Teorema.
El número √2 es irracional.
[Este texto forma parte del libro Te Regalo un teorema, de Pablo Groisman & Gofel.]
Conseguir Te regalo un teorema
Dedicado a Hippasus, matemático pitagórico que murió en el mar ahogado por los dioses por divulgar la existencia de números irracionales.
Antes de empezar, algunas aclaraciones: cuando hablamos de números enteros nos referimos al conjunto de números naturales a los que les agregamos el 0 y los negativos -1, -2, -3, etc. Un número es racional si se puede escribir como el resultado de dividir dos números enteros, y es irracional si no es racional. De ahí la racionalidad de su nombre “irracional”.
Ahora bien, los pitagóricos creían que todos los números podían escribirse como el resultado de dividir dos números enteros. Es decir, creían que todos los números eran racionales. Pero justamente gracias al teorema de Pitágoras, encontraron que la diagonal de un cuadrado cuyos lados miden 1 debía ser un número que elevado al cuadrado sea igual a 2, ya que 1²+1²=c². Ese número es lo que hoy llamamos “raíz cuadrada de 2”.
La leyenda cuenta que este descubrimiento los sorprendió enormemente y decidieron ocultarlo, pero Hippasus divulgó su existencia y por eso fue ahogado en el mar por los dioses. Aunque hay bastante confusión sobre la veracidad de este acontecimiento.
Fíjense que demostrar que un número es racional parece ser mucho más fácil que demostrar que es irracional. Mientras que para lo primero solo hay que exhibir los dos números enteros en cuestión, para lo segundo hay que probar que NO es posible escribirlo como la división de dos números enteros.
¿Cómo se hace eso? Una técnica que suele usarse para demostrar teoremas es lo que se llama “demostración por el absurdo”. Consiste en asumir que lo que uno quiere demostrar no es cierto y, a partir de razonamientos lógicos, llegar a una contradicción lógica. Algo absurdo. Si todas las argumentaciones lógicas son correctas, esa cosa absurda que obtuvimos solo puede provenir de haber supuesto lo que supusimos. Y eso quiere decir que nuestra suposición es falsa. Por lo tanto, lo que asumimos como no cierto es cierto. Mejor veámosla en acción antes de que se me lengua la trabe.
Demostración.
Recordemos que los números pares son aquellos que son divisibles por 2, o dicho de otra forma, que pueden ser escritos como 2 por un número entero (si es divisible por 2 quiere decir que al dividirlo por 2 nos da un número entero, y por lo tanto nuestro número se obtiene multiplicando ese número por 2).
Supongamos que √2 es un número racional. Entonces, deben existir dos números enteros que llamamos p y q tales que √2=p/q. Si √2=p/q entonces 2=p²/q², y entonces 2q²=p². Es decir, que p² es par. Pero, para eso, p tiene que ser par: fíjense que, si p fuera impar, p² sería impar también. Pero si p es par, p² tiene que ser múltiplo de 4. Piénsenlo.
Ahora bien: si p² es múltiplo de 4 y 2q²=p², entonces q² también tiene que ser par, porque q²=p²/2 y al dividir un múltiplo de 4 por 2, obtenemos un número par. Si q² es par, entonces q es par (ya lo vimos antes con p eso).
Uf. ¡Esto de razonar por el absurdo es absurdo! Bah, no sé si absurdo pero al menos agotador. Un cachito más. Si p y q son ambos pares, podemos simplificar la fracción
p/q dividiendo arriba y abajo por 2. Entonces podemos escribir √2=r/s. Con r=p/2 y s=q/2. Tanto r como s son números enteros, porque p y q son pares, pero cada uno es la mitad de su antecesor. Viene el clímax…*
¡Volvamos a empezar! Hacemos el mismo razonamiento y simplificamos la fracción; y una vez más, y otra más, etc. Podemos seguir simplificando indefinidamente. Entonces, tanto p como q pueden ser divididos por 2
tantas veces como queramos. ¡Pero esto es absurdo! Claro que sí. Y proviene justamente de suponer que
podíamos escribir √2 como el resultado de dividir dos números enteros. Por lo tanto, esto no es posible.
Q.E.D.
Conseguir Te regalo un teorema
*Avisar de la llegada al clímax suele ser la mejor manera de arruinarlo (bueno, no siempre), pero vale la pena ese sacrificio para hacer notar que una buena demostración tiene estos momentos. Como la música, el teatro, la literatura o las pelis.
