這個九九乘法表你小學沒背過！吠陀方形的千年奧秘
我們從小學二年級就開始學習九九乘法表，但是上大學以後大家就開始正大光明地使用計算機，九九乘法表和心算能力就只剩下買東西的時候算錢可以比較快，那小時候學心算到底要做什麼呢？沒法馬上回答只好先來轉移一下話題，九九乘法表其實沒有你想像的那麼簡單，裡面有著你不知道的數學奧秘，且讓我們繼續看下去。
算過生命靈數就懂的數學：位數根
不知道大家還記不記得，以前在檢查一個正整數是不是 3 或 9 的倍數，我們會將正整數的每個位數數字相加，看加總的數字是不是 3 或 9 的倍數來判斷。或者大家可能也算過號稱可解析命格的「生命靈數」，將自己的出生年月日中每個數字加總，超過 9 就再重覆這個計算過程，直到加到不能在加之後得出一個屬於自己的「生命靈數」。這樣的作法其實你已經運用了一個正整數的性質 — 「位數根」。
到底什麼是位數根？它可以叫做數根、數字根，英文是 digital root 或 digit sum，就是把一個正整數各個位數的數字加總，若其和大於 9，則再將所得數的數字再加總一次，如此反覆這個步驟直到所得新數介於 1 至 9之間，稱此新數為原數的位數根。在此 D (n) 表示整數 n 的位數根，例如：9527 的位數根運算為 D (9527) = D (9+5+2+7) = D (23) = D (2+3) = D (5) = 5，5 即為 9527 的位數根。
如果用位數根來看九九乘法表…
講了這麼多，數學奧秘到底在哪？先來看一下下圖的九九乘法表吧！不過，這個表和我們小時候背的不太一樣，它是一個 9×9 的表格，裡頭的數字是上方第一列的數字與左方第一欄的數字相乘的結果。
如果把這個九九乘法表的每一個數字都進行位數根運算，會出現什麼樣的結果？你可以自己試試看，也可以直接看圖 2 的結果。
經過位數根運算後，九九乘法表就轉換成了著名的「吠陀方形」（Vedic square）。Vedic 這個英文字是從印度文 Vedas 來的，中文翻譯的「吠陀」常讓人聯想到精油或瑜珈，但在古印度文中它的意思是知識，所以可以把吠陀方形想像成是一個帶有知識的正方形。嗯？怎麼聽起來很像《平面國》這本書的故事情節呢 [1]。
《平面國》的主角是一位活在平面國的正方形男性，在一個偶然的機會下，一位「球體天使」帶他「向上」離開了平面國並遊歷了立體國，使得他成為最具知識的一號人物。回到平面國以後，主角迫不及待地想告訴大家「向上，而非向北」的體驗與真理，但先知總是孤獨的，平面國的人民會相信一個自稱掌握立體知識的正方形嗎？
吠陀方形可能早在佛陀之前就出現了
話說吠陀方形被發現的確切年代已經不可考，只知道數個世紀之前北印度的人們就已充分了解吠陀方形的性質，屬於古印度數學 [2]。古印度歷史有段時間叫做吠陀時期（Vedic period），大約是西元前 1500 年至西元前 500 年。如果說吠陀方形是在吠陀時期被發現的，那就是佛陀的年代甚至更早以前，真的很深很遠很古典哎。
吠陀方形後來也影響了伊斯蘭文化，西元 770 年時穆斯林將吠陀方形併入他們的數學知識體系中。事實上早期伊斯蘭文化的數學知識是比西方還要先進的，而且當時無論在技術與哲學上都非常強盛。伊斯蘭世界的數學到底有多厲害呢，可以從傳統伊斯蘭幾何圖樣（Islamic pattern）的藝術性裝飾看見，例如西班牙的阿罕布拉宮。由於可蘭經禁止具象化的偶像崇拜，因此伊斯蘭藝術中並沒有描繪人或是動物的圖畫，而是運用大量對稱且看似繁複的幾何圖樣，這些圖樣有專文與專書探討 [3,4]。
吠陀方形中藏著秘密圖形
吠陀方形與位數根胚騰（digital root patterns）密不可分，胚騰又是個什麼東西？胚騰就是 pattern，可以代表圖樣、規律、模式，甚至是一切有跡可循的事物 [5]。而數學是一種胚騰的科學（the science of pattern），尤其是在現今資料科學蓬勃發展的時代尋找胚騰與關聯更是重要無比，單單數字計算並不是數學。從未知中探究與發現規律與胚騰，是數學研究中最讓人目眩神迷的地方，位數根的研究與發現正屬於這類的驚奇。
講了這些少為人知的歷史和名詞以後讓我們再次回到圖 2，裡頭也有許多隱藏的圖樣，建議讀到這裡先暫停花幾分鐘觀察一下吠陀方形，避免破壞大家的樂趣。
好，剛剛提到的位數根胚騰呢？那是由位數根所在的位置組成的胚騰，意思是說，代數和幾何扯上關係了！
吠陀方形的行列數字組成與特定數字構成的胚騰，有著許多對稱性與互補性。位數根的分布也呈現有趣的幾何圖樣。下面的圖3中 D1 至 D9 分別為位數根 1 至 9 在吠陀方形中構成的圖樣 [6]，裡面的圖樣看起來有六邊形、長方形，還有多邊形等。
若是構成兩個圖樣的位數根總和為 9，這兩個圖樣將沿著鉛直線相互鏡射。像是數字 1 與數字 8 的位置構成的幾何圖案，是沿著鉛直線鏡射對稱的，或者是旋轉 90 度也可以得到。而數字 2 與數字 7、數字 3 與數字 6、數字 4 與數字 5 為另外三組以數字構成的對稱圖樣，由此可見數字 9 在位數根的世界中是個重要的數字，有發現一個整數加了 9 的倍數以後位數根不變嗎？數字 9 的胚騰比較特別，沒有和其他的數字構成互補圖樣自成一個世界，所以就暫時先不探討它。
仔細觀察一下會發現 D1 至 D8 這 8 個胚騰有兩條對稱軸，其中一條是 X=Y，另一條是 X+Y=9，他們的交點是 (4.5, 4.5)。裡面的點都會照著這兩條對稱軸相互對稱與鏡射，可以從代數上解釋，也可以直接看圖找規律。X=Y 這條對稱軸代表的意思是一個座標點 (X,Y) 的 X、Y 值可以互換變成 (Y, X)，其位數根不變，像是 (4,7) 和 (7,4) 的位數根都是 1。X+Y=9 這條對稱軸可以藉由 (X,Y) 這個點找到 (9-Y, 9-X) 這個點，也就是可以從 (4,7) 找到 (2,5) 這個點，如此一來就可以用少數的座標點找到其他點簡化問題。
沒想到小時候背的九九乘法表，居然藏著這麼多數學奧秘！數千年前的位數根胚騰和吠陀方形，讓世界為之瘋狂稱為 Magic。
參考資料
- 愛德溫．A．艾勃特， 平面國：向上，而非向北！ ，新北市：魔酒出版，2014
- Jones, L. “Mathematics and Islamic art”, Mathematics in School , 18(4), 32–35, 1989.
- 塞伊德．蔣．阿巴斯和阿默．夏克爾．薩爾曼， 伊斯蘭的幾何藝術 ，台北縣新店市：左岸文化，2004。
- Lu, P. J., Steinhardt, P. J. “Decagonal and Quasi-Crystalline Tilings in Medieval Islamic Architecture”, , 315(5815), 1106–1110, 2007.
- 曹亮吉，從生活學數學(第二版)，臺北市：遠見出版，2009。
- Lin, C. Y. Digital Root Patterns of Three-Dimensional Space. Recreational Mathematics Magazine, 3(5), 9–31, 2016.
