Desigualdad isoperimétrica
Entre todas las figuras planas de perímetro dado L,
la que tiene mayor área es el círculo.
(¿por qué las pompas de jabón son redondas?)
[Este texto forma parte del libro Te Regalo un teorema, de Pablo Groisman & Gofel]
Conseguir Te regalo un teorema
Es decir, si nos dan un alambre y nos piden que le demos forma para encerrar la mayor cantidad de área posible, conviene hacer una circunferencia. Se lo llama también “problema de Dido”, fundadora y primera reina de la ciudad fenicia de Cartago, en Túnez.
Según la leyenda, Dido llegó al actual golfo de Túnez allá por el siglo VIII antes de nuestra era y pidió que le dieran tanta tierra como la que se pudiera encerrar con la piel de un toro. Aceptado el pedido, cortó la piel de un toro en largas y finas tiras y con ellas encerró la mayor superficie posible: la ciudad de Cartago.
El problema de Dido es en realidad un poco distinto –pero muy relacionado–, porque la ciudad de Cartago se extendía sobre la costa del Mar Mediterráneo y entonces la pregunta de Dido era cuál es la figura que debemos construir para obtener la mayor cantidad de área posible con un arco que va desde un punto de la costa hasta otro. La respuesta es que, si la línea costera es una
recta, lo mejor es hacer un semicírculo.
Así de viejo es el problema, y ya en la Antigua Grecia sabían que la respuesta era el círculo, gracias a un tal Zenodorus, pero su demostración llegó recién a mediados del siglo XIX de la mano de J. Steiner, que en el camino inventó un método que dio lugar a toda una estrategia para resolver muchísimos problemas.
Pero… pará, pará pará. La demostración de Steiner tampoco estaba del todo bien, al menos para los parámetros actuales. Steiner demostró que si había una solución al problema tenía que ser un círculo, mostrando justamente que una figura óptima debía ser tan simétrica que solo un círculo podría lograrlo. Pero le faltó demostrar que existía una solución al problema.
Hoy sabemos muy bien que podría pasar (no es lo que pasa, pero una demostración que se precie debe mostrar que efectivamente no pasa) que haya una sucesión de figuras planas que van teniendo cada vez más y más
área pero que no haya ninguna que sea la que mayor área tiene. De hecho, eso es lo que pasa si nos preguntamos por la figura que debemos construir
para encerrar la menor área posible. Los invito a pensar cómo podrían construir figuras bidimensionales con un área tan chica como quieran, todas con el mismo perímetro.
En el camino, antes de que Steiner nos regalara su hermosa prueba, pasó lo que suele pasar con los grandes problemas. Tal vez sea exactamente eso lo
que los hace grandes. El intento de demostración de la desigualdad isoperimétrica motivó el desarrollo del cálculo de variaciones, un área fundamental de la matemática actual para resolver problemas intrínsecos de la disciplina pero también de la física, la ingeniería, la economía y muchas más. ¿Los protagonistas? Un tal Leonard Euler, los hermanos Johann y Jacob Bernoulli
y el joven Lagrange, con sus diecinueve añitos.
El cálculo de variaciones vino como corolario obligado del desarrollo del cálculo infinitesimal desarrollado por Leibniz y Newton, y llegó para cambiar nuestras vidas para siempre. Me animo a decir que nuestro mundo no sería ni por asomo como lo conocemos hoy sin él. No soy el único. Esencialmente, trata de resolver problemas de optimización como los que se estudian en los cursos de análisis pero en donde las variables son objetos más generales: curvas, funciones, superficies, conjuntos, etc.
La desigualdad isoperimétrica tiene también versión 3D (y 4D, 5D, etc.), que dice que si queremos encerrar mucho volumen con una sábana, lo mejor es hacer una pelota. O al revés, si queremos encerrar un volumen fijo, usando la menor cantidad posible de globo, lo mejor es hacerlo redondo. Por eso las gotas de lluvia y las pompas de jabón son redondas. La naturaleza es sabia. O no sé si sabia, pero al menos la tensión superficial (las moléculas en el borde de la gota “quieren” juntarse) lleva a que se minimice el área de la superficie que las encierra. Y la única forma de que eso pase, de acuerdo con este teorema, es tomando una forma redonda.
Además de la versión 3D, la desigualdad isoperimétrica se ha extendido a muchos otros contextos: esferas, superficies más complicadas, grafos y espacios más abstractos* . Se ha vuelto una herramienta indispensable para estudiar muchos fenómenos como, por ejemplo, el comportamiento de un caminante aleatorio, que sirve a la vez para modelar innumerables situaciones en física, biología, finanzas y mucho más.
*Las y los matemáticos usamos la palabra espacio para referirnos a la representación euclideana de espacio físico representando cada ubicación con tres coordenadas pero también lo aplicamos a otros conjuntos de elementos o puntos conectados según criterios muy diversos. Así es que consideramos, por ejemplo, espacios de funciones, espacios de conjuntos, espacios de posibles juegos de Tetris, espacios de posibles movimientos en el cubo mágico, espacios formados por otros espacios, etc.
