Why we learn Math?

ใครก็ตามที่เคยมีคำถามว่า เรียน math ไปทำไม เรียนแล้วนำไปใช้อะไร บทความนี้ไม่มีคำตอบนั้นครับ จบ 🤣 เดี๊ยววววววว กลับมาก่อนผู้อ่านที่รักทุกคน 🥹

กลับมาแล้วใช่มั้ย มาว่ากันต่อ…

แต่ในบทความนี้จะทำให้ทุกคนได้รับรู้ถึงตัวตนของสิ่งที่มีอยู่ในทุกที่ แต่เราอาจมองข้ามมันไป หรือไม่ได้ใส่ใจมัน เสมือนกับอากาศที่เราแทบไม่รู้สึกถึงตัวตนของมัน แต่มันมีอยู่ทุกที่ นั่นก็คือ คณิตศาสตร์ (Math) นั่นเอง

Alert!! บทความนี้ไม่มีคำนวณ และ friendly กับผู้อ่านทุกคน ขออย่าได้กังวลไป
เพราะคณิศาสตร์ยิ่งเราเข้าใจมัน เรายิ่งคำนวณน้อยลง…

ก่อนที่เราจะเริ่มกัน ทุกคนทราบความหมายของคณิตศาสตร์หรือยัง เรามาลองดูความหมายของมันกันก่อนดีกว่า มันคงไม่ใช่อย่างที่หลายคนคิดแน่นอน เพราะหลายคนคงคิดว่ามันก็คงเป็นวิชาคำนวณ อะไรประมาณนี้ แต่ความหมายของมันคือ

Math is study a logical of logical thing

ก่อนหน้านี้ตัวผมเองก็คิดว่าตัวเองเก่งในวิชาคำนวณ และเข้าใจมันมาตลอด แต่พอเจอคำถามแค่เพียงว่า คณิตศาสตร์คืออะไร มันน่าแปลกใจที่ผมก็ไม่สามารถให้คำตอบที่ ครอบคลุมได้ แต่ก็ไม่กว้างมากจนเกินไปได้

จากข้อความด้านบนให้ความหมายไว้ว่า

“คณิตศาสตร์คือสิ่งที่คอยศึกษาการให้เหตุผลของสิ่งที่มีเหตุผล”

หมายความว่าทุกสิ่งที่มีเหตุ และผล เราสามารถอธิบายมันได้ด้วยคณิตศาสตร์

ในวิทยาศาสตร์ของเรานั้น เชื่อว่าทุกสิ่งทุกอย่างประกอบขึ้นมาจากสิ่งที่เล็กกว่าอยู่เสมอ เช่น

• ตึกทั้งตึก ประกอบมาจาก เหล็ก และ ปูน
• ปูนที่เอามาโบก ก็ประกอบมาจาก ซีเมนต์ผง และ หิน
• หิน ก็ประกอบมาจาก อะตอมหลายล้านอันประกอบกัน
• ในอะตอม ก็ประกอบมาจาก อิเล็กตรอน กับ โปรตรอน และนิวตรอน

นี่คือตัวอย่างในโลก physical ซึ่งในปัจจุบันเราอาจจะยังหาของที่เป็น bottom หรือสิ่งที่เล็กที่สุดไม่ได้ แต่เราก็ยังมุ่งมั่นที่จะหามันอยู่นะ จนเกิดทฤษฎีต่างๆมากมายเพื่อกำหนดสิ่งที่เล็กที่สุดขึ้นมาให้ได้ เช่น string theory, quark เป็นต้น นี่คือตัวอย่างในโลกที่จับต้องได้ (Physic)

และในโลกที่จับต้องไม่ได้ ก็ไม่ใช่ข้อยกเว้นเช่นกัน อย่างเช่น

• ปัญหาหนึ่งปัญหาถ้าเราจะแก้มัน ก็อาจประกอบไปด้วยหลายขั้นตอนซ้อนลงไปข้างล่างอีกมากมาย ซึ่งเราเรียกขึ้นตอนที่ย่อยที่สุดว่า unit
• ข้อมูลต่างๆ ก็ประกอบมาจากข้อมูลย่อยๆหลากหลายอันเช่นกัน ซึ่งหน่วยของข้อมูลที่เล็กที่สุดเราเรียกมันว่า bit
• แม้กระทั่งการพัฒนาทฤษฎีต่างๆขึ้นมาในโลกวิทยาศาสตร์ หนึ่งในวิธีการพัฒนาก็คือ การต่อยอดขึ้นมาอีกทีละนิดจากฐานของทฤษฎีที่ได้รับการพิสูจน์ว่าเป็นจริงอยู่แล้ว ซึ่งเราเรียกสิ่งที่เล็กที่สุดของสิ่งนี้ว่า axiom* (สัจพจน์)

ตามคำบอกเล่าด้านบน หากทุกอย่างที่ซับซ้อน แท้จริงแล้วเป็นการรวมตัวกันขึ้นมาจากของที่มีความเรียบง่ายหลายๆอันมารวมกัน

แปลว่าถ้าเราหาส่วนที่เล็กที่สุดของมัน จุดที่เรียบง่ายที่สุดของมันเจอ เราก็สามารถทำความเข้าใจโครงสร้าง และมองเห็นมันในภาพรวมได้ใช่มั้ย

เพื่อการนี้เราขอแนะนำให้ทุกคนรู้จักสิ่งที่เรียกว่า “logical structure”

logical structure

คือ จุดกับเส้นเชื่อมที่มีความเป็นเหตุและผลซึ่งกันและกัน โดยสิ่งนี้อาจอยู่ใน รูปแบบที่จับต้องไม่ได้ (abstract layer) หรือจะอยู่ในรูปแบบ physical ก็ได้ ซึ่งสิ่งนี้เป็นเครื่องมือของ คณิตศาสตร์ 100% เพราะมันสามารถให้เหตุผลกับทุกอย่างที่มีเหตุผลได้ตามนิยามของคณิตศาตร์ด้านบน

ยกตัวอย่างเช่น

ปัญหา หากเรามองปัญหาในหน้าตาของ logical structure จะทำให้เราได้นิยามของปัญหามาแบบนี้

ปัญหาคือ ช่องว่างระหว่างจุดสองจุด

เราไม่สนใจนะว่า “จุด” ในที่นี้จะเป็นสิ่งที่จับต้องได้มั้ย อาจจะจับต้องได้ อย่างเช่น โต๊ะ, เก้าอี้ ก็ได้ หรืออาจจะจับต้องไม่ได้ก็ได้เช่น ความรู้สึก, มูลค่าของเงิน เป็นต้น

เมื่อใดที่มีความแตกต่างของจุดสองจุดนี้ ไม่ว่าเราจะรู้สึกถึงมันหรือไม่ ปัญหาก็ได้เกิดขึ้นแล้ว

แล้วการลากเส้นเชื่อมแบบมีทิศทางจากจุดหนึ่งไปสู่อีกจุดหนึ่ง เราเรียกสิ่งนี้ว่าการแก้ปัญหา

มาดูตัวอย่างกันเลย หากผมอยากจะบอกทางให้คนต่างจังหวัดที่ไม่รู้จักทางเส้นนี้มาก่อนเลย ให้เดินทางจาก หมอชิต ไป อนุเสาวรีย์ นี่คือหน้าตาของปัญหานี้

แล้วผมต้องบอกทางเค้าละเอียดขนาดไหนนะ อย่างที่เห็นว่าสิ่งนี้มันเป็นปัญหาที่ใหญ่ไป เพราะเราคงไม่สามารถเดินก้าวเดียวเพื่อไปถึงจุดหมายได้เลย งั้นเราลองแตกลงมาเป็นปัญหาที่เล็กกว่าเดิมดูมั้ย (sub problem)

เป็นไงบ้าง ดูแบบนี้แล้วรู้สึกว่าแก้ง่ายขึ้นมั้ย รู้สึกว่าปัญหามันเล็กลง และมองเห็นภาพมากขึ้น จริงๆยังแบ่งลงได้ละเอียดกว่านี้อีกนะ โดยให้จุดแต่ละจุดจะหมายถึงแยกแต่ละแยกตามเส้นทางเลย และบอกเลยว่าถึงแยกนี้ให้เลี้ยวทางไหน คุ้นๆมั้ยครับว่ามันเหมือนอะไร…

ใช่ครับมันคือวิธีการทำงานแก้ปัญหาการเดินทางของ google map ครับ

หรือแม้แต่สิ่งที่ทุกคนใช้กันอยู่ทุกวัน หรืออย่างน้อยต้องเคยใช้มันมาซักครั้งนึงในชีวิตก็ยังอยู่ในหน้าตาของ logical structure

แผนผังรถไฟฟ้า

Mindmap

หรือเราสามารถเอา logical structure มาต่อยอดเพื่อมองภาพรวมของระบบบางอย่างได้ และเราจะเข้ามากขึ้นว่าทำไมการแก้ไขอะไรบางอย่างมันยาก เพราะมันอาจส่งผลกระทบในวงกว้างได้เช่นกัน

System thinking

จากด้านบนเราก็เริ่มเห็นการใช้งานคณิตศาสตร์ในชีวิตประจำวันมากขึ้นมั้ย เพียงแต่เราอาจไม่รู้ตัวแค่นั้นเองว่าสิ่งนี้ก็เป็นคณิตศาสตร์เหมือนกันนะ 😉

เรามายกตัวอย่างกันเพิ่มดีกว่า จากตัวอย่างเรื่องการเดินทางข้างบนที่เราพูดถึงตัวอย่างการบอกทางใช่มั้ย

สังเกตุเห็นมั้ยว่ามันมีปัญหาอยู่นิดนึงตรงที่คำว่า “อนุเสาวรีย์” ปัญหาคือ คำว่า
อนุเสาวรีย์ เนี่ยเป็น “set” ที่ค่อนข้างใหญ่เลย

จากภาพด้านบน เราจะเห็นวงกลมที่มีของอยู่ข้างในเต็มไปหมดเลย เราเรียกสิ่งนี้ว่า “set” ซึ่งมีขอบเขตชัดเจน ครอบคลุมสมาชิกของมันเอาไว้

ต่อกับปัญหาการเดินทาง ถ้าเราบอกเพื่อนว่าถึงละ เพื่อนบอกถึงแล้วเหมือนกัน อ้าวแต่หากันไม่เจอ เพราะอะไร เพราะคำว่า อนุเสาวรีย์ของเราไม่เท่ากันนั่นเอง เราอยู่
อนุเสาวรีย์ชัยสมรภูมิ แต่เพื่อนไปอยู่อนุเสาวรีย์ประชาธิปไตย เรียบร้อยยย 😂

อาจฟังดูเป็นเรื่องตลก และเล็กน้อย แต่รู้มั้ยว่าการกำหนด set ของแต่ละคนให้เท่ากันเป็นเรื่องสำคัญมากๆ เพราะจะทำให้เราใช้ภาษาเดียวกัน และสามารถสื่อสารกันได้รู้เรื่อง

เชื่อมั้ยว่าบางทีการทะเลาะกันใหญ่โตอาจเกิดจากเรื่องของการที่เรา define set ไม่ตรงกันก็เป็นได้ เช่น คำว่า “สิทธิ”

ทุกวันนี้ทุกคนใช้คำนี้กันมากมาย และเป็นต้นเหตุของข้อโต้แย้งมากมาย แต่มีใครมั้ยนะที่มองย้อนกลับมาดูว่า ที่เราใช้ ที่เราทะเลาะกันอยู่แบบนี้ เราอยู่ภายใต้ คำจำกัดความ (set) เดียวกันหรือยัง…

พอดีกว่าเดี๋ยวบทความจะดราม่า 5555 😂

เรื่องของเรื่องคือ การอยากชี้ให้เห็นถึงความสำคัญของ set ซึ่งเป็นเรื่องพื้นฐานเรื่องนึงใน Math ที่มักซ่อนอยู่ในชีวิตประจำวันของเราทุกคน หากเรารู้เรื่องนี้ เราจะสามารถลดโอกาสเกิด misscommunicate ลงได้มากทีเดียว

ต่อจากเรื่องข้างบน การเข้าใจการมีอยู่ของ set ก็จะช่วยทำให้เราสังเคราะห์ข้อมูลที่เรารับเข้ามาง่ายขึ้นด้วย เพราะเราจะเข้าใจขอบเขตของคำนั้นอย่างชัดเจน และสามารถแตก bit (หน่วยที่เล็กที่สุดของข้อมูล) ออกมาได้ด้วย

งงมั้ยครับ 5555555 งั้นเรามาลองยกตัวอย่างกัน

ผลไม้ คือ พืชที่เรากินส่วนผลของมัน

ซึ่งเราจะเห็นว่าจากประโยคนี้ เราสามารถแยกย่อยความหมายที่ซ่อนอยู่ของมันออกมาเป็น 3 bit ได้เลยนะ เดี๋ยวเรามาลองนิยามกันดู (อาจไม่เป๊ะตามนิยามนะ 🥺)

• พืช อะไรคือพืช คือสิ่งที่สังเคราะ์ด้วยแสง และเซล์มีผนังเซล์ (cell wall)
• กิน อะไรคือกิน คือการจับเข้าปากแล้วกลืนแล้วไม่ตาย
• ผล อะไรคือผล คือสิ่งที่เจริญมากจากดอก

ต้องเป็นของที่มีคุณสมบัติของทั้ง 3 สิ่งนี้พร้อมกัน เราจึงเรียกว่าผลไม้นะ และ set ทุก set ของเราต้องตรงกัน ไม่งั้นเราจะคุยกันไม่รู้เรื่องเลย เช่น

แตงกวานี้เป็นผลไม้มั้ยนะ หลายคนอาจคิดว่ามันเป็นผัก แต่จริงๆแล้วมันเป็นผลไม้นะ เพราะ มันเป็นพืช, ตัวแตงกวาเป็นผล เพราะเจริญมาจากดอก และกินได้ ประมาณนี้ แล้วทำไมหลายคนถึงเข้าใจผิดล่ะ เป็นเพราะ set ของเราไม่ตรงกันไง 🤓

หน้าตาของ set ก็จะประมาณนี้

มาถึงจุดนี้ทุกคนคงเริ่มเห็นมากขึ้นแล้วว่าเราใช้สิ่งที่เรียกว่า คณิตศาสตร์มากมายขนาดไหนในชีวิตประจำวัน

และแน่นอนว่าหลายคนก็อาจมองเรื่องที่ผมยกตัวอย่างมาว่าพวกนี้เป็นเรื่องที่ make sense อยู่แล้ว ไม่เห็นจำเป็นต้องเรียนจาก Math เลยก็ได้นี่ ซึ่งใช่ครับมันไม่ผิดเลย

แต่สิ่งใดที่เราทำมันไปโดยไม่รู้ตัว แล้วเราจะควบคุมมันได้ยังไง เราจะพัฒนาต่อยอดมันได้อย่างไร นี่แหละครับการเรียนคณิตศาสตร์จึงเข้ามาตอบโจทย์สิ่งนี้

แล้วก็ตามสัญญาเลย ตั้งแต่ด้านบนจนมาถึงตรงนี้ ไม่มีการคำนวณเลย 🤩 แต่เรากำลังคุยเรื่องคณิศาสตร์กันอยู่นะ แล้วทำไมมันถึงไม่มีการคำนวณเลยนะ แล้วเรื่องของการคำนวณมันมาตอนไหนนะ

ตามความเข้าใจของผมคือ การคำนวณเป็นเหมือนเครื่องมือที่เรานำมาประยุกต์ใช้กับสิ่งที่เราให้เหตุผลมันได้แล้ว เพื่อให้มันจับต้องได้มากขึ้น หรือทำให้มันสะดวกในการใช้งานมากขึ้น มาดูตัวอย่างกัน

การบวกเลข

ทุกคนรู้จักการนับเลขอยู่แล้วใช่มั้ยครับ ทุกคนเคยรู้สึกมั้ยว่าการนับเลขเนี่ยแหละคือการบวกเลขที่ง่ายที่สุดที่ตั้งแต่เราเกิด เพราะมั้นคือการ +1 ไปเรื่อยๆ แต่พอเราไปเรียนเรื่องการบวก เราให้ความสำคัญกับเครื่องมือมากขึ้น ทั้งวิธีการบวกที่รวดเร็ว วิธีการบวกเลขสองหลักทำยังไง จนเราหลงลืมไปว่าเรื่องที่ซับซ้อนทั้งหลาย มันเกิดมาจากการบวกทีละ 1 นะ ถ้าสมมติ เราได้โจทย์ 15 + 18 ทุกคนจะทำยังไงเหรอครับเพื่อหาคำตอบ

ตั้งบวกเลยมั้ย หรือเราอยากจัดกลุ่มมันก่อน

ทั้งสองวิธีให้คำตอบเหมือนกัน ถ้าเราคำนวณถูก แต่กับวิธีข้างบน เราแทบไม่สามารถให้เหตุผลมันได้เลย ว่าทำไมเราถึงต้องทำแบบนี้นอกจาก เพราะครูสอนให้ทำแบบนี้

ส่วนวิธีด้านล่างเราให้เหตุผลมันได้ ทั้งเรื่องการแบ่งเลขให้ส่วนใหญ่เป็น 5, 10 เพราะมันนับนิ้วง่าย เลยที่ลงด้วย 5, 10 มันเป็นธรรมชาติของเราอยู่แล้วที่จะคุ้นชินกับมัน เพราะมันคือนิ้วของเราไง

แล้วถามว่าเรารู้ได้ไงว่า 18 มันคือ 15 + 3 ก็เพราะว่าพอเรามีเลข 15 แล้ว เราต้อง +1 อีก 3 ครั้งไง มันก็รวมกันได้ +3

ประมาณนี้ครับ เรื่องการคูณก็เป็นอีกอันนึงที่เราจำเป็นต้องเข้าใจการบวกไปก่อนที่จะเริ่มการคูณ ซึ่งเราจะไม่พูดถึงแล้วกัน แต่ผมอยากชี้ให้เห็นว่า หากเราเข้าใจเรื่องพื้นฐานได้ดีระดับนึง เราจะเริ่มต่อยอดมันขึ้นไปได้เรื่อยๆ

เราจะคูณเลขไม่ได้ถ้าบวกเลขไม่ได้ เราจะบวกเลขไม่ได้ถ้าเรานับเลขไม่ได้

ก็จบแล้วครับสำหรับเรื่องที่ผมอยากแชร์ ต้องบอกเลยว่านี่เป็นเรื่องที่อยู่บนยอดภูเขาน้ำแข็ง จากความรู้ทั้งหมด ในคลาส Resoning with Discrete Math ของอาจารย์เดฟ เพราะงั้นเราทุกคนต้องพยายามให้เหตุผลกับทุกอย่างต่อๆไปกันนะครับ 🤓

สิ่งนี้สำหรับผมแล้วมันเป็นการเปลี่ยนแปลงมุมมองทางคณิตศาสตร์ครั้งใหญ่ครั้งหนึ่งในชีวิตของผมเลยทีเดียว ทำให้เราระลึกได้ในหลายสิ่งที่ขาดหายไป ได้แก้ไขความเข้าใจผิดบางอย่าง ได้เห็นวิธีการนำมาประยุกต์ใช้ในชีวิตจริงได้ ผมจึงอยากแชร์สิ่งนี้ให้กับทุกคนต่อ เพื่อให้เราเข้าใจเหตุและผลของหลายๆสิ่งได้มากขึ้น

สุดท้ายนี้เรื่องนี้น่าจะเป็นเรื่องที่สนุกสำหรับหลายๆคน แต่ก็เป็นยาขมสำหรับหลายคนเช่นกัน ผมยินดีอย่างยิ่งถ้าหากมีคำถาม หรืออยากพูดคุยเรื่องนี้ต่อ ก็สามารถคอมเมนท์เพื่อพูดคุยกันเข้ามาได้เลยครับ

ขอบคุณมากครับ 😁

*สัจพจน์ (axiom) คือความจริงที่ไม่ต้องการพิสูจน์ใดๆ เพราะมันประจักษ์ชัดว่าเป็นแบบนี้อยู่แล้ว เช่น เส้นตรงสองเส้นตัดกันจะได้จุดตัดหนึ่งจุด