最自戀的乘方開方數字團體 — 位數根的快樂夥伴（二）
今天來聊聊位數根的第二位快樂夥伴，數字的自戀組合團體 — 乘方開方表的故事。為什麼說乘方開方表是數字的自戀組合團體呢？平方是自己乘上自己自戀二次方（powers of 2），立方是自己乘自己再乘自己（powers of 3），總共要乘三次難道還不夠自戀嗎？
很早以前，有一天一個就讀國中二年級的少年在無聊的早自習差點打起瞌睡，心血來潮向老師借了一本數學課本，後面的附錄有著一個密密麻麻的表格，裡頭寫著數字 1, 2, 3, …, 100，還有他們的平方數 1, 4, 9,…,10000 與立方數 1, 8, 27, …, 1000000。大概是長這個樣子：
表 1：沒有開方的乘方開方表（節錄）
這位少年不知道怎麼回事，動手計算了 N 2那一欄數字的位數根，看到 25 就直覺地把 2 加上 5 得到 7。不算不知道，一算就驚為天人（？）他驚奇地發現新的位數根數列有規律，不斷重複 1, 4, 9, 7, 7, 9, 4, 1, 9 這 9 個數字，一直到 100 都遵循著如此的規律，就像是一串咒語逃不出位數根的手掌心。
那 N 3的位數根會不會也有規律？這次重複的是三個數字 1,8,9。那接下來的四次方、五次方一直到 n 次方（powers of n），也會有規律吧！？有了這麼多 powers 和咒語，可以召喚金剛戰士（Go Go Power Rangers！）的好朋友智多星來解惑嗎？雖然智多星是個遇到事件會呀呀叫的機器人，可現在的機器可以幫忙做很多事情，計算數字這種瑣碎的事情就交給計算機了。
發現這件事之後少年異常興奮睡意完全消失，所以他回到家以後馬上用電腦打開試算表軟體，先把 N 的更高次方 N^4, N^5, …, N^K全部的值都列出來，拿起計算機一個數字、一個數字地加求取位數根，直到試算表都出現了科學符號還停不下來。
這精神相當可敬但方法太傻了，還記得位數根的第一位快樂夥伴 費波那契數列和他的兔子嗎？我們可以使用試算表的公式自動計算位數根，這裡也幫大家建立好了 線上表格 ，點進去先觀察一下再回來讀文章，數學的樂趣源自於觀察。
藉由電腦輔助發現的規律如下表，D(N) 表示自然數 N 的位數根，K 表示非負整數，也就是從 0 開始的整數。
表 2：自然數 N 在不同次方數的位數根
為什麼表 2 裡頭 D(N^6K+2) 的 2 次方前面要加一個 6K 呢？首先藉由現代智多星電腦的幫忙，在剛剛的 線上表格發現了一件事情，N^8和 N^2的位數根 D(N^8) 和 D(N^2)這兩欄的數字是一樣的，而 N^9和 N^3的位數根 D(N 9)和 D(N^3)也是一樣的，以此類推，也就是說位數根的次方從 D(N^8)開始就會重複。
首先，來探討 D(N) = 1 到 9 這九個數字隨著次方增加的變化：
D(N) = 1 那一列的數字都是 1，所以每 1 個次方皆重複一次；
D(N) = 2 那一列的的循環數字是 4,8,7,5,1,2，每 6 個次方重複一次；
…
其他數字以此類推可以產生下面這個表格，描述 D(N)= 1 到 9 時，其次方數的規律是每幾個次方重複一次：
同樣為了方便討論以及適當地呈現表格，取 6 （也就是 1, 2, 3, 6 的最小公倍數）做為次方數的規律個數。所以在表 2 第一列每一個次方前面要加一個 6K，表示每 6 個次方數一循環。
知道 6K 是怎麼來的以後，緊接著來探討一下是幾個數字一循環。除了 D(N^2)那一欄是 9 個數字一循環，D(N^4)、D(N^5)、D(N^7)也同樣是 9 個數字一循環；而 D(N^3) 和 D(N^6) 都是 3 個數字（1, 8, 9 和 1, 1, 9）即重複。同樣為了便於討論，在此使用 9 和 3 的最小公倍數 9，也就是 9 個數字一循環來表示。
為什麼表 2 是從 D(N 6K+2)開始，為什麼不是從 D(N 6K+1) 開始？還有為什麼這個表格沒有出現 3 和 6 這兩個數字？
第一個問題是大家有發現到表 2 的 D(N) 和 D(N 6K+7)的數字組成蠻像的嗎，9 個數字裡面有 7 個數字是一樣的，相似度高達 78 %，只有在 D(N) = 3 和 D(N) = 6 的時候數字不同。3 和 6 的平方都是 9 的倍數，所以 D(N) = 3 和 D(N) = 6 除了本身的一次方之後，平方之後的項都會是 9 的倍數，位數根也必為 9，自然而然在表 2 裡頭除了 D(N) 這一欄之外不會出現 3 和 6 這兩個數字。為了描述的一致性因此自然數 N 在不同次方數的位數根是從 D(N 6K+2)開始。
原本只是一個國中課本必備的通常也沒人去翻閱的乘方開方表，竟然隱含了數字甚至次方的規律，一直到宇宙的盡頭也不會停止。發現數學規律感覺到的快樂，就像是發現控制籃板球的人就能控制整場比賽，那樣使人嘴角上揚。
p.s. 想要嘗試嚴謹證明位數根的加法律、乘法律、指數律的讀者，可以嘗試從這個地方開始思考。對任意自然數 X，X = 9K + D(X)。K 為非負整數，D(X) 為 X 的位數根。
生命靈數能代表宇宙的秩序？
看完上面的故事，覺得那位少年很瘋狂嗎？偷偷告訴你一個祕密，他常常觀察路上的車牌在腦海中自動計算找規律。（那位少年究竟是不是作者本人呢？）
其實他不是特例，因為，人類對數字的狂熱就是沒有極限！狂熱的代表是生命靈數（Numerology）也被稱為數秘學，好人一生會平安或不安的生命歷程都號稱和生命靈數脫不了關係。等等，在數學科普文章裡面介紹謎樣的生命靈數這樣科學嗎！？
回答這問題之前，先告訴你們一件意外的事實，人們從古早時候就開始研究生命靈數並且樂此不疲，而畢達哥拉斯學派是發展最極致的一支，此學派源自希臘哲學家暨數學家畢達哥拉斯，畢氏定理的畢就是這個畢。
生命靈數家堅信每一個數字有自己的個性，可以利用數字更加瞭解自己以及世界，甚至預測未來趨勢。主要論點是人生和宇宙是一個有秩序的系統，而數字反映了其中的秩序，數字 1 至數字 9 各代表了不同的性格原型。因此發展了各種類型的生命靈數，像是以生日的年月日加總後的生命靈數，還有將英文姓名中的字母轉換成數字再進行加總的生命靈數。
相信大家都可以了解最常見的「生命靈數」就是把生日的每一個數字加起來，加到不能夠再加就是生命靈數，用數學的說法就是生日的位數根。例如說泛科學的生日是 2011 年 11 月 4 日，生日位數根是 1。
可是很多人的生日位數根也是 1 耶，這樣可以說他們和泛科學的某些特性是共通的，因此成為泛科學的粉絲嗎？那其他生日位數根的粉絲呢？顯然沒法只用生日位數根解釋。宇宙之中若有規則存在，也必然超越了幾個數字加總後得到新數字代表的狀態。
生命靈數之於數學，就像是占星術之於天文學，以及鍊金術之於化學[1]。所以生命靈數科不科學這件事和研究星座是類似的，大家對自己生命狀態感到不確定或混沌時，會特別容易自我投射到平常未曾留意的敘述之中。
對數字的狂熱，沒有極限
很多數學家、數學愛好者，或者顯然就是作者本人的那位少年，因為沉浸在自己的小世界，而且有時會莫名地嘴角上揚因而被稱為 geek；生命靈數愛好者對於探究命格或規律的興趣濃厚到發展出 Numerlogy 這門學問，並且認為數字能夠代表宇宙的秩序，看起來他們才是對數字最狂熱的一群人吧！
參考資料
- 數秘學，維基百科
原刊登於泛科學 https://pansci.asia/archives/111683
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