Minimum Risk ile Sınıflandırma
Bayes Sınıflandırıcısı’nın minimum hata oranı ile sınıflandırma yaptığını belirtmiştik. Fakat Bayes Sınıflandırıcısı için yapılan hataların hepsi aynı derecede önemlidir. Örneğin Bayes Sınıflandırıcısı için kanserli hücreyi sağlıklı olarak sınıflandırırken yapılan hata ile sağlıklı hücreyi kanserli hücre olarak sınıflandırırken yapılan hata aynı derecede öneme sahiptir. Fakat kanserli hücreyi sağlıklı hücre olarak sınıflandırmak çok daha kötü sonuçlar doğurur. Bu durumda yanlış sınıflandırmalar için önem derecesini belirten Kayıp Fonksiyonu(Loss Function) tanımlamamız gerekir. Aşağıda kayıp fonksiyonunun gösterimi bulunmaktadır.

Yukarıdaki eşitlik x vektörünün gerçek sınıfı wj iken wi sınıfının seçilmesiyle ortaya çıkan kayıp değerini gösterir.
Örneğin bir x vektörünü düşünelim. Eğer x vektörü w1 sınıfına aitse ve w2 sınıfı seçilerek hata yapılırsa bu durumda kayıp değerini

şeklinde gösterebiliriz. Kayıp değerleri Kayıp Matrisi(Loss Matrix) adı verilen bir matrisin içinde tutulur. Kayıp Matrisi aşağıdaki gibi gösterilir.

Matrisin esas köşegeni(diyagonal) üzerinde bulunan elemanların değeri 0'dır. Örneğin 1. satır 1. sütun elamanını ele alırsak, bu eleman w1 sınıfındaki bir x elemanın w1 sınıfına atandığı zaman hatanın önem derecesini gösterir. Fakat w1 sınıfına ait elemanın w1 sınıfına atanmasıyla herhangi bir hata yapmış olmayız. Bu yüzden değeri 0'dır.
Eğer c kadar sınıfımız var ise, x vektörünün ait olduğu sınıfın wi olduğunu iddia ediyorsak wi sınıfı seçildiğinde oluşacak beklenen kayıp değerini(Expected Loss) bulmamız gerekir. Beklenen kayıp değerine ise Risk denir.

Yukarıda gördüğünüz eşitlikte wi sınıfı için risk değeri hesapladık. Başka bir deyişle yukarıdaki denklem x vektörünün wi sınıfına ait olduğuna karar verirsem bu kararın ne kadar riskli olduğunu gösterir. Sınıflandırma işlemi ise c adet sınıfın her birinin risk değeri hesaplandıktan sonra x vektörünü en az riske sahip olan sınıfa atayarak yapılır.
Yukarıdaki risk fomülünün daha iyi anlaşılması için elimizde x vektörü olsun ve atanabilecek.

(1) denkleminde x vektörünün w1 sınıfına atanmasıyla oluşan riski, (2) denkleminde x vektörünün w2 sınıfına atanmasıyla oluşan riski göstermektedir. Bu risk değerlerinden hangisi daha az çıkarsa x vektörü o sınıfa atanır.
Minimum Risk ile Sınıflandırma’yı Bayes Karar Teorisi’nin gelişmiş versiyonu olarak düşünebilirsiniz. Klasik Bayes Sınıfladırıcısı’ndan daha optimum performans sergiler.
Sonuç
Bu makale Bayes Sınıflandırıcısının Genelleştirilmesi makalesinin devamı niteliğindedir. Bu yazıyı bitirirken aynı zamanda Bayes Sınıflandırıcısının eksik bazı yönlerinide tamamlamış olduk.
Kaynakça
Richard O. Duda, Peter E. Hart, David G. Stork, Pattern Classification (2nd Edition). Wiley-Interscience, New York, USA 2000
Sergios Theodoridis, Konstantinos Koutroumbas, Pattern Recognition, Fourth Edition4th Academic Press, Inc. Orlando, FL, USA 2008

