Zettelrechnerei: Ein Beispiel

Im Physikstudium rechne ich zwangsläufig viele Übungszettel. Solche Übungszettel sind meiner Meinung nach sehr sinnvoll. Sie helfen mir dabei, die Vorlesungsinhalte besser zu verstehen. Wenn ich die Zettel gut verstehe und Großteile selber rechne, bin ich gut vorbereitet für die Klausuren. Die Übungszettel sind aber nicht nur eine gute Möglichkeit, um zu üben, die gesammelten Punkte auf den Zetteln sind auch relevant für die Klausurzulassung.

Generell bearbeite ich Zettel immer in Gruppen. Trotzdem komme ich nicht dazu jede Aufgabe zu rechnen, was allerdings auch nicht erwartet wird. Die Übungen zu den Vorlesungen sind dann dafür gemacht, die Aufgaben, die man nicht verstanden hat, nochmal in Ruhe durchzugehen und gegebenenfalls Fragen zu stellen. Für jede Vorlesung wird in der Regel pro Woche ein Zettel bearbeitet.

Ich möchte Euch heute eine Beispielaufgabe aus Rechenmethoden (RM) vorstellen. Ziel dieses Artikels ist nicht, dass ich Euch erkläre, wie die Aufgabe funktioniert beziehungsweise, dass Ihr sie versteht. Ziel ist es, Euch eine Vorstellung zu geben, wie solche Aufgaben aussehen können.

Die Inhalte der RM-Vorlesung waren für mich, im 1. Semester, am leichtesten zu verstehen. RM ist quasi die Lehre der Rechentricks bzw. Werkzeuge und Rechnungen, die wirklich grundlegend sind. Ich fand es sinnvoll, am Ende des Semesters eine Übersicht über derartige Tricks zu verfassen, was tatsächlich auch noch im nächsten Semester hilfreich sein kann, da ähnliche Aufgabenstellungen immer wieder auftauchen.

Ich möchte Euch heute auch den Rahmen, in dem solche Werkzeuge auftauchen, vorstellen. Ich habe mir eine Aufgabe zu Determinanten von Matrizen ausgesucht. Motivation dazu ist, dass in der Physik viel mit Matrizen gerechnet wird. Beispielsweise seien Transformationsmatrizen genannt, die benötigt werden, um z.B. einen kartesischen Vektor (x,y,z) in ein anderes Bezugssystem zu transformieren. Transformationen sind wichtig, da physikalische Probleme mit Transformationen oft wesentlich leichter beschrieben und berechnet werden können. Eine Determinante zu einer Matrix ist naiv ausgedrückt nichts anderes als eine Zahl, die verschiedene Aussagen über die Matrix machen kann, z.B. ob eine Matrix invertierbar ist. Eine inverse Matrix verhält sich zu einer Matrix ungefähr so, wie eine Umkehrfunktion, zu ihrer Funktion.

Ob Ihr nachvollziehen könnt, was ich da gerechnet habe, ist meiner Meinung nach nicht für die Eignung für das Physikstudium aussagekräftig. Ich wusste auch nicht, was eine Matrix ist, bevor ich angefangen habe, zu studieren.

Also frisch ans Werk:

Die Aufgabenstellung. Quelle: Rechenmethoden-Vorlesung WiSe 2016/17 , Dr. Alexander Tiegel, Prof. Dr. Stefan Kehrein

In Aufgabe a) wird verlangt, dass man die Determinanten der drei gegebenen Matrizen berechnen soll. Die Aufgabe bearbeite ich wie folgt:

  1. Schritt — ”Input”: Wie kann ich die Determinante berechnen? Ich durchsuche mein Vorlesungsskript, um mögliche Lösungsansätze zu finden.
  2. Schritt — ”Output”: Im Skript finde ich die Regel von Sarrus, mit der ich die gegebenen Matrizen leicht berechnen kann.
  3. Schritt — Rechnen: Für die erste Matrix berechne ich die Determinante wie folgt: Ich nehme das Produkt der Diagonale 4*-1 und subtrahiere davon die andere Diagonale 2*2. Die Determinante berechnet sich also det(A)= 4*(-1)-2*2=-8.
  4. Schritt — Folgerung: Ich kann aus der Determinante Folgerungen, über die Matrix machen, wie ich bereits oben beschrieben habe. Zum Beispiel ist die Determinante ungleich 0 und damit ist sie invertierbar.

Derartige Werkzeuge können aus dem Vorlesungskript stammen, ganz einfach im Internet gesucht werden oder ich erfrage sie bei Freunden, die die Aufgabe bereits gelöst haben. Regeln, wie die Regel von Sarrus, habe ich mit der Zeit automatisch abgespeichert, da sie immer wieder gebraucht werden.

Die Berechnungen der anderen beiden Matrizen könnt Ihr Euch hier anschauen:

Aufgabenteil a)

Die Determinante der ersten Matrix ist gleich 0. Ich kann deshalb folgern, dass die Matrix nicht invertierbar ist. Dementsprechend ist die Determinante der zweiten Matrix ungleich 0 und invertierbar.

Im Prinzip habe ich Aufgabenteil b) wie a) bearbeitet. Hier ist es wichtig zu wissen, dass eine Diagonalmatrix nur eine Diagonale hat, auf der sich Einträge befinden. Alle anderen Einträge sind gleich 0. Die Regel von Sarrus vereinfacht sich dann zum Produkt der Diagonaleinträge. Beispielsweise seien die Diagonaleinträge 3,4 und 7, dann würde sich die Determinante dieser Diagonalmatrix zu det(A)=3*4*7=84 berechnen.

Bei c) seht Ihr etwas, was ich im ersten Semester oft gebraucht habe: Die Invertierung einer Matrix. Invertierungen sind wichtig, um zum Beispiel gekoppelte Differentialgleichungssysteme zu lösen.

b) und c)
Aufgabe d) — e)

Auf die Aufgabenteile d) und e) werde ich in diesem Artikel nicht eingehen.

Ihr seht, solch eine Übungsaufgabe ist kein Hexenwerk. Rechenmethoden ist die Vorlesung, die meiner Ansicht nach Matheunterricht aus der Schule von der Schwierigkeit der Vorlesungsinhalte her am nächsten kommt. Ich hoffe, Ihr habt nun eine Vorstellung, wie ein solcher Zettel konzipiert sein kann.

Bis Bald, Aaron

P.S.: Meine Übungszettel sind nicht so ordentlich verfasst, wie ich sie hier präsentiert habe.


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