Superconductividad y junturas Josephson
Explorando la no-linealidad de la juntura Josephson
La superconductividad fue descubierta experimentalmente por Heike Kamerlingh Onnes en 1911 [1]. Kamerlingh observó que la resistencia eléctrica del mercurio a la temperatura de 4 K desaparecía [1,2], fenómeno que se explica, hoy en día, mediante la teoría de Bardeen-Cooper-Schrieffer (BCS) [3]. Esta teoría establece que en los superconductores se forman los llamados pares de Cooper, que son dos electrones ligeramente ligados con spín entero. Al ser partículas de spín entero, son bosones, y forman el condensado de Bose-Einstein cuando se encuentran a temperaturas cercanas a $0 K$. Mediante estos pares de Cooper, la teoría BCS logra explicar los fenómenos experimentales observados de la superconductividad, como la resistencia eléctrica nula, el gap de energía en la energía de fermi y la cuantización de flujo de corriente eléctrica[3].
En 1962 B. D Josephson predijo que puede existir una corriente neta de pares de Cooper entre dos películas delgadas superconductoras separadas por un material aislante [4]. Este fenómeno fue observado experimentalmente por Shapiro en 1963 [5], y hoy en día es llamado “Efecto Josephson”. Las ecuaciones que describen este efecto en las películas superconductoras es el que proporciona la no linealidad en un sistema de este tipo, como se revisará en la siguiente sección.
El sistema en el que se produce el efecto Josephson, es decir, el sistema formado por dos películas delgadas superconductoras separadas por un material aislante, se conoce como juntura Josephson. Este tipo de junturas se utilizan en aplicaciones como los supercondutores de interferencia cuántica (SQUID por sus siglas en inglés) [6,7,8], los estándares de voltaje [9], los convertidores análogo/digital [10,11], las computadoras cuánticas [12,13] y la encriptación de imágenes [14].
Efecto Josephson y no-linealidad
Como se mencionó en la sección anterior, los pares de Cooper pueden pasar de una película superconductora a otra, generando así una corriente de pares de Cooper en la juntura Josephson. Para obtener las ecuaciones de este fenómeno (Efecto Josephson), a continuación se presentará un desarrollo basado en la mecánica cuántica, similar al realizado por Feynman[15].
En la mecánica cuántica, el valor |Psi^*Psi| (para una partícula), donde Psi es la función de onda de una partícula, se interpreta como la densidad de probabilidad de hallar esa partícula en el espacio. Esta interpretación funciona muy bien cuando solo se tiene una o dos partículas, pero pierde un poco el sentido cuando se habla de sistemas de muchas partículas con la misma función de onda Psi, porque la probabilidad de hallar una partícula en dicho sistema es la unidad. Un ejemplo particular de este tipo de sistemas son las películas superconductoras, en donde los pares de Cooper tienen la misma función de onda por ser bosones.
Por la razones presentadas en el anterior párrafo, para estudiar películas superconductoras se usa una función de onda de todo el sistema y no de cada una de las partículas. Esta función de onda del sistema se puede ser vista como la densidad de pares de Cooper presentes en la película (|Psi^*Psi|= rho_c). De esta forma, se conserva la idea de probabilidad, pero en este caso, la función de onda representa la probabilidad de hallar un cierto porcentaje de partículas en una región del espacio.
Cabe mencionar que los pares de Cooper son partículas cargadas, con carga q=2e. Esta cargas, por obvias razones, están distribuidas de igual manera que los pares de Cooper. Es así que la densidad de pares de Cooper se puede cambiar por la densidad de carga y, de esta forma, la densidad de probabilidad se vuelve |Psi^*Psi|= rho, donde rho es la densidad de carga y $\Psi$ es la función de onda de la película superconductora. A partir de esta densidad, se deduce que la función de onda es
donde Psi es la función de onda asociada a la película superconductora, rho es la densidad de carga asociada a los pares de Cooper y theta es una fase que se asocia a la función de onda. Notemos que la fase theta es simplemente una herramienta matemática que generaliza la función de onda y, por tanto, cumple |Psi^*Psi|= rho.
En una juntura Josephson se le asocia una función de onda (Psi) a cada una de las películas superconductoras. Estas funciones de onda evolucionan temporalmente mediante la ecuación de Schrödinger,
donde U1 y U2 son las energías de las películas superconductoras.
Por otra parte, ya que conocemos que puede existir un paso de electrones de entre las películas superconductoras, se considera perturbaciones en las ecuaciones de Schrödinger (Ec. 2 y Ec. 3). De esta forma, se genera un sistema de dos ecuaciones diferenciales acopladas, debido a la posibilidad de que los pares de Cooper tunelen la barrera potencial. El sistema de ecuaciones es [15,16]
donde K es la probabilidad de que un par de Cooper atraviese de una película a la otra.
Si se establece una diferencia de potencial entre las películas, la diferencia entre las energías de las películas es U1-U2= 2eV. Por conveniencia, se escoge un sistema de referencia en el medio de U1 y U2, de modo que las energías U1 y U2, medidas desde este sistema, son U1=+eV y U_2=-eV. Al reemplazar estas energías y las funciones de onda Psi_1, Psi_2 en las ecuaciones 4 y 5, se obtiene
Después, al separar en sus componentes real e imaginaria, se obtiene las siguientes cuatro ecuaciones:
Se debe recordar que existe un voltaje en la juntura Jospheson. Este voltaje permite que la corriente circule, es decir, cuando la carga de una película superconductora pasa a la otra mediante efecto Josephson, el voltaje hace que nueva carga llegue a la película, manteniendo la densidad de carga constante. Si consideramos que las películas superconductoras son iguales, las densidades de carga con iguales y la resta de la Ec.10 y Ec.11 nos lleva a la primera ecuación de Josephson [15,16],
donde theta es la diferencia de fases theta_2-theta_1. Esta última ecuación relaciona la derivada temporal de la diferencia de fases con el voltaje.
Por otra parte, a partir de las ecuaciones 8 y 9 se obtiene la igualdad drho_1/dt=-drho_2/dt. Dicha ecuación implica que la variación temporal de densidad de carga en una de las películas superconductoras es igual y con signo contrario a la variación de densidad de carga en la otra película. Estas relaciones de las densidades significan flujo de corriente, es decir, I_j=drho_1/dt, donde I_j es la corriente de pares de Cooper. Así, la corriente de pares de Cooper se determina mediante,
donde I_j es la corriente de pares de Cooper que pasa de una película a otra mediante efecto túnel, I_c (obtenida de la Ec.8) es una corriente crítica que depende de las características y dimensiones de la juntura Jospehson y theta=theta_2-theta_1, como ya se mencionó, es la diferencia de fases de las películas superconductoras.
Las ecuaciones 12 y 13 se conocen como ecuaciones de Josephson y describen el efecto Josephson. De manera específica, la ecuación que genera la no linealidad en la juntura Josephson es la Ec.12 debido a la presencia de la función seno.
Referencias
[1] Heike Kamerlingh Onnes. The disappearance of the resistivity of mercury. Comm. Leiden, 122:2, 1911.
[2] HEIKE Kamerlingh Onnes. Investigations into the properties of substances at low temperatures, which have led, amongst other things, to the preparation of liquid helium. Nobel lecture, 4, 1913.
[3] J Robert Schrie er. Theory of superconductivity. CRC Press, 2018.
[4] Brian David Josephson. Possible new e ects in superconductive tunnelling. Physics letters, 1(7):251{253, 1962.
[5] Sidney Shapiro. Josephson currents in superconducting tunneling: The e ect of microwave and other observations. Physical Review Letters, 11(2):80, 1963.
[6] John Clarke. Squids. Scienti c American, 271(2):46{53, 1994.
[7] Sanjay P Singh. Magnetoencephalography: basic principles. Annals of Indian Academy of Neurology, 17(Suppl 1):S107, 2014.
[8] Rainer Korber, Jan-Hendrik Storm, Hugh Seton, Jyrki P Makela, Ritva Paetau, Lauri Parkkonen, Christoph Pfei er, Bushra Riaz, Justin F Schneiderman, Hui Dong, et al. Squids in biomagnetism: a roadmap towards improved healthcare. Superconductor Science and Tech- nology, 29(11):113001, 2016.
[9] Johannes Kohlmann, Ralf Behr, and Torsten Funck. Josephson voltage standards. Measurement science and Technology, 14(8):1216, 2003.
[10] Tomu Wakamatsu, Yuki Yamanashi, and Nobuyuki Yoshikawa. High-speed superconductive decimation lter for sigma-delta analog to digital converter. In Journal of Physics: Conference Series, volume 871, page 012068. IOP Publishing, 2017.
[11] Edward L Wolf, Gerald B Arnold, Michael A Gurvitch, and John F Zasadzinski. Josephson Junctions: History, Devices, and Applications. Pan Stanford, 2017.
[12] Shailaj Shrivastava. Application of high-tc superconducting josephson junction devices. 6:517-523, 01 2019.
[13] Nakamura Y, Pashkin YA, Tsai JS. Coherent control of macroscopic quantum states in a single-Cooper-pair box. nature. 1999 Apr;398(6730):786–8.
[14] Ge Zhang, Jun Ma, Ahmed Alsaedi, Bashir Ahmad, and Faris Alzahrani. Dynamical behavior and application in josephson junction coupled by memristor. Applied Mathematics and Computation, 321:290{299, 2018.
[15] Richard P Feynman, RB Leighton, and M Sands. Lectures on physics, volume iii. Quantum mechanics, 1965.
[16] Antonio Barone and Gianfranco Paterno. Physics and applications of the Josephson e ect. Wiley, 1982.4
