Monty Hall Problemi

Monty Hall problemi bugüne kadar ciddi anlamda tartışmalara neden olmuş bir olasılık problemidir. Açıkçasını söylemem gerekirse net bir şekilde doğru yanıtlayan görmedim bu problemi. Bence problemi okuduktan sonra siz de çözüme bakmadan biraz düşünün çünkü oldukça keyifli bir problem.

Biraz Tarih

Monty Hall problemi adını Let’s Make a Deal yarışmasının sunucusu Monty Hall’den alır. Aslında problem, 1975 yılında The American Statistician dergisine Steve Selvin tarafından yollanmış ve çözülmüştür.

Problem ilk ününü 1990'da Parade adlı bir dergideki “Marylin’e Sor” köşesine gönderilen bir okur mektubuyla alır. Köşenin yazarı Guinness Rekorlar Kitabı’na göre dünyanın en yüksek IQ’ya sahip insanı Marilyn vos Savant’tır. Marilyn vos Savant elbette doğru bir yanıt vermiştir bu probleme.

Köşede yayınlanan bu yazıdan sonra da yaklaşık 10000 kişi Savant’ın yanlış yanıt verdiğini belirten mektuplar yollamıştır.

Problem

Şimdi bir yarışma programındasınız ve üç kapı var. Bu üç kapıdan birinin arkasında araba diğer ikisinin arkasında keçi var.

Sunucu sizden bir kapıyı seçmenizi istiyor. Siz de bir kapı seçiyorsunuz ve geriye iki kapı kalıyor. Eğer seçtiğiniz kapının arkasında araba varsa kazanacaksınız.

Sonrasında sunucu bir şans daha vermek istiyor. Geriye kalan iki kapıdan birini açıyor. Elbette sunucu burada arabanın hangi kapının arkasında olduğunu biliyor ve size arkasında keçi olan bir kapı açıyor. Şu anda seçiminizi değiştirir misiniz, değiştirmez misiniz? Başta 3 kapı vardı şu anda biri açıldı ve geriye iki kapı kaldı. Bu iki kapıdan birinin arkasında keçi, diğerinin arkasında araba var.

Çözüm

Eğer biraz düşündüyseniz burayı okumaya devam edebilirsiniz :)

Artık çözümden bahsetmeye başlayacağım. Öncelikle basit bir mantık yürütülerek anlaşılacak çözümü açıklayayım.

İki adet durum var değil mi? Ya seçtiğiniz kapıyı değiştirirsiniz ya da seçtiğiniz kapıda ısrar edersiniz.

Seçtiğiniz kapıda ısrar ettiğiniz durumu inceleyelim.

Başta üç kapıdan birinin arkasında araba vardı. Arkasında araba olan kapıyı seçme ihtimaliniz 1/3. Değil mi? Sonrasında sunucu seçmediğiniz iki kapıdan birini açtı ve siz seçiminizi değiştirmek istemediniz. Bu durumda sunucunun açtığı kapı hiç birşeyi değiştirmedi ve araba olan kapıyı seçme olasılığınız hala 1/3.

Seçtiğiniz kapıyı değiştirdiğiniz durumu inceleyelim.

Bu sefer sondan gelelim. Seçtiğiniz kapıyı değiştirirseniz kazanabilmeniz için oyunun başında arkasında keçi olan kapıyı seçmeniz gerekirdi. Oyunun başında arkasında keçi olan bir kapı seçme olasılığınız 2/3'tü. Sunucu kapılardan birini açıyor ve arkasından keçi çıkıyor. Şimdi seçiminizi değiştirip arkasında araba olan kapıyı bulmanız demek 2/3.

Kafanız karıştıysa son kısmı tekrar düşünün. Seçiminizi değiştirerek kazanmanız için öncesinde seçtiğiniz kapının arkasında keçi olması gerekiyor ki diğer kapının arkasında araba olsun. Çünkü oyunun ortasında seçenek sayınız ikiye iniyor. Başta arkasında keçi olan kapıyı seçme ihtimaliniz de 2/3'tü. Şimdi de araba olan kapıyı seçme ihtimaliniz 2/3.


Ben bu problemle derste tanışmıştım. Ders sırasında basit bir kod yazarak bu problemi çözmüş ve aynı sonuçları elde etmiştik. Biraz araştırınca iyi matematiksel çözümler de buldum ve hepsi de yukarıdaki sonucu veriyordu. Problem çok eski ve o yıllarda aksinin doğru olduğunda ısrar eden insan sayısı olması çok doğal. Ama bence tek ve en doğru çözüm yukarıda anlattığım durum.