Conjuntos: operaciones y propiedades
¡Hola! bienvenidos a la primera publicación de la serie Matemáticas para Data Science, en esta entrega nos centraremos en la notación de conjuntos, algunas simbologías, conjuntos en especial y operaciones entre conjuntos.
Sin más por el momento ¡Empecemos!
Fue G. Cantor quien fundamentó las ideas para crear la teoría que respalda a los conjuntos, estos son de suma importancia en las matemáticas. Vagamente, un conjunto se podría ver como
Una colección de cosas que comparten una misma propiedad.
Un conjunto puede ser de entes matemáticos o no.
Algunos ejemplos de conjuntos son
- Conjunto de los números (Naturales, Enteros, Racionales, etc)
- En cálculo el Dominio e Imagen de una función f(x)
- En geometría el conjunto de los polígonos regulares
- En probabilidad el espacio muestral y los eventos favorables
N o se tiene una definición precisa de los que es un conjunto, toda la teoría de conjuntos se ha creado a partir de la Axiomática de la teoría de conjuntos, esto es, aceptar las cosas tal y como son.
Esto ha causado que la teoría de conjuntos sea blanco de varias paradojas y ataques hechos por la comunidad matemática. Pero no profundizaremos en eso en esta ocasión, se les invita indagar en ese tema a los lectores.
Conjuntos
Definición 1. (Conjunto) Colección bien definida de objetos que cumplen una cierta propiedad.
Observación 1. La expresión bien definida indica que dado un objeto, uno puede determinar si es elemento de un conjunto o no, o sea, un objeto que se puede clasificar.
Definición 2. (Elementos o miembros del conjunto) Son los objetos que conforman un conjunto. Estos deben ser únicos, o sea, no debe de haber repetición de elementos.
- Un conjunto puede tener como elemento a otro conjunto.
- Los elementos de los conjuntos son abstractos, esto es, si tenemos al conjunto de nombres Juan, Luis no nos referimos a gente con ese nombre, sino a las palabras Juan y Luis.
Aclaración A lo largo del texto se usará la notación de esta tabla, si algún símbolo no aparece, se explicará en donde sea mencionado.
Un conjunto A se denota como sigue a continuación
El conjunto A conformado por los elementos x tal que cumplen con la propiedad P(x).
Ejemplo
- A={x:x>0} esto es El conjunto A conformado por las x tal que x>0 (x mayor a cero).
- A={x:x es planeta} esto es El conjunto A conformado por las x tal que x es planeta (Mercurio, Venus, Tierra,…).
Definición 3. (Los elementos) Un objeto x es elemento del conjunto A si cumple la propiedad P(x) .
Si x pertenece al conjunto A se lee
x pertenece a A
Si x no pertenece al conjunto A se lee
x no pertenece a A
Definición 4. (Subconjunto) Sean A,B conjuntos, se dice que A es subconjunto de B si todo elemento x en A pertenece a B.
Negación de subconjunto A no es subconjunto de B si al menos existe un elemento x en A tal que no pertenezca a B.
El siguiente teorema es fundamental en el tema de los conjuntos, este nos muestra los requisitos para poder decir que dos conjuntos cualesquiera son iguales.
Teorema 1. (El principio intuitivo de extensión) Sean A,B dos conjuntos, se dice que A es igual a B si y solo si tienen los mismos elementos
Demostración
El principio intuitivo de extensión nos dice que un conjunto es igual a otro si y solo si A es subconjunto de B y B es subconjunto de A
A=B si y solo si A y B tienen los mismos elementos
Definición 5. (Conjunto vacío) Es el conjunto que no tiene elementos, se define como
Nota: Observe la definición del conjunto vacío, la propiedad que deben cumplir las x para que pertenezcan a este conjunto es que x sea distinta de x, esto es claramente una contradicción ya que todo elemento es igual a sí mismo, veamos el siguiente teorema que nos dice más del conjunto vacío.
Teorema 2. (Unicidad del conjunto vacío) El conjunto vacío es único, o sea, no existe otro conjunto con la propiedad del conjunto vacío. Esto es consecuencia de El principio intuitivo de extensión.
Demostración
Observación 2. Si un conjunto tiene al menos un elemento, entonces no sería un conjunto vacío.
Nota Los dos teoremas anteriores son la base de las demostraciones de todos los teoremas que siguen. De la misma forma son teoremas que se destacan ya que con ellos podremos ver y deducir más propiedades a cerca de un conjunto.
Observación 4. Los teoremas que sucederán a partir de este punto no tendrán una demostración formal, solo se dará una idea de como proceder con la demostración ¡deberían intentarlas!
Teorema 3. El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto A
Demostración: No sería subconjunto de A si tuviera algún elemento distinto, pero el vacío no tiene elementos.
Teorema 4. (Subconjuntos de A) Sea A un conjunto distinto del vacío, entonces A tiene al menos dos subconjuntos distintos: A mismo y el conjunto vacío.
Demostración: Procedemos por la Nota del conjunto vacío y su definición.
Definición (Conjunto potencia) Sea A un conjunto, el conjunto potencia se define como el conjunto de todos los subconjuntos de A
Ejemplo
Observación 4. Los elementos del conjunto potencia se forman haciendo todas las combinaciones posibles del conjunto, incluyendo a A y al conjunto vacío.
Nota Observe que mientras más elementos tenga el conjunto A mayor serán los elementos del conjunto potencia.
El conjunto potencia tiene su origen en el caso donde A es finito
Con eso en mente introduciremos un concepto importante en los conjuntos, esto es, la cardinalidad de un conjunto.
Definición 7. (Cardinalidad de un conjunto) Sea A un conjunto, la cardinalidad es el número de elementos que existen en un conjunto.
Ejemplos
La cardinalidad es el número de elementos del conjunto, no es la suma de sus cantidades, así, si se tiene algún número negativo, no importa ya que se refiere al elemento en sí, o sea, -1 no es la cantidad negativa, sino el elemento -1 y eso solo es un elemento más de A.
Operaciones entre conjuntos
En la sección pasada vimos las definiciones y teoremas fundamentales de conjuntos, nos limitamos a las propiedades de un mismo conjunto, a ver si algún elemento pertenecía a un conjunto, todo sobre el mismo conjunto. Gracias a esto surge la inquietud
¿Qué pasa si quiero trabajar con conjuntos ya existentes?
¿Es posible o sólo se puede hablar de conjuntos que se crearon desde cero? En esta sección mostraremos la forma de manipular varios conjuntos ya existentes, o sea, a crear nuevos conjuntos a partir de conjuntos dados abordando sus propiedades fundamentales y otros conjuntos importantes.
Nota. Las demostraciones de los teoremas presentados en esta sección se dejarán sin demostración, el motivo es que el lector puede verificarlas haciendo uso del Teorema 1.
Definición 8. (Operación entre conjuntos) Operar entre conjuntos significa crear nuevos conjuntos a partir de otros conjuntos existentes.
Definición 9. (Unión) Sean A, B conjuntos, la unión es el conjunto de todos los elementos los cuales son miembros de A o B o de ambos
Ejemplos
Definición 10. (Intersección) Sean A, B conjuntos, la intersección es el conjunto de todos los elementos los cuales son miembros de A y B, o sea, x debe de estar en ambos conjuntos
Ejemplos
Teorema 5. Sean A, B conjuntos, se tiene
Definición 11. (Conjuntos ajenos) Sean A, B conjuntos, se dice que son ajenos si al intersectarlos no tienen elementos en común
Ejemplo
Definición 12. (Conjunto universo) Es el conjunto que contiene a todos los conjuntos con una cierta propiedad como subconjuntos, se denota con la letra mayúscula Omega.
Definición 13. (Complemento de un conjunto) Sea A un conjunto, el complemento de A es el conjunto de todos los elementos del universo que no pertenecen a A
Ejemplo
Sea A el conjunto de los números pares, entonces su complemento es el conjunto de los números impares
Nota: Observe que estamos tomando como conjunto universo al conjunto de los números enteros, de otra forma, no tendría sentido esa afirmación
Definición 14. (Complemento relativo de un conjunto) Sean A, B conjuntos, el complemento relativo de A con respecto a B es el conjunto de las x pertenecientes a A que no están en B
Teorema 6. La diferencia relativa de conjuntos se puede reescribir de la siguiente forma
Teorema 7. (Leyes de DeMorgan o D’Morgan) Sean A y B conjuntos, entonces
Definición 15. (Singletón) El conjunto A que contiene un solo elemento
Definición 16. (Par desordenado) Conjunto A que contiene dos elementos, también llamado dobletón
Definición 17. (Par ordenado) Sean a y b elementos, el par ordenado (a,b) se define como el conjunto
Definición 18. (El producto cartesiano) Sean A, B conjuntos distintos del vacío, el producto cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados (a,b) con a en A y b en B
Ejemplo
Bibliografía
- Charles C. Pinter. (1971). A Book of Set Theory. Massachusetts: Dover Publications, Inc.
- Pavle Mladenović. (2019). Combinatorics A Problem-Based Approach. Switzerland: Springer.
- Robert. R. Stoll. (1979). Set theory and logic. New York: Dover Publications, Inc.
Con eso damos por terminada esta primera entrega de la serie de Matemáticas para Data Science, trabajamos con algo que es de gran importancia para poder entender y familiarizarse con el futuro uso de expresiones que hagan referencia a algunas de las entidades aquí mencionadas. En la siguiente entrega que será un poco de probabilidad y en otras próximas más se entenderá el motivo por el cual se habló aquí a cerca de los conjuntos.
S e les invita a los lectores a dejar comentarios, preguntas, aclaraciones en los comentarios al igual que recursos, libros, ejemplos, y todo aquél material que sirva de apoyo para el tema de conjuntos para así enriquecer las fuentes y que la información que tengamos de esto sea cada vez mayor.
¡Saludos y gracias!
Chucho Montesinos :)
