Um livro sobre dados, Capítulo 10: Matemática vetorial
Para entender matemática vetorial e suas aplicações na data science primeiro devemos desvendar o que são vetores. Para tanto, uma história, Joãozinho queria ir ao cinema mas não sabia qual filme ver, então sua mãe olhou para ele e falou: “vê Thor”. Paciência caro leitor, a piada foi ruim mas o artigo é bom, dito isso, exploremos o maravilhoso mundo da matemática vetorial.
Porquê estudar matemática vetorial?
O primeiro e mais importante ponto a ser levantado é o porquê dos vetores serem importantes na análise de dados? Posto isso, peço a você, atento e estudioso leitor, que se lembre das aulas de física do seu ensino médio, mais especificamente, as aulas de mecânica, ou ainda, os exercícios envolvendo força aplicada a objetos. Você, leitor estudioso que claramente não dormia durante essas aulas, deve se lembrar que a força e o movimento de alguns objetos eram demonstrados por vetores, de maneira semelhante, os vetores são usados na ciência de dados para mostrar as forças e movimentos por trás de listas e listas de dados, ou seja, são uma maneira de representar tendências e,a partir disso, prever resultados.
Dormiu durante a aula de vetor no ensino médio?
Eu também, por isso esse artigo tem me dado tanta dor de cabeça…
Mas a minha dor de cabeça é a solução dos seus problemas, caro leitor dorminhoco. Apresento-lhe, o melhor e mais sintético resumo de matemática vetorial:
o que são vetores
Um vetor é um conjunto de segmentos com o mesmo módulo, direção e sentido. Sendo que módulo é o comprimento do segmento, direção é a reta a que ele pertence e sentido é o sentido do movimento. As coordenadas geométricas de um vetor são definidas pela subtração do seu ponto de origem do seu ponto final. Assim um segmento com origem em (0,0) e final em (1,2) pertence ao vetor (1,2), 1–0=1 e 2–0=2, mas, vale ressaltar, que o segmento de origem (3,7) e final (4,9) também pertence ao vetor (1,2). Ou seja o vetor (1,2) não representa apenas um objeto, mas o conjunto de vários segmentos com origem (x,y) e final (z,w), tal que z-x=1 e w-y=0.
Soma de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma dos vetores v e w, por:
v+w=(a+c,b+d)
Ou seja, ao somarmos dois ou mais vetores apenas somamos as coordenadas x com as coordenadas x, as coordenadas y com as y, assim por diante…
Subtração de vetores
Semelhante à soma, a subtração de vetores é feita tal que: Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a diferença entre os vetores v e w, por:
v−w=(a−c,b−d)
Produto de um escalar por um vetor
Se v=(a,b) é um vetor e k é um número real, definimos o produto de k por v, por:
kv=(ka,kb)
ou seja, a multiplicação do vetor (4,2) por 3 vale:
(4,2)+(4,2)+(4,2) = (4+4+4,2+2+2) = (3x4,3x2) = (12,6)
Módulo de um vetor
O módulo ou comprimento do vetor v=(a,b) é um número real não negativo, definido por:
|v|=√a²+b²
Essa fórmula é obtida a partir do famoso teorema de pitágoras ou ainda da fórmula da distância entre dois pontos dAB² = (xB — xA)² + (yB — yA)². Lembrando que um vetor pode ser definido pela subtração do seu ponto de origem do seu ponto final, tem se que o seu comprimento ou módulo nada mais é que a distância entre esses pontos.
obs.: vetor unitário é um vetor que tem o módulo igual a 1.
Produto escalar
Dados os vetores v=(a,b) e w=(c,d), definimos o produto escalar ou produto interno entre os vetores v e w, como o número real obtido por:
v⋅w=ac+bd
Ou seja, a multiplicação escalar dos vetores (4,5) e (2,3) vale: 4x2+5x3 = 8+15 = 23.
Ângulo entre dois vetores
Outro modo de escrever o produto escalar entre os vetores v e w é
v.w=|v||w|cos(q)
onde q é o ângulo formado pelos vetores v e w.
Com este modo podemos obter o ângulo q entre dois vetores quaisquer v e w, pois:
cos(q)=u⋅v / |u||v|
Esse foi um pequeno porém útil resumo das principais operações com vetores que virão a serem úteis durante a trajetória de qualquer cientista de dados. Não obstante, ainda há muito mais a ser explorado no mundo dos vetores e, consequentemente, da álgebra linear e para os leitores que se interessarem e quiserem aprofundar seus conhecimentos na área recomendo a playlist de Álgebra Linear do Professor Murakami: https://youtube.com/playlist?list=PLN0ZrxDaBfhh2-ugZJlJ83A8bmlZqQ3xO
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Bibliografia:
http://www.uel.br/projetos/matessencial/basico/geometria/vetor2d.html
