การคำนวณควอนตัม

คิวบิต การพัวพัน วงจร และ เทเลพอร์ต

Sanparith Marukatat
Sep 4, 2018 · 4 min read

ผมเป็นคนชอบคณิตศาสตร์เลยพยายามลองทำความเข้าใจกับหลักการคำนวณควอนตัมดู ก่อนนี้ผมเห็นสัญลักษณ์ต่าง ๆ ก็แอบกลัวเหมือนกัน เอาเข้าจริงส่วนใหญ่มันก็แค่แทนค่าธรรมดา (ถ้าผมเข้าใจถูกนะ 555) นี่เป็นบันทึกเท่าที่พอจะเข้าใจ

คิวบิต

เริ่มจากตัวคิวบิตเอง ที่ตามหลัก superposition เป็นได้ทั้ง 0 และ 1 เราจะใช้สัญกรณ์ เค็ท (ket) ในการเขียน เช่น คิวบิต |𝜓〉 เขียนแบบเค็ทได้ว่า

|𝜓〉 = 𝛼|0〉+ 𝛽|1〉

ซึ่งแปลว่าหากเราทำการวัดค่าของ |𝜓〉 สถานะของมันจะฟุบลงเป็นค่า 0 ด้วยความน่าจะเป็น 𝛼² และ เป็นค่า 1 ด้วยความน่าจะเป็น 𝛽² (ซึ่งแปลว่า 𝛼²+𝛽² ต้องเท่ากับ 1 ตามข้อกำหนดของความน่าจะเป็น)
เราสามารถมองคิวบิตอีกแบบในรูปเวคเตอร์ก็ได้ บางครั้งทำให้เข้าใจง่ายขึ้น

สิ่งที่สำคัญอันหนึ่งคือสถานะของระบบที่ประกอบด้วยคิวบิตหลายอันนั้นจะถูกอธิบายในรูปของผลคูณเทนเซอร์ (tensor product) เช่นในกรณีของคิวบิต 2 อัน

สังเกตว่าลำดับของคิวบิตนั้นสำคัญ เราสลับที่มันไม่ได้ ไม่เหมือนการคูณปกติ

การพัวพัน (entanglement)

สังเกตต่อว่าเราไม่สามารถหาคู่คิวบิตใด ๆ ที่ทำให้สมการข้างล่างนี้เป็นจริง (แบบฝึกหัด)

เราเรียกสถานะแบบข้างบนนี้ (คือแยกเป็นผลคูณเทนเซอร์ไม่ได้) ว่าสถานะพัวพัน (entangled state)

เมื่อเราทำการวัดค่าที่ได้จากคิวบิตทั้งสองที่อยู่ในสถานะพัวพัน เราจะได้ค่าเดียวกันเสมอ คือ 00 หรือ 11 ด้วยความน่าจะเป็น 1/2 ไม่ว่าอนุภาคทั้งสองจะอยู่ห่างกันเพียงใดก็ตาม

ไอน์สไตน์ซึ่งไม่เชื่อว่าจะมีอะไรเร็วกว่าแสงได้ พยายามอธิบายเหตุการณ์นี้อีกแบบ คือสมมติว่าเราซื้อถุงมือมาคู่หนึ่งและเราส่งถุงมือแต่ละข้างให้เพื่อนสองคน เมื่อเพื่อนคนหนึ่งเปิดดูเห็นว่าเป็นมือขวา เราก็จะรู้ทันทีว่าอีกคนได้ถุงมือข้างซ้ายไป นั่นคือสิ่งที่ไอน์สไตน์เชื่อ เป็นทฤษฎีของ hidden variable

หลังจากไอน์สไตน์ตายไป มีคนเสนอวิธีการทดลองเพื่อดูว่าทฤษฎี hidden variable หรือทฤษฎีควอนตัมนั้นถูกกันแน่ นั่นคือ จอห์น เบลล์

มีบทความออนไลน์หลายบทความที่พยายามอธิบายการทดลองแบบของเบลล์ซึ่งผมยังงง ๆ อยู่ เท่าที่เข้าใจคือ

  • เบลล์เสนอให้ทำการวัดค่า spin ของอนุภาคในคู่พัวพันด้วย detector 2 ตัวแยกกัน
  • สำหรับ set up นี้ เบลล์คำนวณค่า correlation สูงสุดที่เป็นไปได้ ของค่าที่วัดได้จาก detector ทั้งสอง จากทฤษฎี hidden variable
  • จากนั้นเบลล์พิสูจน์ว่าตามหลักควอนตัมหากเราตั้งค่า detector บางแบบ จะทำให้ได้ค่า correlation ที่สูงกว่าค่าที่ทำนายจากทฤษฎี hidden variable
  • มีคนนำแนวคิดนี้ไปทำการทดลอง ซึ่งผลที่ได้ก็ยืนยันว่าการตีความแบบควอนตัมนั้นถูกต้องแล้ว นั่นคือเจ้า ‘spooky action at a distance’ เกิดได้จริง
    เมื่อเราวัดค่าของอนุภาคหนึ่งในคู่พัวพัน อนุภาคอีกอันในคู่นี้จะฟุบลงเป็นค่าเดียวกัน ไม่ว่าจะอยู่ไกลเท่าใด
https://physics.aps.org/articles/v8/123

ก่อนนี้ผมได้กล่าวถึงข่าวร้ายอันแรกของควอนตัมไปแล้ว นั่นคือเราไม่สามารถวัดค่าสถานะได้เพราะการวัดจะทำให้สถานะฟุบลง
ข่าวร้ายอันดับสองคือเราก๊อปปี้สถานะควอนตัมก็ไม่ได้ ทั้งนี้เพราะเจ้าสถานะพัวพันนี่แหละ
ในมุมมองของโปรแกรมเมอร์มันทำให้การทำงานลำบากขึ้น เหมือนเราทำงานกับ pointer ในภาษา C ที่เราไม่สามารถ print ค่ามันมาดูได้ จะ debug ดูค่าก็ทำไม่ได้ เราคงต้องออกแบบโปรแกรมดี ๆ ไม่สามารถเขียนไปคิดไปได้

อย่างไรก็ดีสถานะพัวพันนี้เองที่ทำให้เราสามารถ teleport คิวบิตได้ แต่ก่อนที่เราจะมาดูการ teleport นี้เรามาดูองค์ประกอบพื้นฐานอีกอันก่อน นั่นคือวงจรควอนตัม (quantum circuit) ที่คล้าย ๆ กับวงจรตรรกะ (logic circuit) หรือวงจรบูลีน (Boolean circuit) ในคอมพิวเตอร์ปัจจุบัน แต่การสร้างวงจรนี้ต้องคำนึงถึงหลักการผันกลับของระบบจุลภาค (microscopic reversibility) ที่เราจะมาดูกันก่อน

การผันกลับของระบบจุลภาค

สมมติว่าเรารินนมร้อนใส่กาแฟดำ เราจะได้ลาเต้ แต่เราจะไม่สามารถย้อนเหตุการณ์กลับมาเป็นกาแฟดำกับนมร้อนแยกกันได้

ปัญหามันเกิดเพราะสมการบางอย่างในฟิสิกส์นั้นย้อนกลับได้ บางสมการย้อนไม่ได้
ในฟิสิกส์ของนิวตัน หากเราพิจารณาสมการการเคลื่อนที่ S(t) ความเร่งก็คืออนุพันธ์อันดับ 2 ของมัน a(t) = S’’(t)
ถ้าเราเปลี่ยนจาก t เป็น -t จะได้ว่า a(-t)=S’’(-t)=a(t)

ในเมื่อฟิสิกส์ของนิวตันนั้นอิงความเร่ง ถ้าความเร่งเหมือนกันการเคลื่อนที่ย้อนหลังก็ต้องสามารถอธิบายได้ด้วยกฎเดียวกัน ตัวอย่างง่ายๆ เช่น ถ้าเราถ่ายวิดีโอของลูกบิลเลียดที่สะท้อนชิ่ง ถ้าเราเอามาฉายย้อนกลับ มันก็ยังดูปกติอยู่

ในฝั่งของอุณหพลศาสตร์ (thermodynamics) กลับไม่ใช่ เราไม่สามารถกลับทิศเวลาได้ เช่น ถ้าเราถ่ายวิดีโอของน้ำแข็งที่ละลาย เมื่อนำมาฉายย้อนกลับ มันจะแปลกมาก จริงๆ แล้วเหตุการณ์ที่เมื่อนำมาฉายย้อนกลับแล้วไม่ปกตินั้นมีมากกว่าแบบที่ปกติ คำถามคือฟิสิกส์ของนิวตั้นนั้นผิดหรือไม่ ทั้งที่มันใช้อธิบายการเคลื่อนที่ของดวงดาวต่างๆ ได้

หนึ่งในคนที่ศึกษาเรื่องนี้อย่างจริงจังเป็นคนแรก ๆ คือ Boltzmann โดย Boltzmann บอกว่าฟิสิกส์ของนิวตั้นนั้นไม่ผิด และเราสามารถย้อนคืนสถานะของระบบได้เช่นกัน แต่ด้วยความน่าจะเป็นที่ต่ำมาก

แนวความคิดหลักของ Boltzmann คือระบบจริงนั้นประกอบด้วยองค์ประกอบย่อยจำนวนมาก ก็คืออะตอมในปัจจุบัน ดังนั้นการพิจารณาสถานะของระบบต้องทำในเชิงสถิติ ถึงแม้ว่าสมการที่อธิบายอะตอมแต่ละตัวจะย้อนกลับได้ก็ตาม การจะให้อะตอมทุกตัวย้อนกลับพร้อม ๆ กัน นั้นเป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ยาก ดังนั้นโดยรวมแล้วระบบจะอยู่ในสถานะที่เหมือนกับว่าย้อนกลับไม่ได้ แนวความคิดนี้ไม่ได้เป็นที่ยอมรับในตอนแรก เพราะยังไม่มีใครพิสูจน์ได้ว่าอะตอมมีจริง ในปัจจุบันหลักการนี้ได้รับการยอมรับ อีกทั้งยังกลายเป็นหลักการพื้นฐานที่เราต้องนำมาพิจารณา

วงจรควอนตัม

สำหรับวงจรตรรกะนั้นเราถือว่ามันมีสมบัติการผันกลับก็ต่อเมื่อมันมีจำนวน input เท่ากับ output เกณฑ์นี้ทำให้ในบรรดาประตูตรรกะมาตรฐาน AND OR และ NOT มีเพียง NOT ที่มีสมบัติการผันกลับ
AND และ OR ไม่มีสมบัติการผันกลับ นั่นแปลว่าประตูทั้งสองนี้ไม่ใช่ระบบปิด ประตูตรรกะทั้งสองนี้เป็นพื้นฐานของวงจรอิเล็กทรอนิกส์ในปัจจุบัน ผมเลยเดาว่านี่เป็นหนึ่งในสาเหตุที่อุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์ต่าง ๆ มีการคายความร้อนออกมา

ตัวอย่างประตูตรรกะใหม่สำหรับควอนตัมเช่น CNOT (Controlled NOT) gate ในภาพข้างล่าง สีในภาพแสดงถึงตำแหน่งในเค็ทของคิวบิต

เราสามารถอธิบายประตู CNOT อีกแบบในรูปเมตริกซ์คือ

นอกจากจำนวนของ input และ output แล้ว ผลที่ออกจากประตูตรรกะทั้งหลายต้องให้ค่าความน่าจะเป็นที่ถูกต้องด้วย (นั่นคือผลรวมกำลังสองของสถานะต้องเป็นเป็นหนึ่ง) เราพิสูจน์ได้ไม่ยากว่าประตูที่ให้ค่าถูกต้องนี้ต้องอยู่ในรูปเมตริกซ์หนึ่งหน่วย (unitary matrix)
ดูเหมือนกับว่าการใช้เมตริกซ์หนึ่งหน่วยยังทำให้เราได้ประตูควอนตัมที่มีสมบัติผันกลับได้ตามต้องการอีกด้วย

อีกประตูหนึ่งที่พบบ่อยคือประตูฮาดามาร์ด (Hadamard gate)

เราเขียนการทำงานของประตูนี้แบบย่อได้ว่า (ผมยังไม่เคยเห็นแบบเป็นวงจร)

สังเกตว่าหากเราทำการวัด |+〉 หรือ |-〉ต่างก็จะให้ค่า 0 และ 1 ด้วยความน่าจะเป็น 1/2 เท่ากัน
สังเกตต่อว่าหากเราใช้ประตูฮาดามาร์ด 2 รอบ เราจะกลับมาได้ค่าตั้งต้นค่าเดิม เช่น

อีกกรณีก็ทำคล้าย ๆ กัน

ปล. อันนี้ผมดูคร่าว ๆ ตามเอกสารประกอบการสอนที่เจอบนเน็ต ประตูควอนตัมทั้งหลายคงเป็น linear operator แต่ไม่แน่ใจว่าทำไม

การสร้างคู่พัวพัน

เราใช้ประตูฮาดามาร์ดในวงจรข้างล่างเพื่อสร้างคู่พัวพัน

ลองดูการทำงานของวงจรนี้ทีละขั้น

  • เราตั้งค่าเริ่มต้นให้คิวบิตทั้ง 2 อยู่ในสถานะ |0〉
  • เราเอาคิวบิตแรกผ่าน H จะได้ |+〉
  • เมื่อนำมารวมกับคิวบิตที่สองผ่านผลคูณเทนเซอร์จะได้สถานะรวมของระบบคือ
  • เมื่อนำไปผ่าน CNOT จะได้สถานะพัวพันที่ต้องการคือ

Quantum teleportation

การเทเลพอร์ตสถานะควอนตัมก็ทำโดยอาศัยคู่พัวพันเช่นกัน วงจรข้างล่างนี้ใช้ในการส่งสถานะของคิวบิต |𝜓〉 จาก Alice ไปให้ Bob
(EPR ย่อมาจากชื่อ Einstein Podolsky และ Rosen ที่ร่วมกันเขียนบทความที่กล่าวถึงสถานะพัวพันนี้)

ลองศึกษาการทำงานของวงจรนี้ทีละขั้น

  • สถานะตั้งต้นของวงจรคือ |𝜓〉 และ |+〉ซึ่งผลคูณเทนเซอร์คือ
  • เมื่อเอาคิวบิตสองอันแรกผ่าน CNOT จะได้
  • เมื่อเอาคิวบิตแรกผ่านฮาดามาร์ดจะได้
  • จัดรูปใหม่โดยการกรุ๊ปตามค่า 2 คิวบิตแรกจะได้
  • หากเราให้ Alice ทำการวัดค่าของคิวบิต 2 อันแรกจะได้ทั้งหมด 4 กรณี และการวัดนี้จะทำให้สถานะของระบบฟุบลงตามตารางข้างล่าง
  • หาก Alice โทรบอก Bob ว่าค่าทั้ง 2 ที่ตนวัดได้คืออะไร Bob ก็จะรู้ว่าตนเองต้องนำคิวบิต EPR ของตนไปแปลงเช่นใดให้ได้สถานะของ |𝜓〉 ตามต้องการ

กระบวนการข้างบนนี้ใช้ในการส่งสถานะของ |𝜓〉 จาก Alice ไป Bob
สังเกตว่าเมื่อ Alice ทำการวัด สถานะของ |𝜓〉 ที่ Alice ถือไว้ก็จะฟุบหายไป ดังนั้นจึงถือว่า Alice และ Bob ไม่ได้ถือ 2 ก๊อปปี้ของสถานะเดียวกันไว้พร้อม ๆ กัน

ถ้า Bob ทำการวัดโดยไม่สนใจ Alice ล่ะ?
ถ้า Bob วัดก่อน Alice ความน่าจะเป็นที่จะได้ 0 และ 1 ก็เป็น 1/2 เพราะ Bob ถือหนึ่งในคู่พัวพัน EPR
ถ้า Bob วัดหลัง Alice ความน่าจะเป็นที่จะได้ 0 และ 1 ก็ยังคงเป็น 1/2 เหมือนเดิม (แบบฝึกหัด)
นั่นคือตราบใดที่ Bob ไม่ได้ข้อมูลจาก Alice เขาก็ยังสร้างคืนสถานะของ |𝜓〉 ไม่ได้

อ่านถึงตรงนี้บางคนอาจจะงง ๆ ว่าถ้าเรามีสถานะพัวพันแล้วทำไมยังต้องการเทเลพอร์ตอีก?
เท่าที่ผมเข้าใจ สถานะพัวพันนั้นทำให้เมื่อเราวัดค่าคิวบิตหนึ่ง ๆ ค่าของคิวบิตอีกอันจะถูก instantiate ไปเป็นค่าเดียวกัน แต่ไม่ได้แปลว่าเราจะสามารถกำหนดค่าหรือสถานะให้กับคิวบิตทั้งสองนี้ได้ ต่างจากการเทเลพอร์ตที่ทำให้เรากำหนดค่าสถานะคิวบิตที่เราต้องการได้จากคิวบิตตั้งต้น


พอก่อนละกัน เริ่มยาวแล้ว ไว้ถ้ามีเวลาอ่านควอนตัมต่อค่อยมาสรุปภาคถัดไป

NECTEC

Knowledge Sharing from NECTEC

Sanparith Marukatat

Written by

NECTEC

NECTEC

Knowledge Sharing from NECTEC

Welcome to a place where words matter. On Medium, smart voices and original ideas take center stage - with no ads in sight. Watch
Follow all the topics you care about, and we’ll deliver the best stories for you to your homepage and inbox. Explore
Get unlimited access to the best stories on Medium — and support writers while you’re at it. Just $5/month. Upgrade