Ein kurzes Gedicht über Mathematik
In einer vergangenen MaPhy-Übung fragte ich einmal meinen Tutor, ob es auch okay wäre manche Beweise in Textform abzugeben.
Mir selbst erscheinen manche Zusammenhänge nämlich oft logisch und ich könnte sie auch wörtlich erklären, nur weiß ich nicht immer sofort, wie ich das am besten mathematisch formulieren soll. Das ist es natürlich, was wir unter anderen in MaPhy lernen sollen, aber ich habe damit teilweise immer noch meine Schwierigkeiten.
Kommen wir zurück zur Übung. Mein Tutor antwortete auf meine Frage eher scherzhaft mit “Ja klar — wenn das Versmaß stimmt.”
Das habe ich als Heraus- und Aufforderung verstanden und doch gleich beim nächsten Übungszettel eine Aufgabe in Gedichtform gelöst.
Die Aufgabe war:
1. Sei Ω ⊆ R^n ein Gebiet, und f ∈ C 1 (Ω). Zeigen Sie: ∇f = 0 überall in Ω ⇔ f ist eine
konstante Funktion.
2. Seien Ω 1 , Ω 2 zwei Gebiete mit Ω 1 ∩ Ω 2 = ∅. Sei f ∈ C 1 (Ω 1 ∪ Ω 2 ) und ∇f = 0. Was können
Sie über f sagen?
Eine kurze Erläuterung der Aufgabe:
Im ersten Teil soll ich zeigen, dass irgendeine Funktion f konstant ist, wenn die Ableitung (hier als ∇f geschrieben) Null wird.
Voraussetzungen: f muss stetig (man könnte sagen, durch eine durchgezogene Linie darstellbar, ohne Knicke oder Löcher) und ableitbar sein (, was hier mit f ∈ C 1 (Ω)) gekennzeichnet ist. Dieses Ω ist ein Gebiet, auf dem f definiert ist. Zum Beispiel eine zusammenhängende Fläche, oder ein Raum, oder etwas ganz Abstraktes in 37 Dimensionen. Es geht hier darum zu zeigen, dass diese Eigenschaft gilt, egal wie f aussieht und in welcher Dimension wir uns bewegen.
Im zweiten Teil ist f auf zwei unterschiedlichen Gebieten definiert, die sich nicht schneiden (Ω 1 ∩ Ω 2 = ∅.) Jetzt soll untersucht werden, wie diese Funktion unter sonst gleichen Bedingungen aussieht.
Den ersten Teil der Aufgabe habe ich noch mathematisch korrekt aufgeschrieben, aber bei dem zweiten Teil kitzelte es dann in meinen Fingern.
Das ist meine Lösung:
Zu unseren MaPhy Aufgaben
Werde ich immer Fragen haben.
Heute soll ich mich z.B. fragen:
“Was kann man über f wohl sagen?”
f ist stetig, da C1 gegeben,
Definiert auf Ω1, und Ω2 daneben,
Und wenn wir sie verweben
Wird’s die leere Menge ergeben.
Nun haben wir in 1.1 schon gezeigt,
Dass für Δf=0 die Funktion niemals steigt,
noch sich je ‘nem and’ren Wert zuneigt,
f konstant ist - (gegebenenfalls) bis in die Unendlichkeit.
Demnach haben wir auch hier ‘ne Konstante,
Sogar bis zu 2, das ist das Interessante.
Für beide Ωs selber Wert; die eine Variante,
oder je eine, also zwei, in R beliebig benannte.
Das Ganze funktioniert,
da f nur auf Ω1,Ω2 definiert
und da der Rest uns nicht interessiert,
f auch immer stetig wird.
…Ich habe volle Punktzahl (und einen Smiley) auf diese Aufgabe bekommen :-)
