【統計 — 1】抽樣和中央極限定理
Published in
Sep 3, 2022
在統計的文章中，我們會複習統計的基礎概念，包含常見的名詞和定理。
母體和樣本
首先，讓我們先認識一些和統計推論有關的名詞：
和母體（Population）有關的
母體（Population）
- 我們有興趣的個體或觀察值的集合
- 通常用大寫的 N 來表示總數
母體參數（Population parameter）
- 未知，但我們感興趣、關於母體的數值（summary value）
- 例如，全部台灣人的平均身高
人口普查（Census）
- 詳盡地蒐集所有母體資料，並計算感興趣的數值
- 當總數越大，蒐集的成本也會越高
觀察值（Observation）
- 母體其中一個成員的數值（quantity）或質（quality）
和樣本（Sample）有關的
樣本（Sample）
- 母體的一個子集合
抽樣（Sampling）
- 由於在現實中要實作人口普查不太可行，因此通常都是用抽樣的方式，蒐集在母體之中的一些資料集合
- 通常用小寫的 n 以表示總數
和抽樣有關的三個特性：
- 有代表性的（representative）：若一組樣本是據有代表性的，意指這組樣本看起來像是母體，也就是能夠很好地代表母體特徵
- 泛化的（generalizable）：當一組樣本的結果是可以應用在母體上，我們稱其為可犯畫的
- 偏誤的（biased）或無偏誤的（unbiased）：若在母體中的某些個體，比起其他個體更容易被選中並納入樣本的話，我們稱此抽樣方法為有偏誤的（biased）。反之，若母體中的每一個個體被抽樣的機率是相等，則此抽樣方法為無偏誤的（unbiased）。
點估計（Point Estimate）
- 用樣本估算的數值，以推論、估計未知的母體參數
再來，介紹兩組容易被混淆的名詞。
點估計的抽樣分佈（sampling distribution of point estimates）v.s. 樣本分佈（a sample’s distribution）
抽樣分佈（sampling distribution）
- 所有點估計（point estimate）的分佈，每一個點估計是來自於相同母體，但不同的隨機樣本計算而得
- 顯示抽樣的變異性，呈現所有可能的點估計數值，也展現真正母體參數的位置
- 繪製方法：反覆在同一組母體中抽樣數次，計算每一組抽樣樣本
樣本分佈（a sample’s distribution）
- 僅僅是單一組樣本中所有數值的分佈
⚠️ 特別注意：抽樣分佈是來自於許多不同樣本，而樣本分佈只是單一樣本
標準誤（standard error） v.s. 標準差（standard deviation）
- 標準誤（standard error）是一種標準差（standard deviation），特別指抽樣分佈（sampling distribution）的標準差
- 所有的標準誤都是一種標準差，但是標準差不一定是標準誤
中央極限定理（Central Limit Theorem）
在現實世界中，我們只會使用一組樣本推論母體參數（population parameter），而能夠使用這種方法的原因是建立在中央極限定理上。
這邊談的是 sampling distribution of point estimates
中央極限定理
- 隨著樣本數增加，抽樣分佈會更趨於常態分佈，且其變異會變小，換而言之，標準誤會變小
- 和原本母體的分佈無關！
- 此抽樣分佈的中心會是真實的母體參數
值得注意的是，中央極限定理並非永遠可行，在使用之前要先確認三件事：
- 樣本的數量是否足夠大
- 樣本的抽樣是否具有獨立性
- 樣本是否具有隨機性
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