Introducción a la Probabilidad

¡Hola bienvenidos a la quinta entrega de la serie de Matemáticas para Data Science, en esta entrega veremos una pequeña introducción a la probabilidad, abarcando desde los tipos de probabilidad que hay, cuáles son sus características y cómo identificar los casos.

¡Empecemos!

Existen tres tipos de probabilidad

Veamos sus definiciones de una forma intuitiva

Probabilidad

1. Probabilidad objetiva: Es aquella que se usa cuando los resultados son clasificables, esta probabilidad tiene pocas aplicaciones a ejemplos reales
2. Probabilidad empírica o de frecuencias relativas: Es aquella donde se recurren a datos o información pasada para predecir algo en el futuro
3. Probabilidad subjetiva: Es aquella que se basa en la experiencia de alguien, aquella que nosotros predecimos.

Observamos que aunque todas las anteriores son probabilidades, no se pueden aplicar a cualquier evento. Sin darnos cuenta hemos usado diariamente alguna de las probabilidades anteriormente mencionadas. Definamos formalmente las probabilidades 2. y 3.

Definición 1. (Probabilidad empírica) Probabilidad que se obtiene al iterar datos previamente obtenidos para predecir un comportamiento futuro

Esto es la proporción de veces que un evento ocurre en repetidas ocasiones

Definición 2. (Probabilidad subjetiva) Probabilidades que se asignan de acuerdo a la experiencia del individuo que las asigna

A partir de ahora, todas las leyes y axiomas serán sobre la Probabilidad objetiva, antes de dar la definición de probabilidad, demos las siguientes

Definición 3. (Espacio muestral) El conjunto S de todos los resultados posibles de un experimento dado.

Definición 4. (Punto muestral o muestra) Un resultado particular, o sea, un elemento de S

Definición 5 (Evento) Conjunto de resultados, o sea, un subconjunto del espacio muestral S

Definición 6 (Evento elemental). Evento que consta de una sola muestra simple a de S

Definición 7 (Eventos mutuamente exclusivos) Sean A, B dos eventos, se dice que son mutuamente exclusivos si la intersección de estos es vacía

Definición 8 (Probabilidad). Sea S un espacio muestral, la probabilidad son los números Pr(A) para todos los eventos A que satisfagan los axiomas anteriores

Como en la Definición 5. se dijo A es un subconjunto de S así que en la Definición 8. se está trabajando con las cardinalidades de los eventos. Primero obtenemos los eventos favorables del conjunto A y obtenemos su cardinalidad, posteriormente dividimos por la cardinalidad de S.
Esa división es claramente menor que la unidad, ya que si fuera mayor, el conjunto A tendría más elementos que el espacio muestral, lo cual no puede ser

Resultados útiles para el cálculo de las probabilidades

Resultado notable de la probabilidad subjetiva

Comúnmente, al usar la probabilidad subjetiva la usamos de una forma errónea, no aplicamos correctamente las propiedades de los conjuntos al calcular las probabilidades que se piden, veámoslo en el siguiente

Ejemplo X
¿Cuál es la probabilidad de que la persona F obtenga el empleo de ayudante, si tiene una experiencia de 3 años?

Solución
Sabemos que entre más experiencia tengas, o así se piensa, mejor eres para un empleo, entonces nuestra respuesta estaría en un rango de 0.7 a 0.99, o sea, de un 70% a un 99% seguros, ya que tenemos la información de que F tiene experiencia. Esto sería una historia diferente si F no tendría experiencia, nuestra respuesta hubiera sido entre 0.0 a 0.69, o sea, 0% a 69%

¿Cuál es el error? en este caso ninguno, ya que sólo se está basando la probabilidad en un solo evento, pero, ¿Qué pasa si se cambia la pregunta?

Ejemplo Z
¿Cuál es la probabilidad de que la persona F obtenga el empleo de ayudante y de cajero si se tiene una experiencia de 3 años?

Análisis y solución
Vemos que aquí se piden 2 cosas (ayudante y cajero) y en el ejemplo anterior sólo una (ayudante). La respuesta a esta pregunta podría oscilar entre 0.7 a 0.99, o sea, de un 70% a un 99% seguros, ya que tenemos la información de que F tiene experiencia, pero ¿eso es cierto? ¿aquí solo debemos de contar la experiencia o tenemos que tener algo más en cuenta?

Podemos concluir que, si se tienen dos eventos simultáneos, como en el Ejemplo Z , la probabilidad del evento simultaneo debe de ser menor que la probabilidad de los eventos individuales

Bibliografía

• M.H. DeGroot, M.J. Schervish. (2012). Probability and Statistics. USA: Pearson Education Inc.
• An intuitive introduction to probability — University of Zurich

En esta entrega se definieron los distintos tipos de probabilidad y algunas de sus propiedades y cómo calcularlas, de igual manera se vio un error común al momento de aproximar la probabilidad subjetiva.

En las siguientes entregas, se verá más teoría con ejemplos de la probabilidad objetiva y aplicaciones de esta.

¡Saludos y gracias!

Chucho Montesinos :)