精確的浮點數運算 ?
在上一次 Data Science — Numpy Basic ! 電子報最後的 reference 有提到 100 numpy exercises ，做到第15題時，遇到了一個浮點數精確度運算的問題：
* 為什麼 0.3 不等於 3 * 0.1 ? 😦
這個就要從機器底層看起，現今機器的 CPU 大多是通過 IEEE-754 標準來執行浮點數運算。簡單來說，IEEE 754 浮點數的組成為符號位 (sign bit)、指數 (exponent)、分數 (fraction) （如下圖）
當你進行浮點數運算時，必須先將數值轉為二進位 ：
0.5 = 1/2 （1*2^-1）等於 0.1 (二進位)
0.75 = 1/2 + 1/4 （1*2^-1 + 1*2^-2）等於 0.11 (二進位)
0.875 = 1/2 + 1/4 + 1/8 (1*2^-1 + 1*2^-2 + 1*2^-3)等於 0.111 (二進位)
0.9375 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 (1*2^-1 + 1*2^-2 + 1*2^-3 + 1*2^-4)等於 0.1111 (二進位)
…
但如果是 0.1 ：
0.1 = 1/16 + 1/32 + 1/256 + 1/512 + … （1*2^-4 + 1*2^-5 + 1*2^-8 + 1*2^-9+…）
無止盡下去的逼近 0.1，但是電腦的記憶體是有限的，因此只能存有限的二進位小數，沒辦法完全等於 0.1，所以 Python 會選擇一個近似值來取代
這裡要記得的是，Python 雖然 print 出來是 0.1，但其實存的是一個逼近 0.1 的二進位分數，電腦沒有辦法精確的存 0.1。
所以我們可以推知很多不同的浮點數 (十進位) 共用同一個二進位分數（0.1, 0.10000000000000001…）
以下兩個例子的等號，會是不相等的。
並且實際上是
那你會想說，那我換成用取四捨五入的方法 ( round( ) )，並且取小數點第一位，這樣應該就可以直接 0.1 + 0.1 + 0.1 = 0.3 了吧 ！
很可惜的，還是失敗！
round ( 0.1 , 1 ) 等於 0.1，round( 0.3 , 1 ) 等於 0.3 ，那還是回到原點，0.1 + 0.1 + 0.1 == 0.3 這個算式
0.1 = 1/16 + 1/32 + 1/256 + 1/512 + …
浮點數在做計算時，0.1 不能精確的等於 1/10 ，0.3 不能精確的等於 3/10。
但你可以換個方式：
先進行浮點數的運算，再進行比較，這樣就可以成功的實現比較兩個浮點數。
* 是否真的要精確
一般來說，不建議直接將兩個浮點數進行大小比較，或是我們可以換個角度思考，不要拘泥於完全的相等，讓絕對誤差落在可以接受範圍內，這也是另一個方法。
但除了以下情況，我們非要精確的計算：
- 你無法接受一點點的誤差
- 你是在進行金融領域的相關計算
我們可以使用 Python Decimal module ( Decimal fixed point and floating point arithmetic )，他可以重現十進位的精準，並且指定小數點位數。
我們可以創建一個 Decimal 物件，傳入參數為 string 。
- 數值比較
這樣我們就可以精確的比較浮點數。
注意！這裡如果傳入的參數是 float type ，就無法精準的算出，因為這樣就跟前面所說的一樣，會受到底層存儲 float 的方式，而無法精準的計算。
2. 數值計算
前面說到 Decimal 可以去指定想要取到第幾位小數點，Decimal module default 為取到小數點第28位，我們可以用 getcontext( ) 來查看。
或是去指定欲想要的小數點位數。
getcontext( ) 是去取得 global 的 context ，利用 prec attribute 去指定 global 的小數點位數。如果想指定在某一區段使用特定的小數點位數，自行選擇想要的精準度，可以使用 with statement 以及 context manager 。
* 總結一下：
Python 使用的浮點數運算方式受到硬體存儲方式所影響，無法精準的算出答案，這時候你可以思考是否使用 Decimal module，但是使用前需要考慮到是否真的需要到如此精準，你的系統會因為小數點17位而受到嚴重的影響嗎？因為原生 Python 所提供浮點數運算相較起來，速度是比較快的，這會影響到在做大資料時運算的速度，所以完全取決於你的應用情形來決定。
Reference:
Decimal — Fixed and floating point math
Floating Point Arithmetic: Issues and Limitations
Python Cookbook, 3rd Edition (3.2 Performing Accurate Decimal Calculations)
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