Visualización de la Función Zeta de Riemann y su extensión analítica
Este articulo es una traducción al Español e interpretación del vídeo en Inglés de 3Blue1Brown: “Visualizing the Riemann zeta function and analytic continuation”. El motivo detrás de la traducción es ayudar a difundir ese excelente contenido a la audiencia de habla hispana. Más específicamente, este tutorial está dedicado a mi suegro, porque llevamos una semana atormentando a la familia con nuestras conversaciones.
La Función Zeta de Riemann es uno de los objetos de las matemáticas modernas que, a pesar de ser ampliamente difundido, puede ser realmente difícil de entender.
Muchas personas conocen esta función porque existe un premio de un millón de dólares para cualquiera que averigüe bajo qué circunstancias esta es igual a cero. La solución a ese planteamiento sigue siendo un problema abierto que recibe el nombre de La Hipótesis de Riemann. Algunas personas también han escuchado sobre esta función en el contexto de que la suma divergente 1+2+3+4… es igual a -1/12, lo cual parece carecer de sentido, o estar completamente equivocado. Este resultado absurdo y otros muchos resultados polémicos se consiguen mediante “Extensión Analítica”, es decir, usar valores complejos para extender sus resultados posibles. En este articulo nos enfocaremos en mostrar cómo se ven algunas descripciones gráficas de esta función, además de explicar la idea detrás del proceso de extensión analítica de forma visual e intuitiva.
Para comprender este contenido, asumiremos que se conoce previamente sobre:
- Qué son los números complejos.
- Cómo se trabaja con los números complejos.
- Derivadas (opcional).
Empecemos por definir que la Función Zeta de Riemann es, para cualquier valor de s en ζ(s), lo siguiente:
Para observar un ejemplo, digamos que s tiene un valor de dos. Tendríamos que la función zeta sería la suma de 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 hasta infinito. A medida que añadimos términos, el valor que sumamos es varias veces más pequeño que el anterior, por lo cual la sumatoria converge en un número. En este caso se aproxima a π²/6 — al rededor de 1.645:
Podemos hacer lo mismo para otros valores de s, por ejemplo:
El comportamiento de esta función parece ser bastante razonable. Sumas de infinitas fracciones que cada vez son más pequeñas hasta que eventualmente dejan de hacer cambios significativos en el valor final. ¿Entonces cómo es que hay quienes dicen que ζ(-1) es igual al infame -1/12? Si vemos esto como una suma de fracciones, no tiene sentido. Cuando elevas cada denominador a -1, cada fracción se voltea, de modo que obtenemos una suma de valores positivos:
Obviamente no tiene ninguna aproximación, y de tenerla, no puede ser -1/12.
Además de eso, cuando procedemos a investigar sobre la función Zeta de Riemann, conseguimos que — se supone — que la misma resulta en cero de formas triviales cuando s es igual a cualquier número par negativo (ζ(-2n)=0), lo cual tampoco parece tener sentido. Por ejemplo, si tomamos en cuenta ζ(-2), el resultado debería ser positivo e infinitamente lejos de cero:
Resulta ser que la función Zeta no converge en valores menores o iguales a 1, así que vamos a ignorarlos por el momento. Sigamos entonces trabajando sólo con s mientras sea mayor que 1, y digamos simplemente que la función no está definida para otros valores.
Bernard Riemann, además de ser famoso por la función Zeta, fue el padre del análisis complejo, es decir, el estudio de funciones que trabajan con números complejos y resultan en números complejos. Su enfoque principal sobre la función Zeta fue entender los resultados posibles cuando los valores de entrada tuviesen una parte real y una parte imaginaria. Por ejemplo, en vez de decir que s=2, ¿qué pasaría si s=2+i?
Si nunca has tenido que elevar un número a la potencia de un valor complejo, puede resultarte sumamente extraño, debido a que ya no se puede multiplicar la base por si misma tantas veces diga el exponente. Pero los matemáticos encontraron una manera muy natural de extender la definición de exponentes más allá del territorio familiar de números reales al reino de los valores complejos. La idea consiste en que, al elevar un número a un valor complejo, se divide el cálculo en dos partes: una con la base elevada al valor real, y otra con la base elevada al valor complejo.
La mitad real es fácil de entender, pero ¿Qué pasa cuando elevas algo a un número puramente imaginario? El resultado va a ser algún número complejo dentro del círculo unitario:
El valor resultante va recorriendo la circunferencia más rápido a medida de que la base está más lejos de 1. Por ende una base de 1/9 recorre el círculo más rápido que una base de 1/2. Podemos comprender por qué esto ocurre examinando los siguientes enlaces:
- Understanding e to the pi i, el primer video publicado por 3Blue1Brown.
- e to the pi for dummies, por Mathologer.
De aquí en adelante, avanzaremos con el qué, sin el cómo.
El asunto con elevar una base como 1/2 al exponente 2+i, es que mientras parte real (1/2)² va a estar en la recta horizontal con un valor de 0.25, la parte imaginaria (1/2)ⁱ va a estar en el círculo unitario con un valor absoluto de |1|. Su efecto es simplemente la rotación de la parte real en el plano imaginario.
Con esa información, podemos pensar en una forma de trabajar con la función Z para valores complejos, entendiendo que la parte real de la expresión converge, y que la parte imaginaria rota cada uno de los valores en el plano imaginario. Por ejemplo, para ζ(2+i), la parte real sería ζ(2):
En cambio, para considerar la parte imaginaria de la suma, cada segmento de la recta deberá rotarse según la posición del resultado en el círculo unitario. El largo de estos segmentos no cambia, por lo que la suma seguirá convergiendo, sólo que lo hará formando una espiral en el plano imaginario.
A continuación, algunas representaciones de distintos valores complejos de la función Zeta:
Es importante notar que cualquier valor complejo mayor a uno es capaz de converger. Esto es, de nuevo, por el hecho de que la parte real sólo expresa un valor real positivo, y la parte imaginaria simplemente lo hace rotar en cierto grado. Intentemos ahora visualizar esta función para todos los valores positivos por encima de uno.
Una manera genial con la que se pueden entender las funciones complejas se consigue si las visualizamos como transformaciones, es decir, si buscamos todos los valores de entrada de la función y los trasladamos hacia sus valores resultantes. Para comprender mejor esta forma de hacer transformaciones, vamos a utilizar un ejemplo más sencillo primero.
Si tenemos una función f(s)=s², cualquier valor natural será expandido sobre si mismo, lo que efectivamente estirará el plano horizontalmente. En cambio, si utilizamos un valor complejo, el resultado contendrá rotaciones. Por ejemplo, si utilizamos el valor en el plano imaginario de i, el resultado de la función será i²=-1, rotando el punto contra las aguas del reloj. Con la finalidad de observar este fenómeno, hemos agregado líneas de colores que dividen el plano de dos dimensiones que observamos, y que al representar las transformaciones de más puntos, nos ayudarán a ver los cambios en toda el área observable.
En caso de que la visualización sea complicada de entender, trata de enfocarte en los puntos amarillos que están antes de hacer la transformación, y observa dónde terminan.
Ahora, intentemos llevar esa visualización a la función Zeta. Vamos a tomar en cuenta sólo el área de números naturales y complejos por encima del 1 natural, y agregaremos aún más divisiones al plano hacia los ejes de coordenadas para poder ver mejor el cambio que ocurre con esos puntos:
Antes que nada, permitámonos apreciar cuán hermosa es la gráfica resultante. Es decir, ¡WOW! Si eso no te hace querer aprender más sobre funciones complejas, no tienes corazón.
En otro punto de vista, ¿Esta visualización no parece estar pidiendo ser extendida hacia la izquierda? Para dar un ejemplo, hemos colocado dos líneas amarillas en el plano original, señalando los valores para i y -i. Después de la transformación, estas dos líneas hacen un par de arcos hermosos y se detienen. ¿No deberíamos, quizás, continuar estos arcos? De hecho, podríamos imaginar entonces una versión alterada de la función cuyo dominio se extendiese hasta la izquierda del plano, de modo que completase la figura que aparece. Esto es exactamente lo que los matemáticos trabajando en funciones complejas han estado haciendo. Ellos continúan la función más allá del dominio original en donde fue definida.
Ahora, ya al empezar a utilizar términos iguales o menores a uno, la suma infinita que define la función deja de tener sentido. Obtenemos cosas absurdas, como tratar de sumar uno, mas dos, mas tres, mas cuatro, mas cada uno de los números subsiguientes infinitamente. El gráfico que logramos hacer con las transformaciones de los valores que sí tienen sentido pareciera indicar que existe una mitad a la izquierda. Entonces, ¿habrá alguna forma de definir Zeta de modo que podamos obtener el resto de los valores?
Cuando extendemos la definición de Zeta, podríamos modificarla de cualquier manera. Podríamos definirla para que nos diese un valor específico al utilizar valores de entrada negativos, pero de la misma manera podíamos hacer que esta convergiera para cualquier punto que quisiéramos.
Sin embargo, si restringimos estas alteraciones para buscar un resultado que pueda ser derivable en cualquier punto, obtendríamos únicamente una solución. Analicemos esta posibilidad utilizando geometría para un ejemplo más simple. Para la función f(s)=s², si dibujamos dos rectas cualquiera, que se interceden en un plano cartesiano de dos dimensiones (por ejemplo, x y la dimensión imaginaria), los ángulo que separarán ambas líneas se mantendrán iguales aún cuando transformamos toda la matriz en base al la función exponencial:
Esta regla aplica para cualquier punto dentro del dominio de f(s). De modo que, cuando decimos que una transformación de una función posee una derivada en todos sus puntos, podemos corroborar esto si vemos que todos esos ángulos se preservan. Para dos líneas cualquiera dentro del plano original, el ángulo en la intersección que hay entre ellas debe mantenerse después de hacer las transformaciones. Esto va a ser más fácil de apreciar si observamos como todas las curvas finales, que resultan de las líneas rectas originales, preservan un ángulo recto (90°):
Las funciones complejas cuyos resultados tienen derivadas en todos sus puntos son llamadas “Analíticas”. Es decir, que preservan todos sus ángulos. En estas funciones hay una excepción a la regla: Para los valores de entrada cuya derivada de la función sea cero, el ángulo original no se preserva, sino que es multiplicado por un valor específico.
A pesar de que esta propiedad puede parecer bastante restrictiva, la gran mayoría de las funciones documentadas en el campo de las matemáticas resultan ser analíticas, incluyendo eˣ, sin(x), cualquier polinomio, log(x), entre otros. El campo de las funciones complejas (que Riemann ayudó a fundar) tuvo su origen prácticamente en analizar la extensión de funciones en base a esta regla de derivadas, para buscar patrones con respecto a otras ramas de matemáticas y ciencias en general.
La función Zeta, definida por la suma infinita de fracciones que convergen para valores de s mayores a 1, es también una función analítica. Podemos observar como todas las curvas obtenidas a partir de las rectas originales del plano igual mantienen sus ángulos de 90°:
La sorpresa está en que si queremos extender el dominio de esta función más allá de su definición original, existe solo una forma de hacerlo que logre preservar todos sus ángulos (de modo que siga siendo una función analítica). Es más o menos como un rompecabezas continuo e infinito, donde tratamos de extender la función, pero buscamos mantener sus propiedades analíticas. Este proceso se llama: extensión analítica.
Es así como continuamos el dominio de la función Zeta de Riemann. Para valores positivos por encima de uno, simplemente realizamos la suma hasta su punto de convergencia y tomamos en cuenta la inclinación que nos proporcionan los valores imaginarios, como lo hicimos antes. Para valores iguales o menores a 1, sabemos que existe una y solamente una única forma de extender esta definición de manera que sus resultados sigan siendo analíticos. Diremos entonces que por definición, los resultados de la función Zeta para el dominio donde no parece converger, es más bien lo que sea que su extensión analítica indique. Esta limitación es sencilla de asumir, pero no es realmente fácil de conseguir. Los matemáticos tienen una idea bastante acertada de cómo esta función debe ser definida (ver imagen a continuación), pero algunos de sus resultados siguen siendo un misterio, de hecho, un misterio de un millón de dólares.
Parte de los misterios que esta extensión analítica esconde, consisten en conseguir bajo qué circunstancias esta resulta ser cero para valores reales menores o iguales a 1. Se sabe que cuando se usan números pares negativos en el plano real, esta extensión da cero. A estos ceros se les llaman “ceros triviales”. En este caso, triviales no porque sean obvios a simple vista, sino porque el comportamiento de estos resultados es bastante bien entendido por los matemáticos. También sabemos que el resto de los puntos que resultan en cero deben estar entre cero y uno, en una franja llamada: franja crítica. La ubicación de estos ceros “no triviales” esconde información sorprendente sobre los números primos. De hecho, es muy interesante el por qué esta función tiene tanta información sobre números primos, pero esto lo analizaremos en otro momento.
Bernard Riemann tuvo la hipótesis de que todos los ceros no triviales de la función Zeta se ubicarían exactamente en el centro de esta franja crítica — es decir para todos los números de s cuya parte real fuese 1/2. Esta línea es llamada: la línea crítica. Si esto llegase a ser cierto, la ubicación de estos ceros podría darnos una aproximación bastante exacta sobre la ubicación de todos los números primos, así como muchos otros patrones que en matemática podían concluírse a partir de esta deducción.
Cuando hemos analizado cómo se observa la función Zeta, nos hemos limitado a lo que aparece de ella en pantalla. Esto es quizás una forma de apreciar cuan compleja es en si misma. Sin embargo, si resaltáramos solo la línea crítica de esta función, en la representación que hemos realizado hasta ahora, no pareciese ser que ella converge en cero, hasta que tomamos en cuenta valores mayores a los que podíamos ubicar originalmente en pantalla. A continuación podemos ver cómo se vería esta transformación para más y más valores de la línea crítica:
Nótese como esta línea pasa tantas veces por el valor cero. Si llegases a comprobar que todos ceros no triviales de la extensión analítica de la función zeta están de hecho en esta línea crítica, te ganarías un millón de dólares, y además comprobarías muchísimas otras hipótesis matemáticas.
Otra cosa importante que notar de esta extensión analítica, es que hace que el resultado de la función Zeta para el valor real -1 es -1/12. Si utilizas el valor real -1 en la función original de Zeta, pareciera que estuviésemos sumando 1+2+3+4… hasta infinito. Ahora, si nos permitimos escapar del concepto de la suma, para observar la extensión analítica de esta misma en el reino de los números imaginarios, donde sólo tomamos en cuenta el valor posible que preserve los ángulos que el plano original ofrecía en relación a todos sus puntos, entonces el valor resulta ser -1/12.
¡Hola de nuevo! Este artículo fue un intento personal de traducir un video hermoso de 3Blue1Brown para que pudiese ser apreciado por la comunidad de habla hispana. Como comenté en el prefacio, está dedicado a mi suegro. Desde hace como una semana, he estado hablando con él sobre cómo existen formas de interpretar sumas infinitas cuyas aproximaciones desafían cualquier comprensión lógica. Todo empezó por la proposición de que la suma de los números naturales resulta en -1/12, específicamente por vídeos como éste que publicó Numberphile. A pesar de que llevamos más o menos una semana con conversaciones esporádicas acerca de esto, el tema sigue surgiendo de vez en cuando. Hace unos días nos divertimos específicamente buscando aproximaciones para Z(1) con miles, millones y miles de millones de términos, lo que nos permitió ver cómo — a pesar de que los valores eran cada vez más y más pequeños — esta serie (llamada serie harmonica) seguía creciendo y nunca terminaba de converger.
Para este artículo, utilicé QuickTime Player para hacer capturas de mi pantalla mientras el vídeo de 3Blue1Brown se reproducía, y el siguiente comando para convertir el video exportado en .mov a .gif:
ffmpeg -i screenRecord.mov -s 600x400 -pix_fmt rgb24 -r 10 -f gif -| gifsicle -optimize=2 - delay=6 > screenRecord.gif
Además, utilicé este editor de LaTeX para obtener imágenes de distintas fórmulas: https://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php
¡Gracias por el tiempo que me han dedicado! Siéntanse libres de comentar ♥︎
Muchas gracias a José Reyna, Alejandro Alvarez, Pauli Tachinamo y al cuervo mecánico por sus comentarios previos a la publicación de este artículo. Gracias también a Grant Sanderson (@3Blue1Brown) por sus excelentes videos.
