R語言自學日記(17)-向量自我迴歸模型與縮減VAR
Introduction of Vector Autoregressions, VAR Model
*不知道封面該放甚麼，不然就放一隻可愛的柯基
向量自我迴歸模型簡介(VAR模型)
VAR模型與後來的動差模型(GMM)算得上是近年時間序列分析發展上最重要的里程碑，VAR的優秀之處在於將所有的變數視作內生變數，這很大程度避免了總體經濟學中一個嚴重的問題，為了建構模型而對於真實世界情況透過太多不可信的限制來作為前提。
這邊引用陳旭昇教授的內容，來介紹VAR模型的三種類型：
縮減VAR：這也是我們今天要介紹的，我們將變數考慮成自身落後項與其他變數落後項的函數，跟我們前面介紹的AR模型等不同之處在於，這個模型等於多考慮了其他變數存在的動態關係。對於一個VAR(p)模型，我們可以分別用矩陣與方程式形式表達：
結構VAR：我們把縮減VAR的變數除了過去影響外，也加入同期的彼此影響，但對於係數D則必須另外以總體經濟結構來確定。
遞迴VAR：同期變數的影響是遞迴的，也稱為半結構式VAR。
我們必須注意到這邊誤差項的不同，在結構與遞迴VAR中我們稱這些誤差叫做結構性誤差，也就是這些誤差本身是沒有相關的，不同於縮減VAR中的迴歸性誤差，彼此之間具有相關性。我們可以用E(et*et’)去推導，這邊不再贅述，也因此，如果我們要對VAR模型做更進一步的分析比如外生衝擊等等，就必須另外衡量這些外生衝擊對於內部變數的影響比例。
縮減VAR估計 (Reduced-Form Vector AutoRegressive Model)
我們首先可以知道縮減VAR的估計式，一個VAR(p)模型可表示為：
這個結構造成我們對於估計式建構的困難，原因在於方程式彼此之間存在一定的關聯性，也就是 Cov( εit, εjt) ≠ 0，但換個方式想VAR(p)模型其實可以被拆解成不同的個別迴歸模型，此時我們就可以用OLS去估計。
VAR模型可以幫助我們估計股價現值，這個現值模型的變數選擇當然可以有一些經濟學與金融機制上的考量，這邊我們來考量三組數據，台積電(TSMC)、鴻海(Hon Hai)以及聯發科(MEDIATEK)的股價來建構VAR(p)的模型，首先我們先將數據融合到一張表裡面，並看一下圖表：
當然，我們另外透過diff()函數去取得每個資料的平穩狀態，嚴謹一點我們可以再繼續使用ADF-TEST，但這邊就不再多提：
這三個變數就是我們要放入VAR(p)估計的對象，但在開始估計以前，如同AR(p)模型，我們還有一個問題沒有解決：該選擇幾期落後期數？這個問題的答案一樣，我們採取AIC的資訊準則來選擇最佳期數，不過這裡我們可以讓程式來自動幫我們挑選，我們將VAR()函數中的ic設定為AIC(其他還有HQ,SC, FPE等)，代碼如下:
我們創建了一個VAR(1)模型，由上面的資訊可以看到，我們創建了三個迴歸模型，預設的估計方法是最小平方法OLS，當然你可以進一步比較三個基底模型的R值來觀察相關程度，但至少在落後期數的選擇上我們已經透過AIC參數調整到最優了，接下來我們就要做進一步的預估，我們這邊可以估計後180天，使用dev.new()以及Plot(mod, n.ahead = 180)。
當然一個顯而易見的問題是我們並沒有考慮季節性的存在，這個問題我們可以通過之前ARIMA模型學過的季節來處理掉，但在這邊我們就不再特別展示了，但提供另外一種方法是我們可以指定VAR()中的參數Seasonal = 365：
這樣就能夠簡單的去預估日報酬率，而我們只需要再將日報酬率的預估數字去乘上原先的價格就可以得到正確的預估數字。
格蘭傑因果關係(Granger Causality)
由於VAR模型的特殊性質，我們會想關注的另外一個重點是變數A是否對變數B存在因果關係，然而，這個因果關係非常難以定義與檢定，我們在前期有談到一個概念是，儘管兩個變數沒有實質上的互相關係，只要具有隨機趨勢，就可能讓我們估計出一個不存在的相關性。
我們這邊想要介紹的Granger因果檢定，就將這種因果關係定義成預測因果關係(Predictive Causality)，也就是檢定變數A能否提供預測變數B所需要的資訊，因此，即便我們說兩個變數存在Granger因果關係，我們也不能篤定它們兩者存在真正的因果關係，但這個檢定的好處是可以衡量不同期不同變量之間的因果關係，相對於R值只能理解同期，自迴歸只能理解同變數，格蘭傑因果檢定提供了比較完善的測試方法。
Granger因果關係被定義如下：
在R語言中，我們可以透過grangertest()函數來檢定關係，代碼如下：
我們關注的是最後面的P值 = 0.4032，這裡的P值大於0.05，因此我們認為將TSMC從落後的HONHAI模型移除是可行的，也就是TSMC對於HonHai的股價沒有Granger Causality。
總結
下一篇我們會進入到SVAR模型，會更完整地介紹這些模型的用處。
