前言
1943年 — — 就在二戰方酣的困頓時期 — — 蔡司（Zeiss）發展出一套稱為「調制轉換函數」（德：Modulationsübertragungsfunktion；英：Modulation Transfer Function, MTF；日：変調伝達関数）的科學程序，用來評量鏡頭的影像品質。光學儀器業者、相機鏡頭製造商欣然擁抱這項新工具，開始用它來幫助人們快速達成設計目標。
「MTF」在繁體漢字圈中沒有固定譯法，因此「調變 vs. 調制」、「傳遞 vs. 轉換」排列出各種不同組合，基本上是想怎麼翻就怎麼翻，即使在學術圈內也沒有統一稱呼。為了有效溝通，簡稱MTF是最不易出錯的方式。
一時之間，MTF曲線圖大量湧現在攝影雜誌測試報告、雜誌廣告、相機鏡頭型錄手冊，彷彿成了高性能光學品質保證書。
當然，也有相當排斥的同業廠商 — — 例如徠茲（Leitz）就是 — — 直到世代交替，新一代的徠卡技術人員才接納MTF；此外，日本專業攝影媒體如《アサヒカメラ》也是到了1975年前後，才開始於〈ニューフェース診断室〉長期專欄中加入MTF測量圖表。
話說回來，即使各大相機系統及鏡頭製造廠商官網都有「何謂MTF？」的簡易解說，各種郷野怪譚及都市傳說仍然不絕於耳，不求甚解的消費者只會把MTF當成電腦CPU Benchmark排行榜，一開口就是「我家鏡頭的MTF曲線比你家的更好、更強」，這種論調，就好像網路鄉民GG必然30公分一樣……純屬幻想。
作為提出MTF主張的原廠正宗，蔡司不能容忍業餘愛好者只憑一己喜好天花亂墜鬼扯，必須正式回應。
2008年，蔡司相機鏡頭研發部門總監胡伯特・納斯（Dr. Hubert H. Nasse, 1952-2016）博士親筆撰寫專文，並正式公開，詳細闡述了MTF原理以及在設計、測量攝影用鏡頭的影像品質的諸般技術細節。其完整性、專業以及權威地位自是不容置疑。
身為一位攝影技術歷史的愛好者，如果你對於MTF有任何疑問，務必先下載並仔細閱讀蔡司官網迷你網站《LENSPIRE》原廠文件：《如何閱讀MTF曲線》（How to Read MTF Curves），不要輕信網路社群那種「我也是聽說」的信口開河。
本文嘗試在合理使用範圍內傳播知識的前提下，介紹並且部分轉述納斯博士的專文，希望業餘攝影愛好者能以「較為輕鬆」的方式接觸光學原理，透過初步理解MTF圖表，掌握鏡頭特性 — — 至少你不必先弄懂何謂傅立葉轉換（Fourier transform）這類高等數學。
從一道光束開始
攝影者希望拍攝一張真實自然、栩栩如生的照片，他（她）們需要相機搭配完美鏡頭。「理論上的完美鏡頭」能忠實傳達主體發散的光線，並在影像平面上正確聚焦成像。
這種完美鏡頭在現實生活中不存在。
光學系統的像差（aberrations）、製造組裝公差（tolerance），以及可見光的波動性質，都會影響成像，導致一個光點最終瀰散在理想座標位置的周圍。某種程度而言，此一「區域」可稱為「最小模糊圓」（smallest possible circle of confusion）。
然而，它並不是均勻分布的光點：通常是一個極亮的核心，周圍環繞著大小不同的光暈；甚至連光點也很少是正圓，而是千奇百怪的各種形狀的集合，這種效應稱之為「點擴散函數」（point spread function），其形狀與大小體現了鏡頭的影像品質。
納斯博士形容道：「……如果將攝影比喻成繪畫，那麼點擴散函數就像是鏡頭的筆刷：有的油畫筆刷粗獷、平扁、有的尖銳，甚至毛茸茸；鏡頭也是一樣，各有不同的筆刷風格。」
那麼，既然是一種「函數」，為何點擴散函數不適合用來量化描述影像品質呢？納斯博士提出三個基本原因：
1. 首先，光束通過鏡頭後的擴散形狀有時非常複雜多變，很難簡單量化。以圖１為例：照片1–6的光暈實際上也是「光點」，但形成的影像品質普通，這是高速廣角鏡頭在光圈全開時邊緣角落的典型成像。
光暈旁邊的白色正方形區塊，相當於1200萬像素全片幅感光元件的單一像素單元，大小約為8.5 微米（µm）。
你可以看到光點暈開的擴散面積比單一像素要大很多。照片 ７則是優秀的成像，但實際上數位感光元件無法「看到」；照片８是與照片７相同的點擴散，為了避免摩爾紋效應（Moiré effect）而加裝在感光元件前方的低通濾鏡（low pass filter），其雙折射（Birefringence）效應卻導致了另一種影像劣化（如下圖）：
2. 其次，除非刻意安排，像是拍攝黑夜星空或在實驗室中拍攝特殊樣本，你很難單獨看到像上圖這樣的點擴散表現。絕大多數的影像以更加複雜的型態在整個系統中形成，由大量且形狀各異的點擴散光暈組合成像。
被攝主體可以視為「由無數密集光點」組成。當許多光點集中在一小片感光元件上面時，所對應的理論位置上往往重複堆疊了許多點擴散函數。這意味著某一處影像點（甚至可以說是單一像素）的光強度是大量點擴散函數的二維積分總和。這樣的「筆觸」和實際影像之間的數學關係，很難加以釐清。
3. 最後的原因是，從鏡頭到成像的整個過程，其實還有一種更優雅的描述與解釋方式，它就是MTF。
化繁為簡
納斯博士指出，攝影人關心的是被攝主體如何成像，這些主體並不像星星那樣稀疏有致，而是由無數龐大複雜光點構成，我們必須找到另一種量化方式來描述影像品質。
在二戰期間，蔡司的構想是利用「正弦波亮度分布」（Sinusoidal brightness distribution，又稱正弦曲線亮度分布）這種盡可能化繁複為簡約的數學模型，來檢驗主體如何成像。
正弦波亮度分布是一種明暗相間條紋「連續且漸次性發生」的模式，就像你家中電源插座內的交流電隨著時間變化的波型一樣。蔡司決定採用正弦波條紋模式，理由是：即使光束穿越鏡頭後產生了複雜難解的點擴散函數變化，最終成像仍然是正弦波，其中幾種特性可以保持穩定（或至少與成像品質無關），條紋方向不變，頻率（每單位長度內的條紋數量）只會根據影像比例產生變化。
成像與原始影像兩者不同之處在於，明暗條紋之間的亮度差異不再是一樣的 — — 因為點擴散效應的一部份能量（光）實際上會散落在陰暗處（黑線）而非落在明亮處（白線）上。
下圖顯示了一組黑白相間的條紋在光強度的垂直剖面上對應的正弦波型（黑色曲線），每毫米（mm）有20個週期，亦即每一週期的長度為50 µm；紅色與藍色曲線則是點擴散光暈的亮度分布垂直截面：
藍色曲線表示理想成像（藍色點）的亮度在座標中心向兩側滑落到周圍區域，代表有一部份光線實際上落在在黑色曲線的波谷地帶（±25 µm）；同理，紅色點的亮度也有一部份落在同樣的波谷區，雖然亮度較低，但大部分能量都落在波谷，所以在-25 µm位置的亮度比藍色曲線更高。
所以，理論上波谷內的黑暗區域（即條紋圖案黑色部分的光強度），是來自周邊的多種因素疊加的貢獻；上圖中以灰色點狀曲線表示的「比較緩和的弱曲線」即為最終呈現的「影像」。
至此，我們可以進一步定義。在光學中，明、暗之間的差異稱之為「反差對比」（contrast）。從更廣泛的觀點來看，所有正弦波、週期性變化量的最大値與最小値之差，稱為「調變」或「調制」（modulation）。
如果我們將被攝主體的調制度與最終成像的調制度相除，可以得到一個簡單的數字，它能提供一支鏡頭成像特性的量化描述，即一種「調制轉換」（Modulation Transfer）：它介於０到１（或介於0到100%）之間。
現在，你應該能理解MTF三個字母中的前兩個字母的意義何在了吧！
編按：「反差、對比」在此為同一概念，不要拆開分別解釋，否則容易被字面意義誤導。
從一大堆像掃把星四處亂撇的光點，到可以歸納推理的正弦波，對光學設計者來說，絕對是天降福音。
攝影愛好者習慣用光圈格數（檔位）來表達明、暗的概念，因為我們的眼睛也遵守同樣的亮度原則。但這概念應用到反差對比時會產生明顯誤差。例如，假設條紋圖案的最亮與最暗區域相差６格光圈，那麼……50％的調制轉換意思是什麼？相差３格光圈還是５格光圈？
兩個答案都錯 — — 實際上相差大約一格半。
這是因為在光學中，反差對比度的定義是最明亮部分與最暗部分的亮度差，以算術式表示如下：
如果被攝主體與成像的反差對比的「調制轉換」是以光圈格數（aperture stops）來衡量的話，兩者相關圖形如下所示：
我們可以藉此理解三項重要的MTF特性：
1. 在被攝主體反差對比度很高的情況下，高MTF値即使差異很小，曲線變化也會非常顯著。
2. 反過來說，低於一格（光圈）的微弱階調變化並不需要很高的MTF値。高於70–80%的曲線變化幾乎沒有差別。
3. MTF値極低的情況下，被攝主體的反差對比度有多高不是很重要，成像的反差對比總是很低。
納斯博士指出，這就是許多傳統底片技術文件只提供1：1.6的低反差對比的解析力的原因；至於1：1000的高反差對比解析力，只能使用接觸印樣曝光的方式來測量。對於最精細的結構，世界上沒有任何一款鏡頭可以產生10格光圈的反差對比。根據這種高解析力來估計底片資訊量，就太過於樂觀了。
反差對比 vs. 解像力（分辨率）
顧名思義，「解像力」意指一個測量系統對於細節的最小分辨能力。在攝影領域中，意指鏡頭重現影像精細程度的能力，利用鏡頭投影一組黑白相間條紋的解像力測試圖表，測量其「可分辨的程度」。
測量單位可以是每英吋點數（dpi）、每毫米線數（lines/mm）、每英吋像素數（ppi）……等。例如解像力達到每毫米200線，則表示鏡頭的解像力達到 200 lines/mm（100 lp/mm），鏡頭的解像力越高，越能分辨出細節。
然而，高解像力的鏡頭並不完全等於高畫質影像。假設成像條紋的反差對比都低於50％甚至低至10％，人眼仍能分辨出差異但整體平淡無奇，談不上是高畫質成像。
下圖是兩款不同的鏡頭其解像力以及MTF的關係。圖表顯示：鏡頭Ｂ的解像力要優於Ａ；但實際拍攝時鏡頭Ａ的影像卻比Ｂ要更「銳利」，因為影響人眼覺得銳利的條件，通常取決於20–40 lp/mm之間的MTF數値。
單一黑白線條圖案不足以體現鏡頭影像素質，如果條紋圖案既粗大又明顯，即使普通鏡頭也有很好的表現。但是，一旦將黑白條紋圖案間距縮小緊密排列，讓明暗條紋逼近點擴散函數的光暈大小，那麼從明亮區域散射到陰暗區域的光線能量會增加，導致影像對比下降。
納斯博士寫道：「如果我們再一次以繪畫作比喻，這就意指粗糙的結構、輪廓可以用粗筆刷描繪，精巧細膩的細節，就需要使用圭筆筆刷了。」
因此，蔡司考察了各種不同精細程度的條紋圖案是如何透過鏡頭成像，並為每種圖案制訂不同的調制轉換，進而得到一組數列，如果將它作為用來描述條紋圖案精細程度的函數參數，這些數字呈現出來的就會是一條曲線 — — 即調制轉換函數。
為什麼是40 lp/mm？
黑白明暗條紋的精細度，可以透過計算每毫米距離內包含多少條紋來測量。每兩條暗線或兩條亮線的間隔，或是一明一暗條紋組成的線對（line pairs）的寬度；影像成像平面上每毫米的週期數稱為空間頻率（Spacial frequency），一般簡稱為 lp/mm。
下圖說明了某一隻全片幅格式的50mm鏡頭（我們假設它是蔡司自家標準鏡）在f 2.0（洋紅色曲線）和f 5.6（藍色曲線）在Y軸的MTF遞減變化。要注意的是：X軸是標示為每毫米線對的空間頻率。
為了作為比較，也標示了f 5.6（橄欖綠色虛線）以及f 16（灰藍色虛線）的繞射極限的轉換函數。達到繞射極限上限的影像是理論上的最佳影像品質，在圖表上呈現幾近完美的直線，下降率與空間頻率成比例。在到達極限頻率（limited frequency）時，MTF趨近於０，其頻率由光的波長與光圈値兩個因素決定。
現實中的鏡頭即使校正，仍帶有殘餘像差，因此MTF曲線一開始會快速下降，然後緩慢趨近於０。曲線明顯向下彎折，就像上面圖６中光圈為f 2的洋紅色曲線一樣；至於光圈縮至f5.6後的藍色曲線和理論最佳値的差距就相當接近了。
當MTF曲線降至０或低於一個臨界點（Threshold） — — 例如10％，其空間頻率即為光學鏡頭在空氣中的解像力，這意味著一旦超過臨界點，黑白條紋的明暗結構整體變成灰色而難以辨識，這又是另一個問題。
圖６測量鏡頭在光圈f 2時的曲線，空間頻率到達120 lp/mm時，幾乎是一片平坦，即使空間頻率增加，反差對比也幾乎沒有變化，這樣的測量非常不精確，鏡頭解像力可能達到160 lp/mm以上，也可能只有120 lp/mm。
這樣的判準，並不適合用來評判一隻鏡頭的影像品質。此外，空間頻率與數位時代的影像感測器（image sensor）的「解析度」，兩者也不能混為一談。
這也是蔡司為何決定採用MTF來描述成像品質的原因之一。我們並不直接用眼睛觀察相機鏡頭成像，鏡頭後方總是需要一個媒介：傳統銀鹽底片、CCD、CMOS、掃描器、投影機……等等，有類比式的也有數位式的。
所有媒介（包括人的眼球在內）都有自身的影像特性，每一種影像特性也可以用一組轉換函數來分別描述。MTF的優勢在於：整體的光學成像鏈的MTF是（接近於所有）個別MTF的乘積。
納斯博士列舉了幾個實際範例如下：
上圖是光圈縮至f 5.6，表現優異的鏡頭（藍色曲線）、某彩色底片的MTF（黃色曲線），兩者綜合起來的MTF乘積和（綠色曲線）必然小於整個成像系統內個別子系統的MTF。
你可以觀察到，全體MTF受到彩色底片限制。假設限定最低反差對比必須在10％以上，那麼最終解像力就會落在80–100 lp/mm之間；如果還要再考慮投影機鏡頭或人眼的話，總和MTF更小，解像力還會進一步下降。
同一顆35mm全片幅格式的鏡頭，光圈開放至f 2，表現相對中庸，現在它的MTF曲線和彩色底片表現相當接近，最終的MTF乘積（綠色曲線），兩者貢獻大致相同。
這條曲線僅僅只考慮了兩個系統的轉換函數的乘積，現實生活中還牽涉更多轉換函數（像是沖片與放大相片程序），如果這些函數只會使綜合乘積更小，就無需考慮所有「非常高」的空間頻率範圍。
根據納斯博士以及歐文・普茲（Erwin Puts）的研究，具有2400萬像素的35mm全片幅格式或1500萬像素的APS-C格式，其數位感光元件的奈奎斯特（Nyquist frequency）約為90 lp/mm，理論解像力和傳統彩色底片大致相同。因此，全片幅格式通常只需要考慮採用 40 lp/mm以下的空間頻率。
這便是蔡司的全片幅鏡頭在傳統銀鹽底片時代最多提供到40 lp/mm的MTF曲線數據的原因。
科技革新從未停下腳步。現在（2023年），我們可以在全片幅感光元件上面塞進4600萬甚至於6100萬像素！納斯博士提醒我們：此時就要開始思考40 lp/mm或更高一點的空間頻率的重要性了。
順便一提，如果你使用的是極細顆粒、低感度黑白底片的話，可以考慮採用更高的空間頻率。下圖是納斯博士使用蔡司鏡頭搭配柯達Kodak T-MAX 100黑白超微粒底片測試得到的MTF曲線圖：
25公分（10吋）的觀看距離
數位世代的攝影愛好者對於傳統銀鹽底片時代如何「觀看」一張8 x 10吋照片的自然距離，幾乎完全沒有概念，這也難怪他們對於片幅與景深的相對關係，同樣毫無健全常識。
在「25公分」的觀賞距離下，以60度視角觀賞一張A4尺寸（接近8 x 10吋）的相片，人眼最多能分辨1600條線 — — 平均是 8 lp/mm。將這特性換算成24 x 36mm的全片幅底片，相當於66 lp/mm。對人眼來說，最重要的空間頻率也落在40 lp/mm以下。
現代業餘愛好者任意放大圖檔看照片的習慣，在此就會遇到麻煩：因為一直滑動手指放大到馬賽克出現（超高空間頻率），所謂的「清晰」、「銳利」根本毫無意義，他（她）甚至完全沒有意識到自己可能正在看的，是一張「寬達兩公尺的相片內一小片指甲大小的局部」。
記得一件事：當你裁切照片圖檔想要任意放大時，觀賞距離（和心態）也需要換算。
納斯博士特別提供了兩張圖檔，用以說明「40 lp/mm」的實際意義：以1200萬像素的數位相機拍攝西門子星（Siemens Stars）九連圖表，40 lp/mm的空間頻率，大致上位於中心十字座標旁邊不遠處。對35mm 底片全片幅格式而言，這已經是相當高的空間頻率了：
相關連結
參考資料：
- Hubert H. Nasse, How to Read MTF Curves, 《LENSPIRE》 。
- 戶村賢一、〈MTF：MTF曲線から読み取るレンズ特性の正体〉、page 129、《ライカ通信》 Vol.1, 2000年4月。
