#İzBırakanlar 005: Pierre de Fermat
Bu yazımızda modern sayılar teorisinin kurucusu olarak tanınan ve aynı zamanda analitik geometrinin temel ilkelerini keşfeden, döneminin en parlak ve üretken matematikçilerinden biri olarak adlandırılan Fransız matematikçi Pierre de Fermat’ın hayatına ve bazı çalışmalarına değindik.
Fermat’ın erken yaşamı ve eğitimi hakkında çok az şey bilinmektedir. Bask kökenlidir ve zengin bir deri tüccarının oğlu olarak 17 Ağustos 1601 tarihinde Fransa’nın Beaumont de Lomange kentinde dünyaya gelmiştir. İlköğretimini yerel bir Fransız okulunda tamamladıktan sonra hukuk eğitimi almıştır. Toulouse’da yerel parlamentoda görev almış ve 1634 yılında meclis üyesi olmuş, ardından 1638 yılında ise Ceza Mahkemesine atanmıştır.
Fermat meşgul bir avukattı ve matematik onun için boş zamanlarını değerlendirme yöntemiydi. Matematik alanındaki çalışmalarını işten ziyade hobi olarak gördüğü için yayımlanmalarını istememişti. Bu nedenle matematik çalışmaları hakkındaki bilgilere ve diğer matematikçilere yazdığı mektuplara ölümünden sonra ulaşılabilmiştir. Fermat’ın dönemindeki diğer matematikçilerle olan yazışmaları matematiğe büyük katkılar sağlamıştır. Örneğin Blaise Pascal’la yaptığı yazışmalar sayesinde olasılık teorisinin kurulmasına yardım etmiştir.Kendisini uluslararası üne kavuşturansa Fransız matematikçi Marin Mersenne ile olan yazışmaları olmuştur. Matematik üzerine olan çalışmalarını sadece hobi olarak yapmasına rağmen çok parlak bir matematikçi olması sebebiyle kendisine “Amatörlerin Prensi” unvanı verilmiştir.
“Fermat was the most productive mathematician of his day. But his influence was circumscribed by his reluctance to publish.¹”
“Fermat, zamanının en üretken matematikçisiydi. Ama etkisi, çalışmalarını yayımlama konusundaki isteksizliği yüzünden sınırlandı.”
CARL B. BOYER
Fermat, çalışmalarını yayımlamaktan çok matematikçi arkadaşlarıyla mektuplaşmayı seçse de bu mektuplarda ortaya attığı sorular matematiğin farklı alanlarında önemli etkiler bırakmıştır. Sorduğu sorularla şekillendirdiği konulardan biri sayılar teorisidir.
Üçüncü yüzyılda yaşamış Yunan matematikçi Diophantus’un çalışmalarından etkilenen Fermat, asal sayıların özellikleriyle alakalı sonuçlar keşfetmiştir. Fermat iki tip asal sayı üzerinde çalışmıştı. 4ⁿ + 1 formundaki her asalın iki karenin toplamı şeklinde yazılabilirken, 4ⁿ -1 formuna sahip asalların bu şekilde yazılamayacağını gördü. Asal sayılar arasındaki bu karşıtlık sayılar teorisinin en önemli noktalarından biridir.
1640 yılında, dönemin matematikçilerine ve Blaise Pascal da dahil olmak üzere diğer düşünürlerine yazdığı mektuplarda, “Fermat sayıları” olarak bilinen 4ⁿ + 1 formundaki sayıların zorunlu olarak asal olduklarına inandığını açıkladı. Kanıtını yapmadan ortaya sürdüğü bu varsayımı, n=0, 1, 2, 3 ve 4 için doğruydu. İddiasının yanlış olduğunu yaklaşık bir asır sonrasında Euler, 4⁵+1 sayısını iki çarpana ayırarak göstermiştir. Fermat sayıları arasında n>5 için herhangi bir asal olup olmadığı bilinmemektedir.
Fermat, 1640 yılında yukarıdaki sonuçtan daha önemli bir teoremi ileri sürmüştür. Fermat’ın küçük teoremi olarak bilinen bu teorem der ki, eğer p bir asal sayı ve a herhangi bir doğal sayı ise p sayısı, aᵖ - a sayısını böler. Örneğin, p=7 ve a=12 alalım. Teoreme göre 7 sayısı, 12⁷-12 sayısının bölenidir. Bu bariz olmaktan çok uzak olan sonuç, modern sayı teorisinin en büyük araçlarından biridir.
Fermat’nın küçük teoreminin küçük olarak nitelendirilmesine sebep olan teoremi, birçok çalışması içinde en bilinen çalışması, “büyük” veya “son” teoremi olarak bilinen problemdir. Teoreme göre xⁿ + yⁿ = zⁿ denklemin n>2 için pozitif doğal sayılarda çözümü yoktur. Fermat, Diophantus’un Arithmetica kitabının kenarına bu teoremin ispatını bulduğunu ama çözüm için yeri olmadığını yazmıştı. Bu problem, üç buçuk yüzyıl boyunca onu çözmeye çalışan herkesi hüsrana uğrattı ve matematikteki en ünlü çözülmemiş problem olarak ün kazandı.
Fermat, çalışmalarının kanıtlarını sunmak konusunda isteksizdi. Nadiren yaptığı sonuçlarının gösterimlerinde kendisinin “sonsuz iniş” olarak adlandırdığı bir yöntemi kullanmıştır. Bu yöntem, matematiksel tümevarımın ters yüz edilmiş halidir. Diyelim ki sayılarla ilgili bir önerme kanıtlamak istiyoruz. Bu önermeye Ö(n) diyelim. Ö(n) önermesinin bir a sayısı için yanlış olduğunu varsayalım. Seçtiğimiz bu a sayısı bu önermenin yanlış olduğu en küçük sayı olsun. Şimdi de Ö(a) önermesinin yanlışlığından yararlanarak a sayısından küçük bir b sayısı için de önermenin yanlış olduğunu kanıtlamaya çalışalım. Başardığımızı varsayalım, bir çelişkiyle karşılaşırız. Çünkü en başında dediğimiz gibi a sayısı bu önermeyi yanlış yapan en küçük sayı olmalıydı. Ama ondan küçük bir b sayısı olduğunu kanıtladık.
Matematiğin yanı sıra yabancı dillere, klasik edebiyata ve antik dönemdeki bilime karşı özel ilgi duyan Fermat, antik döneme ait kayıp eserlerin varsayımsal restorasyonlarını oluşturmak için zamanının geleneğini takip ederek analitik geometrinin temellerini atmış matematikçilerden biridir. 1629'da, MÖ üçüncü yüzyılda yaşamış olan Yunan geometrici Apollonius’un uzun süredir kayıp olan lokuslarının yeniden inşa edilmesine başlamıştı.
Belirli kriterleri sağlayan noktaların oluşturduğu kümeler yani lokuslar üzerinde çalışan Fermat, cebirin bir koordinat sistemi aracılığıyla geometriye uyarlanmasıyla kolaylaştırılabileceğini keşfetti. Ancak bu alandaki metotları ölümünden sonra yayımlandığından ve kendisiyle aynı dönemde yaşamış bir başka matematikçi Descartes da bu alanda çalışmış olduğundan Fermat’ın bulduğu yöntemler kartezyen geometri başlığı altında toplanmıştır.
Arşimet spiralinin denkleminin genelleştirilmesi üzerine çalışan Fermat, benzer bir şekilde ay = x² parabolü ve xy = a² dikdörtgensel hiperbolünün genelleştirilmesi üzerine de çalışmıştır. ay = x² parabolü ve xy = a² dikdörtgensel hiperbolünün aⁿ⁻¹ haline genelleştirilmesiyle elde edilen ve n’in pozitif ya da negatif olması koşulunu sağlayan eğriler Fermat’ın parabolleri ve hiperbolleri olarak bilinirler.
Bu eğriler üzerindeki çalışmaları Fermat’ı 1630’lu yıllarda yılında bugün türev olarak bildiğimiz ve kullandığımız bir algoritmaya yönlendirmiştir. Bu algoritmayla eğrilerin eğimleriyle alakalı eşitliklere ulaşan Fermat, eğrilerin ekstremum ve bükülme noktalarını tespit etmiştir. Aynı zamanda bu eğrilerin sınırladığı alanlar hakkında bir dizi toplama işlemini içeren bir süreç keşfeden Fermat, bugün integral olarak kullandığımız işleme yakın bir algoritma elde etmiştir. Isaac Newton ve Gottfried Leibniz’in doğmasından çok önce Kalkülüs hakkında birkaç makale yazan Fermat, günümüzde Kalkülüs’ün temel teoremi olarak kullanmış olduğumuz türev ile integral arasındaki ilişkiyi fark edebilmiş midir bilinmemektedir ancak bu konudaki çalışmaları diferansiyel hesabın geliştirilmesine yardımcı olmuştur.
Birçok farklı alanda fazlasıyla görüşü, ispatı, teoremi olan Fermat’ ın görüş ayrılıklarına sebep olmaması imkansızdır gibidir. Optik alanında da çalışmalar yapan Fermat ışığın hareketi üzerine bir yasa ortaya atmıştır. Çağdaşı olan filozof ve amatör matematikçi René Descartes ile farklı fikirlere sahip olan Fermat, Descartes’ın kırılma yasasını yanlış bir şekilde oluşturduğunu iddia etmiştir ve Descartes tarafından 1637'de La Dioptrique’de yayınlanan kırılma yasasıyla ilgili farklı bir iddiada bulunmuştur. Descartes, ışığın kırılmaya dahil olan iki medyanının daha yoğun olanda daha hızlı hareket ettiği varsayımıyla sinüs yasasını haklı çıkarmaya çalışmıştır. Fakat yaklaşık yirmi yıl sonra Fermat, bunun Aristotelesçi görüşle yani doğanın her zaman en kısa yolu seçtiği görüşüyle çeliştiğini belirtmiştir.
Fermat, maksimum ve minimum yöntemini uygulayarak, ışığın daha yoğun ortamda daha yavaş gittiğini varsaymış ve kırılma yasasının “en az zaman prensibi” ile uyumlu olduğunu göstermiştir. Işık hızıyla ilgili argümanının daha sonra 17. yüzyılda Hollandalı bilim adamı Christiaan Huygens’in dalga teorisiyle uyumlu olduğu bulunmuştur ve 1869'da Hippolyte Fizeau tarafından deneysel olarak doğrulanmıştır.
Matematiğin pek çok alanında ortaya attığı fikirlerle önemli teoremlerin keşfi için ilham olan Fermat kim bilir çalışmalarını mektuplaşmanın ötesine taşıyıp yayımlasaydı matematik literatürüne neler kazandıracaktı. Sizce Fermat’ın çalışmaları arasında en ilgi çekici olan hangisi?
Yorumlarınızı sosyal medya hesaplarımızdan bizlerle paylaşmayı unutmayın!
Instagram: @mekupte
LinkedIn: @MEKUPTE
Twitter: @mekupte
Yazımıza atıfta bulunmak için aşağıdaki gibi APA formatını kullanabilirsiniz:
MMMT. (2021, Nisan 9). #İzBırakanlar 005: Pierre de Fermat. -erişim tarihi- tarihinde, https://mmmt-digital.medium.com/i%CC%87zb%C4%B1rakanlar-005-pierre-de-fermat-7c537d0a6909 adresinden erişildi.
Referanslar
[1]Boyeri C.B. (2021, 8 Ocak). Pierre de Fermat. 18 Mart 2021 tarihinde www.britannica.com/biography/Pierre-de-Fermat adresinden erişildi.
[2]O’Connor, J.J. ve Robertson E.F.(1996, Aralık). 21 Mart 2021 tarihinde mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Fermat/ adresinden erişildi.
[3]Caldwell, C.K.(t.y.).The Prime Glossary: Fermat, Pierre de. 21 Mart 2021 tarihinde primes.utm.edu/glossary/page.php?sort=Fermat adresinden erişildi.
[4]Gdansk University of Technology(t.y.). Pierre de Fermat. 18 Mart 2021 tarihinde cnm.pg.edu.pl/mathematics/pierre-de-fermat?p_l_id=65017907&p_l_id=65017907&p_v_l_s_g_id=0&p_v_l_s_g_id=0& adresinden erişildi.
[5]Pellegrino, D.(2000). Pierre de Fermat. 17 Mart 2021 tarihinde sites.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers2000/pellegrino.html adresinden erişildi.
[6]Britannica. (2012, 6 Ocak). Fundamental theorem of calculus. 22 Mart 2021 tarihinde www.britannica.com/science/fundamental-theorem-of-calculus/additional-info#history adresinden erişildi.
[7]Dunham, W.(2020, 10 Kasım). Number theory. 20 Mart 2021 tarihinde www.britannica.com/science/number-theory/additional-info#history adresinden erişildi.
[8] Nesin, A.(2007). Sonsuz İniş ve Sonsuz Çıkış. 3 Nisan 2021 tarihinde https://nesinkoyleri.org/wp-content/uploads/2019/09/oyun_sonsuz.pdf adresinden erişildi.
