De qué hablamos cuando hablamos de teoremas…
[Este texto forma parte del libro Te Regalo un teorema, de Pablo Groisman & Gofel]
Conseguir Te regalo un teorema
La elegancia de un teorema es directamente proporcional al número de ideas que se pueden ver en él, e inversamente proporcional al esfuerzo que lleva verlas.
George Pólya
Para el último Día del Padre recibí una especie de botellón muy ancho en su base, hecho de un hermoso cristal. O tal vez era un florero. ¿O será que es un recipiente para guardar la leche en la heladera? Pero la base es muy ancha como para eso. Como sea, la caja decía “decantador”. Yo me sigo preguntando qué es lo que me regalaron. Tal vez a vos te esté pasando lo mismo con este libro y, además de preguntarte cómo describir lo que tenés en tus manos, te preguntás
¿Qué es un teorema?
Pregunta de difícil respuesta. Una búsqueda rápida en Google arroja las primeras impresiones. Según Wikipedia, “en matemática y lógica, un teorema es un enunciado no evidente cuya veracidad ha sido demostrada ya sea sobre la base de axiomas aceptados o sobre la base de enunciados que ya han sido establecidos como verdaderos (otros teoremas). Un teorema es entonces una consecuencia lógica de los axiomas, siendo su demostración un argumento lógico que establece su verdad a través de las reglas inferenciales de un sistema deductivo. Esto contrasta con la noción de ley científica, que es eminentemente experimental”. Bla, bla, bla. Perfectamente cierto. No es tan claro cuánto ayuda. De hecho, se parece a decir que El Quijote es un conjunto de oraciones, formadas por palabras, que a su vez están formadas por letras. Perfectamente cierto. No parece estar contando todo sobre el asunto.
Alfred Rényi decía que “un matemático es una máquina de convertir café en teoremas”. Su compañero de aventuras, Paul Erdős, amaba esa frase y casi que la hizo propia. Ambos formaron parte de la increíble escuela húngara que deslumbraba al mundo con sus hazañas. La frase de Rényi ayuda un poco más. ¿Qué es un teorema? Es lo que hacen los matemáticos. Sirve. No termina de resolver nuestro intríngulis, pero sirve. Erdős y Rényi escribieron juntos decenas de artículos, todos ellos repletos de teoremas. Pero esos teoremas solitos no alcanzan para cuantificar el valor de sus contribuciones. Algunos de esos artículos terminaron convirtiéndose en piedras fundacionales para diversas áreas de la matemática, a veces a partir de teoremas ahí contenidos, pero también a través de preguntas, problemas sin resolver, teoremas a medias, conjeturas, argumentos heurísticos. Una de esas áreas es lo que en el mundo de la matemática llamamos “grafos aleatorios”. Es un área que se ocupa del estudio de grandes redes, como las redes sociales. Erdős y Rényi no conocían Facebook ni Twitter, pero sentaron las bases matemáticas para poder estudiar y entender la dinámica de esas redes y de muchas otras (de moléculas, de neuronas, de proteínas). El famoso artículo seminal de Erdős y Rényi fue publicado en 1959*, y consta tan solo de ocho páginas. Hasta el inicio de este siglo, había recibido menos de cien citas. La cantidad de citas recibidas por un artículo suele usarse (y abusarse) en la comunidad científica para darse una somera idea del impacto que puede haber tenido. No es infalible, pero muchas veces sirve para aproximarse. En ese artículo, Erdős y Rényi enunciaron y demostraron un hermoso teorema, pero el gran valor del manuscrito está más en la idea de considerar a los grafos aleatorios como objeto matemático, de estudiarlos y utilizarlos como herramienta para resolver otros problemas, que en el teorema puntual. Esa idea nos sigue dando motivos para rompernos la cabeza en la actualidad. Cada vez más. Al día de hoy, ese mismo artículo recibió más de 20.000 citas. Cosas de la matemática.
Buena parte de los y las matemáticas hacemos teoremas. Si bien es cierto que esa es nuestra búsqueda permanente, también es cierto que eso está lejos de ser satisfactorio como descripción completa de nuestra actividad, nuestra motivación y nuestra última meta. La matemática
se trata de entender. De entender profundamente. Tan profundamente como seamos capaces. Los teoremas, sus demostraciones, la búsqueda incesante de nuevos enunciados valiosos, para luego intentar responder si son plausibles de convertirse en teoremas o si deben morir en el intento, son una gran guía para ordenar esa búsqueda desesperada por entender. Pero también son mucho más que eso. Un teorema es la certeza por excelencia. ¿De cuántos hechos podemos estar más seguros que cuando sumamos dos números pares, dará un número par, de que hay infinitos números primos (Teorema de Euclides) o de que en todo triángulo rectángulo la suma de los cuadrados de sus catetos
es igual al cuadrado de la hipotenusa (Teorema de Pitágoras)? Y no solo eso. Un teorema es un hecho comunicacional descollante. Tanta información, tanto conocimiento, tanto trabajo, tanto para transmitir, resumido en unas pocas líneas. Pocos comunicadores se atreven a aspirar a tanto. Un teorema es también, a veces, un hecho artístico. El arte tiene el don de transmitir ideas, conceptos y emociones con una contundencia que pocas disciplinas pueden igualar. Un hecho artístico puede lograr transmitir más que cientos de páginas escritas no ficcionales. La matemática
también es capaz de hacer eso. Y lo hace justamente a través de sus teoremas. Bertrand Russell decía:
“La matemática, vista correctamente, posee no solo la verdad, sino una belleza suprema, una belleza fría y austera, como la de la escultura, sin apelar a ninguna parte de nuestra naturaleza más débil, sin los hermosos adornos de la pintura o la música, pero sublimemente pura y capaz de una perfección severa como solo el arte más grande puede mostrar”.
Si la matemática se asemeja en algo al arte, los teoremas son sin dudas las obras de arte. Así que los teoremas se emparentan con esas obras en su posibilidad de generar belleza, pero también lo hacen en su capacidad comunicacional.
Este libro es un compendio de teoremas: teoremas para disfrutar de su belleza, teoremas para organizar nuestro conocimiento, teoremas para comunicar con precisión, teoremas para estar seguros, teoremas para aprender, teoremas para entender, teoremas para enseñar, teoremas para pensar, teoremas para más teoremas.
#TeRegaloUnTeorema
Conseguir Te regalo un teorema
* Edgar Gilbert propuso un modelo casi idéntico en simultáneo y en forma independiente. Unos años antes, en 1957, Hammersley y Broadbent también consideraron ciertos grafos aleatorios, pero con otras motivaciones.
