Como estimar o valor de π usando a simulação Monte Carlo

Hoje, no dia 14 de março (que em notação americana seria 3.14) o Pi, um número irracional cujo valor é 3,14159265358979323846…, é celebrado no mundo inteiro. Esse número é um dos mais famosos da história, é representado pela letra grega π.

O Pi resulta da divisão do perímetro pelo diâmetro de um círculo, e a fórmula para calculá-lo é:

Mas o valor de Pi também pode ser calculado experimentalmente. Uma maneira de fazer isso é processar amostras de pontos da área do retângulo e calcular a área do círculo x²+y²<1²dentro do retângulo. Isso pode então ser usado para aproximar o valor de pi. Mas calma, vamos por parte, o experimento é simples.

Vamos considerar um círculo de raio r que fica inscrito em um quadrado de lado a = 2r, como mostrado na figura:

Agora a gente divide a área circulo pela área do quadrado:

Mas a gente sabe que a = 2r, então vamos substituir:

Agora vamos isolar o Pi:

Segura esta equação. Agora a ideia é simular pontos aleatórios (x, y) neste plano 2-D (círculo dentro do quadrado). As amostras devem ser distribuídas proporcionalmente. Isso ficaria mais ou menos assim:

Podemos considerar que:

Ou seja, o número Pi pode ser aproximadamente calculado de acordo com o número de amostras. E quanto mais amostras, mais acurácia na determinação desse número.

E claro que não poderia faltar o script da simulação:

Feliz dia do Pi!