不能只有模糊的「概念」

例如:「增加的速度 ≠ 加速度」

如果不能掌握到「明確」的數學關係、就沒辦法想清楚、遇到問題當然也就無法正確利用知識。

來吧,再來看一種錯法:

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六) 到底要列什麼式子?

「 買五瓶飲料,給100找10元,則一瓶多少錢」  
式子是要列成 100-5x = 10
還是 5x=90
或是 x= 18 ?
「買3瓶飲料、付100元找的錢,和買5瓶飲料、付150找的錢一樣多則一瓶多少錢」
式子是要列成 100-3x = 150-5x
還是,既然找一樣的錢,代表多付的50元就是兩瓶的錢,
寫 2x = 50 ?
 學生可能因為無法判斷「我要寫什麼,老師才會算對」而卡住  -- 尤其是國小中低年級,有的學生會因為「式子列的和老師不一樣」而被扣分;就會導致他到了國中,仍在為了列式而猶豫。

其實應用問題、幾何的問題,在設好未知數 x 之後,列式的準則很簡單,就是:

  • 找到一個東西,它有兩種不同的「以x表示」的方式

如果既可以說它是「100–3x」又可以說它是「150–5x」那就可以列出等式 100–3x = 150–5x

當然,2x=50 也沒錯…… 啊如果直接心算出來「一瓶25塊」了,當然也沒錯。

買飲料的例子,因為題目本身都滿簡單的,所以你會覺得「都可以、都是對的啊」;但濃度就比較難,學生如果「一邊列式一邊算」很容易會想到亂掉了。

就好像你寫下 100–5x…… 想到這樣其實五瓶就是 90,然後就寫下去, 結果就變成 100–5x=90

濃度的那題,鹽的量是 18 x 0.16 沒有錯,但學生想亂了,他沒有發現自己已經算出答案了,結果把它填回式子裡變成 18 x 0.16 / 18 ,然後就不知道自己在寫什麼了。

從前面我們看到了「思路上充滿陷阱」,而上面這種「一邊列式一邊算」也是絆倒很多學生的思路雷區。

這也是為什麼,我上面提到「不要直接改在式子裡」 — 要提醒學生,如果你想要心算、省步驟,不是不行,但還是把原本該寫的式子寫出來、心算的結果寫去下一行。

有的學生在心算完除了會「回填空格」,還會「畫掉原本設的x」;在我看來,這種習慣都是在給自己埋地雷。

回到本篇的主旨,這些學生「不懂濃度」嗎? 才不是咧,他們懂,他們是看待數學的方式不對,或是計算習慣不好;你真的重教一次濃度,他們還懶得聽。

再來看兩種算式:

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七) 當學生說「我不會」,別急著教

我想,看到這裡,很多人應該知道為什麼有人算式列出來 「x/18 = 16%」卻停住了吧。

當老師說:「算下去啊……」 學生還會說:「我不會」;然後老師心裡就會想「這有什麼好不會的?

嗯? 就是學生「迴避算小數 (分數)」啦。 (也可能是他不知道 % 就是 /100)

這是有一條發展史的:

嫌分數、根號麻煩 → 用想(猜)的 → 不熟練+猜錯 → 迴避 → 說「我不會」

身邊如果有指導者,說「我不會」,師長就會算一遍給自己看;身邊沒有指導者,就亂猜、又錯,然後說題目太難、「我數學不好」……

我跟你講「沒這種事」。 一項知識我有沒有教會學生、他真的懂了沒有,我清楚得很。

人都有惰性,我可以接受學生有惰性,尤其基礎沒打好的、「就是會一直分心」的學生, 他們在學的時候、在算的時候都會比較艱難、會想要用「我不會」來逃避 — 我不會因此討厭學生,但我不會放任他們。

我會跟某些學生說:「不要上課上到,像在看電視一樣」,
好像老師在上演解題秀,然後你在椅子上按遙控器:「這個我不會,再講一遍」。

我會慢動作轉向他:「你算。」

然後再說一次:「如果三秒鐘看不出答案,就用比較麻煩,但你知道一定會對的方法算,我們都有教過了。」

同樣的,上面的算式並非「不會濃度」、「不會計算方程式」,甚至他們根本就能寫對; 只是透過說「我不會」在偷懶而已 — 然後久了就越來越容易錯,也會越來越沒信心。

因為那些「會想錯」的步驟、「想了一下,想不到」的步驟,有時候聽老師再講一次…「嗯,有道理」…他們就會覺得自己下次會想到、會想對;

所以學生會直接說「我不會」,會覺得「老師你直接講,比我想還要省時間」

但通常都不會,只是「看老師解題」的學習效果差很多,畢竟他們的大腦沒有跟著想 — 學生都會抗議:「我有在想」; 應該這麼說,他們的大腦沒有因壓力而分泌「皮質醇」的話,記憶效果會大打折扣。

就像我常說的另一句:「每天看 discovery,也不會就這樣變科學家」。

只是「看解題秀」就想要熟練到內化、心算,那是事倍功半的 — 而他們也沒有那麼勤勞去「事倍」……

真正能幫他們「快點內化到,可以直接 “一想就對”」的,就是

  • 把已經想了的寫下來,看著自己寫的、再想下一步。
  • 重複練習「比較麻煩,但一定會對」的步驟,直至自己內化它。

尤其在「等差數列」那章,或是高中的許多單元,一開始講義的題目都會故意設計成簡單的、心算就能算出來的;

後來題目難一點,有些學生就開始「心算不出來的,就猜。」;到後面越來越難,他們想動筆算,也不知該怎麼寫、或是會一直掉進「變化題」的誤區,然後就進入「這一章超難的,我不會」的放棄狀態裡。

所以如果有發現學生有「概念懂,但不動筆」的情形,就一定要設法矯正過來。

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八) 也許在學習的路上,真的漏了什麼……

上面那張圖的第二個算式,學生問:「這樣可以交叉相乘嗎?」

老師們聽到可能會覺得奇怪「有什麼時候,是不能交叉相乘的嗎?」

◎「交叉相乘」其實就是 同乘分母,是等量公理的應用,當然一定會對。

但學生會有這種問題,意味著他在之前的學習裡,曾經在交叉相乘的步驟算錯,也就是他在「不該交叉相乘的時候,這麼做了」例如:

那就要挖崛出他的疑點,然後點破它。

底下,再來看一種錯誤的方法,為了更好的呈現它,容我換一個例子:

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九) 「失去目的」的算式

會出現上圖這種算式的原因有二,一是學生可能每次看老師「寫出一條式子」,然後依等量公理移一移,答案就出來了,而沒有被清楚的指導過

「方程式的計算,等量公理只是「方法」,其「目的」在於整理出 x = ___ ;
所以要想辦法讓 x 移到同一側、並且孤身一人、係數是1。」

但另一種可能是…… 學生在 迴避「同加減 x」。因為不敢「同加 3x」,所以一直在 “找其他事情做”……

同樣的情形,容易發生在小六、國一上的,還有「不習慣x留在右邊,但又不習慣左邊是負的x」。

其實這些,就是老師一開始就要特別叮嚀學生注意看自己的示範,讓他們能接受、習慣。

所謂「失去目的 」的算式,如果是「三元一次聯立方程式」,就會更容易出現:

「透過移項, 第一式的 a以b表示、第二式的 b以c表示、第三式的 c以a表示」

結果一個未知數也沒「消去」的情形。

所以我教二元一次的時候,就強調「加減、代人是手段,消去才是目的」在計算之前,就要挑選目的 — 我要先消去什麼?

有的學生計算
| x+2y=6
| 3x-y=7 --> 6x-2y=14 然後抬頭問:「要相加,還是相減?」
我都會反問他:「你為什麼要 把第二式乘以2?」
其實他在乘的時候,就應該先決定「要消去x,還是消去y」,然後才為此而乘
如果清楚目的,又怎麼會問「要加 還是減」呢?

最後,再來看一種錯誤的可能:

十) 式子到底是怎麼列出來的?

你可能會想說「屁啦,都沒寫,我怎麼知道是為什麼?」。但其實學生式子列不出來,可以依下列步驟去確認:

  1. 請他講一下「題目的意思」
  2. 幫他整理留意角色有:鹽、水、鹽水、濃度(也可以算一角);而且狀態都分成「原本」、「加鹽之後」,也就是總共有八個角色在故事裡
  3. 請他填入「已經知道」的數值,也就是「6」、「20」、「15.4」分別是指什麼
  4. 問他「剩下的,有沒有能直接算出來的?」
  5. 沒有能直接算出來的,請他挑一個設未知數x,剩下的「以x表示」
  6. 提醒他文字裡的「變成」不是像魔法一樣「突然變成」, 而是「鹽有+20,那水呢? 鹽水呢?」
  7. 強調「列式,就是找到一個東西「有兩種 ”以x表示” 的方法」
  8. 讓它算完。

如果學生有某個步驟做不出來,那你就知道這裡該指導他;而其實很多時候,你會發現「學生 每一步都會」

— 然後我會提醒他們「我問你的這些,我要你想的這些,就是你看到題目之後,應該問自己的; 考試的時候,我總不可能在你身邊一步一步問吧。 所以要把這些「思路」學起來。」

ps. 如果是「___%的鹽水100克,加水50克會變成6%」
就能在填入「加水後,鹽水=150、濃度6%」之後,直接算出「加水後,鹽有9克」
此時,可以提醒學生留意「有的時候,題目是「變化後的先算出來,再回頭去算變化前的」
很多濃度的問題、「彈簧加掛砝碼」的問題,學生都會因為「只習慣順著題目描述,由前往後算」,而放棄這種「逆回來算」的問題
-- 但那只是一念之差而已,為此錯了很可惜。
ps. ps. 其實如果學生肯多設一個未知數,就算由前往後算,也是可以的 -- 只是他們通常都不肯這樣做……

來寫結語了。

有沒有覺得,學生「這樣也可以錯、那樣也可以錯」很可怕呢?

所以老師才是一個有挑戰性、有專業、值得尊敬的職業嘛。

會寫這篇的原因有兩個,一個是最近因為課綱議題又上新聞了,很多文章裡會看到「素養」二字,其實「數學的素養」不只是那些單元主題的知識。

上面提到的那些「學生可能會錯 的」 就是「學生應該要會的」

  • 理解「數學是一種關係,而不是一條公式」 — 看到問題會去找「角色」、「關係」
  • 理解「設x會有助於思考」 — 發現「我不知道」的東西,不是去猜,而是設x
  • 知道「代入」就是「以x表示其他還不知道的東西」
  • 知道「列式」就是「找到一個東西,它有兩種 “以x表示” 的方法」
  • 習慣有時候會從變化之後,算回變化之前
  • 習慣分數、根號、同乘除x、不迴避它們
  • 知道「每一步都很清楚為什麼」就會對,不然就會錯。
  • 知道「想到亂了,就把已經想的寫下來,會更好想」
  • 知道老師在講解的時候,要跟著想;遇到麻煩的計算,練習久了就能算得快、能心算,而不是「看不出來,就猜,然後就放棄說「我不會」」
  • 聽課的時候,要吸收老師的「思路 = 怎麼想到下一步的」 — 怕自己以後想不到就開口問。

再多一個,上面沒提到的,但在高中之後尤其重要:

  • 數學是「抽象」的,看起來完全不一樣的事,背後的「數學關係」可能是相同的,所以我們學數學,就是要「學會通則,變化萬千」 — 要習慣「抽象的、有一堆 x y z、沒有故事的」的數學計算;也要慢慢學習從具象的應用情境裡,找出它背後的數學關係。

像這樣,「什麼是數學」、「數學怎麼學」也是數學的素養。

另一個敲鍵盤的原因,是前幾天朋友給我看了一個「線上填答、學習診斷」的軟體。

它每一題都會讓學生先輸入「列式」,再輸入答案;全班測驗完後回報給老師每一道題目「不能正確列式的學生人數」、「計算錯誤的人數」,也讓學生看到他整份試題的錯誤統計。

我看完之後,還滿無情的說:

這個軟體如果只能顯示「無法依題意列式」、「列式錯誤」、「列式正確但計算錯誤」,那其實它的功能和解答本沒有不同。
學生拿到解答,自然就會知道自己「沒有列式」、「計算錯誤」……
但他們空著不寫式子,或寫出了錯誤的式子,背後的原因才是應該被診斷出來的。

正好最近收了一些新學生、在教他們濃度,想起過去教濃度的種種……可以說「慘烈」的經驗,所以就寫了這篇。

其實軟體也罷,學校的老師也罷,有一個侷限是他們沒辦法看見「學生想了覺得錯,沒寫上去的算式」和「寫了又擦掉的算式」;

但即便如此,當學生「空著 = 說”我不會”」的時候,我的建議就是「先別急著 算給他看」 — 依著我上面介紹 1~ 8 的步驟,一個一個問、讓他們想;

就算是一對多的教學也一樣,問完、留一點時間 給他們自己想,然後你再講解。

讓學生自己想過、在大腦走過這些思路,我相信會比「看老師的解題秀」還有效的。

而且「換你想這個」的任務,還可以中斷他們的「分心」和「看秀」的狀態,會提升後面講解的效率。

當然,我一向也建議學校、補習班的老師們「一開始就先點破」:有的學生會錯在……

我自己也會這樣,等於是先把雷區掃一遍、爆一遍給他們看。 就算……其實有的人還是會犯同樣的錯 (唉……),至少那時候你可以說

「我之前有講到…… ,可能那個時候你們不懂 ”為什麼有人會這樣錯”,或當時你們沒有放在心上,然後,你看,就是你錯的這樣啦。」

這樣可以喚醒一些記憶,也不錯吧……

以上,希望這篇文章能幫助師長們教的更輕鬆、學生學得更愉快~~

「如果我再把濃度重講一次,你一定懶得聽、在那邊恍神;因為濃度其實你早就懂了,你不是不會濃度,你只是……」

我常跟學生講這樣的句子。

學生又錯了一次濃度、又錯了一次速度,「把原理再講一次」這種不對症下藥的做法,不但浪費時間, 而且之後學生又錯,反而會覺得「濃度、速度是一種很難的東西,我每次聽都有懂,但題目就是不會寫」。

「對症下藥」說來簡單,但連學生自己都不知道自己「為什麼這次又錯」;

老師要「白天能懂夜的黑」那可不容易…… ,我們先來看看底下兩個例子:

一) 裡面鹽有多少? 學生答:16%

「一包乖乖有20顆,小明吃了半包,他吃了多少乖乖? 學生答:半包」

生活上我們常常會把「量」和「占比」混著用,尤其是把整體當成「新單位:一包、一杯」的時候,半包、1/3杯就也可以作為「量」的表示方式。

上圖中,下面那個 16/18 的算式,分子寫16 可能意味著學生想到「鹽有多少」的時候,跳出了一個念頭:「鹽有16%」 — 但因為學生覺得寫 16% / 18 或 0.16/18 很奇怪,所以自動把那個 % 省略掉。

所以說學生並非不懂「濃度怎麼算」,而是他「沒有堅定地去區分 量 和 占比」。

我說「沒有堅定地去區分」是因為,如果近距離觀察學生,可能會發現他這個16也寫得很猶豫 — 他不是沒有懷疑,而是「放過了自己」;那為什麼學生會這樣放過自己、填下不確定的數字呢?

大家可以先想想,這個待會再講。

二) 什麼是「重量百分濃度」? 學生答:就是有分子放那個什麼,然後分母還要加……

教到像濃度這種應用問題時,我都會跟學生強調:

「數學是一些「關係」,不是一條條公式」

有「關係」,就有「角色」,所有的數學應用問題、理化問題,第一步都是要先瞭解「故事裡的角色有哪些,它們有什麼關係、有什麼是我已經知道的、有什麼是還不知道的。」 在濃度的故事裡有三個角色:溶質、溶劑、溶液 — 我這麼說,不是要大家去編一個「從前有一個濃度王國」這種小故事,而是要強調,所有的濃度問題,第一步都是要先瞭解「鹽多少我知道嗎? 水多少我知道嗎? 鹽水多少我知道嗎? 」

至於關係:「重量百分濃度 就是 「占比」」

而「除法 => 寫成分數」是我們求出占比的方法。 但「占比」也有其他的用法:

「占比 = 倍」你喝的牛奶占全部的1/5,也就是 1/5倍,則「你喝的 = 全部 x 1/5」

( 我們小時候只有在「比較大」的時候才會用「倍」,更小的時候甚至是「整數倍」才用倍;但其實非整數、比1小也可以用倍。 )

其實,「為什麼 除法可以求「占比」?」
這個問題的答案,就是因為「占比 = 倍」,
而除法是乘法的逆運算,所以可以反過來求出「幾倍」。

回來看上圖的第一個算式,乍看之下,可能有人會說: 「學生把 “鹽水18克” 當成了 ”水18克”」,或是說「他的分母多加了 x」

但這些說法都太不合理,「鹽水18克」沒有那麼容易看錯;學生常常會在檢討考卷後說「啊,我多加了一次」、「啊,我把這個當成……」 其實多半也不是這樣。

學生的問題,是他把重量百分濃度當成「一個分數,上面有一些什麼、下面有一些什麼」, 然後解題時像在國小在寫「填填看」那樣,把題目的數字和 x 憑著印象填進式子裡。

他不是「不會濃度」,老師再教一次濃度他會覺得膩;他的問題是在解題時,沒有真正地去想像「這個故事裡,每個角色是多少、彼此有什麼關係」。

順便介紹一下這個問題,較為正確的兩種思路:

再來看看下面兩個錯法:

三) 企圖用眼睛 看 出答案來……

如果近距離指導過學生,上面這張圖的第一個算式,大家一定看得出來學生在幹嘛 — 他在「抓整數」; 寫出這種算式的學生,十有八九,正在企圖看出分子應該是3、還是4、還是5……

小六的應用問題答案大部份是整數 — 已經過了練習小數、分數的年紀,而且很多「幾個」、「多少錢」的問題; 小六甚至有一節是要學生「逐個找,去找符合x、y的整數解」。

找整數解的確是一種很實用的數學能力,而且二元未知數的問題,例如 2x+3y=20還可以在找整數解的過程中「感覺出 x每加3、y就減2」的相對變化關係。

但學生、師長往往忽略了學生會因此「懶得解方程式」,結果

  1. 因為方程式計算不足,導致「分式計算」、「根號計算」、「代入消去」的生疏。
  2. 因為生疏而生出「迴避」心態,明明慢慢想還是可以算對的,就非要「繼續用眼睛找整數解」。
  3. 最後放任自己亂算、亂猜答案「應該就是1吧」、「應該可以直接加吧」……

這題的答案是 2.88,我故意的;尤其是二元一次的那章,我出的題目十有六七不是整數解,這題我算出來之後,會目光嚴峻地看著學生,一字一字地對他說:

「這題的答案是 2.88,你用眼睛看,你、一、輩、子、也看不出來,老師我可以心算,那是因為我真的在心裡「算」了,我不是一個一個找整數解的。」

那學生能不能也用心算呢?

  1. 他能辦到的話,早就答對了。 事實上寫下算式反而「省心」; 不寫算式,他要記住「空的那個地方有乘了100,然後16x18等於……,咦,那100之後要怎樣……」
  2. 即便學生心算能寫對,我也會要他們「不要改在算式裡」。也就是,不要先寫 ___/16 =18/100 , 後來又把2.88填回去,變成 2.88/16=18/100 我會要求學生寫成 x/16=18/100,心算出來之後再寫 x = 2.88 這是為了「讓你回頭來看這行,知道x是自己算出來的、順帶想到它是什麼,然後能繼續想下去。

心算本身沒有不好,但我會要學生問自己:

  • 你是真的在心裡計算,還是在「找整數解」?
  • 你心裡是有在推論,還是只有在「感覺…… 好像……記得……」

如果只是在找整數解、如果只是在「搜尋記憶中的速解」,那我會提醒他們:

考試的時候,三秒鐘沒看出來的,就要去用「比較麻煩,但一定會對」的方式去寫。

四) 我怎麼知道,這題要不要設x?

其實我上面示範的「思路二」裡面,是不需要設x的,鹽的量,就是 「18克鹽水的 0.16倍 = 18x0.16 = 2.88」

那有的學生會問:「我怎麼知道這題要不要設x?」或「我怎麼知道這題要設幾個未知數?」

其實這是一種迷思。 如果有看我在 youtube 的影片,會發現我在教「一元一次」的一開始,就示範了下面這個例題:

請接著看下一張:

「設未知數」是為了幫助思考

  • 遇到每一題,就先確認「我不知道什麼」,然後不知道的就設未知數
  • 就算原本沒有設,只要想到一半發現「這個我不知道欸」三秒鐘沒看出它該怎麼寫的,就設一個未知數,再往後面
  • 有的時候「設了x,到後面算一算會約掉」,或「x沒解出來,但答案還是找到了」也沒關係。

什麼是「數學素養」,這些就是數學的素養之一。

我上面提到學生「把鹽量寫16的時候,心裡也會猶豫,但還是放過自己、寫下去了」,為什麼呢? 其實多半就是因為「不寫16,他們也不知道分子該填什麼」

— 那,「不知道該填什麼」…… 就應該「設x」啊!

所以終歸一件事,就是學生沒有「遇到不知道的,就設x來幫助自己想下去」的素養;

才會到了國三、到了高中,還在問「這題要設什麼為 x」。

上面說學生會「空著分子,一直空想、找整數解」,其實多半也和這種不設未知數的習慣有關。

我教過很多不愛寫算式的學生,越是有點聰明的學生,越愛心算、他們以此為樂、以此為傲; 這種學生需要「調教」 — 我找到機會、心裡盤算「這題你心算一定會卡住」就塞給他算,等他卡住、算給他看時,補上一刀:

如果你設x, 交叉相乘會不會? 16x18 動筆算完之後,看著 100x=288 同除會不會?
你不是不會濃度,你只是不肯設x、不肯動筆算。
結果你這題空著,你心算多強,又有誰知道? 錯久了,連你自己都會懷疑「數學不好,大概是我笨吧 …… 」

越聰明的學生,會「堅持」得越久,有的甚至會拖到高中才「認輸」動筆;但他們夠聰明,其實也會懂你要他寫算式是對的,只是不甘願、或著習慣了,或是跟自己說「我這是在練習心算」

— 我會說「你寫下來,你的心一樣會算,你算久了,每次都對,就可以不要寫」。

五) 「如果……」、「變成……」

我在第一段提到,學生會在思考「鹽有多少」的時候,想成「鹽有 16%」,類似的「口語化思考」是需要矯正的,另一很常見的就是「如果……」和「變成……」

「濃度16%是什麼意思?  意思是 ”如果鹽水有100克,那鹽有16克” ,但現在鹽水沒有100克、鹽水是18克,那鹽有幾克?」
學生:「…… 不知道」 ( 我怎麼知道「如果沒有 100克」會怎樣?)

當然老師在口語上還是可以說「如果鹽有100克……」;但當你發現上面這個問題,學生說他不知道的時候, 或是當你看到學生留上面那種「100 →18 ,16 → ___」的算式時,

也許你該提醒學生,數學關係,包括「占比」並不是「如果有、如果沒有」這種事 — 你如果有去早餐店,會點漢堡,但如果沒有去,早餐會吃什麼……我怎麼知道。

你可以改用「比」或「倍」

「濃度16%,代表鹽占鹽水的比例,固定是 16:100」 或 「濃度=占比=倍,鹽是鹽水的0.16倍」

另一種常見的口語誤區,就是「16%的鹽水18克,加水6克,變成濃度___%的鹽水」

同樣的,稀釋不是「變成」。 並不是說老師要「謹慎用詞」,我覺得不需要,但就是要留意學生是否因為對於濃度知識的內化不足,而在思考時會停留在「變成……」這種模糊概念上面。

我喜歡叫初學的學生講解「為什麼寫下這行算式」給我聽,他錯也問、他對也問;

學生一開始會覺得「我知道為什麼,我只是不會講」,但我會找機會證明給他們看:

「你能清楚跟我講,就代表你能 清楚跟自己講,
你想的是明確的、每一步都是有道理的,就一定會對;不然,就可能會錯。」

數學和理化都一樣,尤其是理化,不能只有模糊的「概念」

例如:「增加的速度 ≠ 加速度」

如果不能掌握到「明確」的數學關係、就沒辦法想清楚、遇到問題當然也就無法正確利用知識。

來吧,再來看一種錯法:

六) 到底要列什麼式子?

「 買五瓶飲料,給100找10元,則一瓶多少錢」  
式子是要列成 100-5x = 10
還是 5x=90
或是 x= 18 ?
「買3瓶飲料、付100元找的錢,和買5瓶飲料、付150找的錢一樣多則一瓶多少錢」
式子是要列成 100-3x = 150-5x
還是,既然找一樣的錢,代表多付的50元就是兩瓶的錢,
寫 2x = 50 ?
學生可能因為無法判斷「我要寫什麼,老師才會算對」而卡住 -- 尤其是國小中低年級,有的學生會因為「式子列的和老師不一樣」而被扣分;就會導致他到了國中,仍在為了列式而猶豫。

其實應用問題、幾何的問題,在設好未知數 x 之後,列式的準則很簡單,就是:

  • 找到一個東西,它有兩種不同的「以x表示」的方式。

如果既可以說它是「100–3x」又可以說它是「150–5x」那就可以列出等式 100–3x = 150–5x

當然,2x=50 也沒錯…… 啊如果直接心算出來「一瓶25塊」了,當然也沒錯。

買飲料的例子,因為題目本身都滿簡單的,所以你會覺得「都可以、都是對的啊」;但濃度就比較難,學生如果「一邊列式一邊算」很容易會想到亂掉了。

就好像你寫下 100–5x…… 想到這樣其實五瓶就是 90,然後就寫下去, 結果就變成 100–5x=90

濃度的那題,鹽的量是 18 x 0.16 沒有錯,但學生想亂了,他沒有發現自己已經算出答案了,結果把它填回式子裡變成 18 x 0.16 / 18 ,然後就不知道自己在寫什麼了。

從前面我們看到了「思路上充滿陷阱」,而上面這種「一邊列式一邊算」也是絆倒很多學生的思路雷區。

這也是為什麼,我上面提到「不要直接改在式子裡」 — 要提醒學生,如果你想要心算、省步驟,不是不行,但還是把原本該寫的式子寫出來、心算的結果寫去下一行。

有的學生在心算完除了會「回填空格」,還會「畫掉原本設的x」;在我看來,這種習慣都是在給自己埋地雷。

回到本篇的主旨,這些學生「不懂濃度」嗎? 才不是咧,他們懂,他們是看待數學的方式不對,或是計算習慣不好;你真的重教一次濃度,他們還懶得聽。

再來看兩種算式:

七) 當學生說「我不會」,別急著教

我想,看到這裡,很多人應該知道為什麼有人算式列出來 「x/18 = 16%」卻停住了吧。

當老師說:「算下去啊……」 學生還會說:「我不會」;然後老師心裡就會想「這有什麼好不會的?

嗯? 就是學生「迴避算小數 (分數)」啦。 (也可能是他不知道 % 就是 /100)

這是有一條發展史的:

嫌小數、根號、分數麻煩 → 用想(猜)的 → 不熟練+猜錯 → 迴避 → 說「我不會」

身邊如果有指導者,說「我不會」,師長就會算一遍給自己看;身邊沒有指導者,就亂猜、又錯,然後說題目太難、「我數學不好」……

我跟你講「沒這種事」。 一項知識我有沒有教會學生、他真的懂了沒有,我清楚得很。

人都有惰性,我可以接受學生有惰性,尤其基礎沒打好的、「就是會一直分心」的學生, 他們在學的時候、在算的時候都會比較艱難、會想要用「我不會」來逃避 — 我不會因此討厭學生,但我不會放任他們。

我會跟某些學生說:「不要上課上到,像在看電視一樣」,
好像老師在上演解題秀,然後你在椅子上按遙控器:「這個我不會,再講一遍」。

我會慢動作轉向他:「你算。」

然後再說一次:「如果三秒鐘看不出答案,就用比較麻煩,但你知道一定會對的方法算,我們都有教過了。」

同樣的,上面的算式並非「不會濃度」、「不會計算方程式」,甚至他們根本就能寫對; 只是透過說「我不會」在偷懶而已 — 然後久了就越來越容易錯,也會越來越沒信心。

因為那些「會想錯」的步驟、「想了一下,想不到」的步驟,有時候聽老師再講一次…「嗯,有道理」…他們就會覺得自己下次會想到、會想對;

所以學生會直接說「我不會」,會覺得「老師你直接講,比我想還要省時間」

但通常都不會,只是「看老師解題」的學習效果差很多,畢竟他們的大腦沒有跟著想 — 學生都會抗議:「我有在想」; 應該這麼說,他們的大腦沒有因壓力而分泌「皮質醇」的話,記憶效果會大打折扣。

就像我常說的另一句:「每天看 discovery,也不會就這樣變科學家」。

只是「看解題秀」就想要熟練到內化、心算,那是事倍功半的 — 而他們也沒有那麼勤勞去「事倍」……

真正能幫他們「快點內化到,可以直接 “一想就對”」的,就是

  • 把已經想了的寫下來,看著自己寫的、再想下一步。
  • 重複練習「比較麻煩,但一定會對」的步驟,直至自己內化它。

尤其在「等差數列」那章,或是高中的許多單元,一開始講義的題目都會故意設計成簡單的、心算就能算出來的;

後來題目難一點,有些學生就開始「心算不出來的,就猜。」;到後面越來越難,他們想動筆算,也不知該怎麼寫、或是會一直掉進「變化題」的誤區,然後就進入「這一章超難的,我不會」的放棄狀態裡。

所以如果有發現學生有「概念懂,但不動筆」的情形,就一定要設法矯正過來。

八) 也許在學習的路上,真的漏了什麼……

上面那張圖的第二個算式,學生問:「這樣可以交叉相乘嗎?」

老師們聽到可能會覺得奇怪「有什麼時候,是不能交叉相乘的嗎?」

◎「交叉相乘」其實就是 同乘分母,是等量公理的應用,當然一定會對。

但學生會有這種問題,意味著他在之前的學習裡,曾經在交叉相乘的步驟算錯,也就是他在「不該交叉相乘的時候,這麼做了」例如:

那就要挖崛出他的疑點,然後點破它。

底下,再來看一種錯誤的方法,為了更好的呈現它,容我換一個例子:

九) 「失去目的」的算式

會出現上圖這種算式的原因有二,一是學生可能每次看老師「寫出一條式子」,然後依等量公理移一移,答案就出來了,而沒有被清楚的指導過

「方程式的計算,等量公理只是「方法」,其「目的」在於整理出 x = ___ ;
所以要想辦法讓 x 移到同一側、並且孤身一人、係數是1。」

但另一種可能是…… 學生在 迴避「同加減 x」。因為不敢「同加 3x」,所以一直在 “找其他事情做”……

同樣的情形,容易發生在小六、國一上的,還有「不習慣x留在右邊,但又不習慣左邊是負的x」。

其實這些,就是老師一開始就要特別叮嚀學生注意看自己的示範,讓他們能接受、習慣。

所謂「失去目的 」的算式,如果是「三元一次聯立方程式」,就會更容易出現:

「透過移項, 第一式的 a以b表示、第二式的 b以c表示、第三式的 c以a表示」

結果一個未知數也沒「消去」的情形。

所以我教二元一次的時候,就強調「加減、代人是手段,消去才是目的」在計算之前,就要挑選目的 — 我要先消去什麼?

有的學生計算
| x+2y=6
| 3x-y=7 --> 6x-2y=14 然後抬頭問:「要相加,還是相減?」
我都會反問他:「你為什麼要 把第二式乘以2?」
其實他在乘的時候,就應該先決定「要消去x,還是消去y」,然後才為此而乘;
如果清楚目的,又怎麼會問「要加 還是減」呢?

最後,再來看一種錯誤的可能:

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十) 式子到底是怎麼列出來的?

你可能會想說「屁啦,都沒寫,我怎麼知道是為什麼?」。但其實學生式子列不出來,可以依下列步驟去確認:

  1. 請他講一下「題目的意思」
  2. 幫他整理留意角色有:鹽、水、鹽水、濃度(也可以算一角);而且狀態都分成「原本」、「加鹽之後」,也就是總共有八個角色在故事裡
  3. 請他填入「已經知道」的數值,也就是「6」、「20」、「15.4」分別是指什麼
  4. 問他「剩下的,有沒有能直接算出來的?」
  5. 沒有能直接算出來的,請他挑一個設未知數x,剩下的「以x表示」
  6. 提醒他文字裡的「變成」不是像魔法一樣「突然變成」, 而是「鹽有+20,那水呢? 鹽水呢?」
  7. 強調「列式,就是找到一個東西「有兩種 ”以x表示” 的方法」
  8. 讓它算完。

如果學生有某個步驟做不出來,那你就知道這裡該指導他;而其實很多時候,你會發現「學生 每一步都會

— 然後我會提醒他們「我問你的這些,我要你想的這些,就是你看到題目之後,應該問自己的; 考試的時候,我總不可能在你身邊一步一步問吧。 所以要把這些「思路」學起來。」

ps. 如果是「___%的鹽水100克,加水50克會變成6%」
就能在填入「加水後,鹽水=150、濃度6%」之後,直接算出「加水後,鹽有9克」
此時,可以提醒學生留意「有的時候,題目是「變化後的先算出來,再回頭去算變化前的」
很多濃度的問題、「彈簧加掛砝碼」的問題,學生都會因為「只習慣順著題目描述,由前往後算」,而放棄這種「逆回來算」的問題 
-- 但那只是一念之差而已,為此錯了很可惜。
ps. ps. 其實如果學生肯多設一個未知數,就算由前往後算,也是可以的 -- 只是他們通常都不肯這樣做……

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來寫結語了。

有沒有覺得,學生「這樣也可以錯、那樣也可以錯」很可怕呢?

所以老師才是一個有挑戰性、有專業、值得尊敬的職業嘛。

會寫這篇的原因有兩個,一個是最近因為課綱議題又上新聞了,很多文章裡會看到「素養」二字,其實「數學的素養」不只是那些單元主題的知識。

上面提到的那些「學生可能會錯 的」 就是「學生應該要會的」

  • 理解「數學是一種關係,而不是一條公式」 — 看到問題會去找「角色」、「關係」
  • 理解「設x會有助於思考」 — 發現「我不知道」的東西,不是去猜,而是設x
  • 知道「代入」就是「以x表示其他還不知道的東西」
  • 知道「列式」就是「找到一個東西,它有兩種 “以x表示” 的方法」
  • 習慣有時候會從變化之後,算回變化之前
  • 習慣分數、根號、同乘除x、不迴避它們
  • 知道「每一步都很清楚為什麼」就會對,不然就會錯。
  • 知道「想到亂了,就把已經想的寫下來,會更好想」
  • 知道老師在講解的時候,要跟著想;遇到麻煩的計算,練習久了就能算得快、能心算,而不是「看不出來,就猜,然後就放棄說「我不會」」
  • 聽課的時候,要吸收老師的「思路 = 怎麼想到下一步的」 — 怕自己以後想不到就開口問。

再多一個,上面沒提到的,但在高中之後尤其重要:

  • 數學是「抽象」的,看起來完全不一樣的事,背後的「數學關係」可能是相同的,所以我們學數學,就是要「學會通則,變化萬千」 — 要習慣「抽象的、有一堆 x y z、沒有故事的」的數學計算;也要慢慢學習從具象的應用情境裡,找出它背後的數學關係。

像這樣,「什麼是數學」、「數學怎麼學」也是數學的素養。

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另一個敲鍵盤的原因,是前幾天朋友給我看了一個「線上填答、學習診斷」的軟體。

它每一題都會讓學生先輸入「列式」,再輸入答案;全班測驗完後回報給老師每一道題目「不能正確列式的學生人數」、「計算錯誤的人數」,也讓學生看到他整份試題的錯誤統計。

我看完之後,還滿無情的說:

這個軟體如果只能顯示「無法依題意列式」、「列式錯誤」、「列式正確但計算錯誤」,那其實它的功能和解答本沒有不同。
學生拿到解答,自然就會知道自己「沒有列式」、「計算錯誤」……
但他們空著不寫式子,或寫出了錯誤的式子,背後的原因才是應該被診斷出來的。

正好最近收了一些新學生、在教他們濃度,想起過去教濃度的種種……可以說「慘烈」的經驗,所以就寫了這篇。

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其實軟體也罷,學校的老師也罷,有一個侷限是他們沒辦法看見「學生想了覺得錯,沒寫上去的算式」和「寫了又擦掉的算式」;

但即便如此,當學生「空著 = 說”我不會”」的時候,我的建議就是「先別急著 算給他看」 — 依著我上面介紹 1~ 8 的步驟,一個一個問、讓他們想;

就算是一對多的教學也一樣,問完、留一點時間 給他們自己想,然後你再講解。

讓學生自己想過、在大腦走過這些思路,我相信會比「看老師的解題秀」還有效的。

而且「換你想這個」的任務,還可以中斷他們的「分心」和「看秀」的狀態,會提升後面講解的效率。

.

當然,我一向也建議學校、補習班的老師們「一開始就先點破」:有的學生會錯在……

我自己也會這樣,等於是先把雷區掃一遍、爆一遍給他們看。 就算……其實有的人還是會犯同樣的錯 (唉……),至少那時候你可以說

「我之前有講到…… ,可能那個時候你們不懂 ”為什麼有人會這樣錯”,或當時你們沒有放在心上,然後,你看,就是你錯的這樣啦。」

這樣可以喚醒一些記憶,也不錯吧……

以上,希望這篇文章能幫助師長們教的更輕鬆、學生學得更愉快~~