Teorema de Euclides
Hay infinitos números primos.
[Este texto forma parte del libro Te Regalo un teorema, de Pablo Groisman & Gofel.]
Conseguir Te regalo un teorema
La infinitud de los números primos está en el corazón mismo de la matemática. Es un hecho fundamental, simple de enunciar y con una demostración relativamente accesible. Pero su validez no es evidente, y por lo tanto sí es evidente que requiere una demostración. Es casi todo lo que uno puede querer de un teorema. Por eso, este es el primer regalo del libro.
Hay una enorme cantidad de demostraciones diferentes de este teorema, y siguen apareciendo nuevas. Casi todas ellas tienen algo distinto para enseñarnos. Acá va la primera, que nos regaló a su vez Euclides hace más de dos mil años. Si bien se cree que la demostración no es de él, aparece en el Libro XIX de su gran obra Los Elementos.
Antes de eso, algunas aclaraciones.
• Los números naturales son el 1, 2, 3, … etc.
• Un número es divisible por otro cuando al hacer la división obtenemos un número natural. Por ejemplo, 10 es divisible por 5. Decimos también, para simplificarnos la vida, que 5 divide a 10.
• Entre los números naturales, los números primos son los que solo son divisibles por ellos mismos y por 1. El nombre “primo” no es casual. Viene del latín y significa “primero”, “al principio”, “en el comienzo” y cosas parecidas.
• Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17… y el más grande conocido hasta el momento es 2⁸²⁵⁸⁹⁹³³ − 1*, que no es el último porque, como probaremos ahora, hay infinitos. Es solo el más grande que conocemos nosotros. Hasta hoy.
• A los números naturales que no son primos los llamamos compuestos.
Entonces, si un número es compuesto, podemos dividirlo por otro número, que a su vez puede ser primo o compuesto. Si el resultado es compuesto, podemos volver a dividirlo. Repitiendo esta operación, siempre llegamos a un número primo. Por ejemplo, 24 es compuesto porque es divisible por 8, que también es compuesto porque es divisible por 4, que es compuesto porque es divisible por 2, que es primo. Así que 24 es divisible por el número primo 2. También por 3, pero con el 2 ya nos bastaba.
Demostración.
Ahora sí: vamos a demostrar que en cualquier lista finita de números primos, necesariamente hay al menos uno que falta. Y eso solo puede pasar si hay infinitos de ellos. Tomemos un conjunto cualquiera pero finito de números primos. Vamos a imaginar que son el 2, el 3, el 5 y el 7, pero presten atención, porque que en el razonamiento que haremos no usaremos nunca el hecho de que es un conjunto de cuatro números ni que los números son el 2, el 3 el 5 y el 7. El razonamiento que haremos es válido para cualquier conjunto finito de números primos.
Consideremos un número q, que es el producto de todos ellos más uno (q=2·3·5·7+1). ¿Qué sabemos por el momento sobre q? Sabemos que es mayor que 1, distinto de todos los primos de la lista y más grande que todos ellos, ya que surge de multiplicarlos a todos entre sí y sumarles 1. El número q puede ser primo o compuesto. Si es primo, tendremos un número primo que no está en el conjunto original. Voilà. Si, por el contrario, es compuesto, hacemos como hicimos con el 24 y deducimos que q es divisible por algún número primo que llamaremos p.
Síganme en este razonamiento: si tenemos dos números que son divisibles por un mismo número x, cuando los restamos obtenemos un tercer número que también es divisible por x. Así, por ejemplo, la diferencia entre dos números pares, que son divisibles por 2, siempre va a ser otro número par. Ergo, divisible por 2. Entonces, si p fuera alguno de los primos de la lista, el número q-2·3·5·7 debería ser divisible por p. Pero sabemos muy bien que esa diferencia es 1. Y también sabemos muy bien que el número 1 no es divisible por ningún número primo. Por lo tanto, p no está en la lista.
La consecuencia directa es que el conjunto que escogimos no contiene todos los números primos, y esto es independiente del conjunto finito que tomemos. Es decir, que siempre que armemos una lista finita de números primos, podremos encontrar uno que no está ahí. Y esto, créase o no, solo puede pasar si hay infinitos números primos.
Q.E.D.
Conseguir Te regalo un teorema
* Fue descubierto en diciembre de 2018 por Patrick Laroche en el marco de GIMPS, proyecto colaborativo dedicado a la búsqueda de números primos desde 1996.
