Teorema de Oresme

¿Cuántas pizzas son infinitas porciones?

Teorema. La serie armónica diverge.

[Este texto forma parte del libro Te Regalo un teorema, de Pablo Groisman & Gofel.]

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En matemática usamos la palabra serie para describir una suma de infinitos términos. Este tipo de sumas aparecen en innumerables problemas y situaciones. La primera reacción ante ellas podría ser pensar que, siempre que sumemos infinitos términos positivos, obtendremos infinito. Porque, ¿cómo puede ser que sumando infinitas cosas obtengamos una cantidad finita?

Esta creencia está en el corazón de las famosas paradojas de Zenón.* Fijate que si tomás la serie geométrica, que consiste en sumar ½+¼+⅛+ . . ., la cuenta te va a dar uno. ¿Cómo es eso? Agarrá un segmento de longitud 1. Quedate con la mitad, a la otra mitad partila en dos mitades y quedate con una, a lo que queda partilo en dos mitades y quedate con una, … y así. Seguí haciéndolo infinitas veces. ¿Con cuánto te quedaste? Es justo la suma de arriba. No dejaste nada, te quedaste con todo
el segmento. Entonces, esa suma da 1.

Tal vez este argumento no te convenza por completo de que la suma da 1, pero al menos sí de que no puede ser mayor que 1. Es decir, de que da un número finito. Entonces me dirás: “¡Ah! Qué vivo, si sumás cosas que son cada vez más chiquitas y al final son casi cero, es como no sumar nada y entonces da un número finito”.

Bueh, no. Ni lo uno, ni lo otro. Puede dar finito o puede dar infinito, y hay que demostrarlo en cada caso.

Determinar el resultado de una suma infinita puede ser un problema sumamente difícil, y de hecho solemos conformarnos con saber si la suma da infinito o, por el contrario, da un número finito. En el primer caso, decimos que la serie diverge, y en el segundo, que converge. La serie armónica es una suma muy especial. Es la que se obtiene de sumar 1+½+⅓+¼+ …

Lo que dice nuestro teorema es que esta suma da infinito.
Vamos a lo concreto.

Si tenemos infinitas pizzas y decidimos quedarnos con la mitad de la primera pizza, la cuarta parte de la segunda, la octava de la tercera, etc., nos quedaremos al final de este proceso infinito con 1 pizza en total. En cambio, si nos quedamos con la primera pizza entera, la mitad de la segunda, la tercera parte de la tercera, etc., al final del día nos quedaremos con infinitas pizzas. O mejor dicho, nos quedaremos con infinitas porciones que, si las juntamos, forman el equivalente a infinitas pizzas. ¿Qué promo preferís?
Por suerte, en el siglo XIV, cuando Nicole Oresme lo demostró, no había computadoras, porque si hubiera habido, lo habrían “calculado” con la compu –como hacemos ahora con un montón de cosas que no sabemos demostrar matemáticamente– y habrían llegado a la conclusión –erró-
nea– de que da un número finito. Probalo con tu compu si no me creés.

Va de vuelta. Si te preguntan si la suma 1 +½+⅓+¼+ . . . da un número finito o por el contrario da infinito y, como te da fiaca pensar, o no sabés la respuesta ni se te ocurre cómo encararlo, o lo que sea, decidís empezar a sumar con la calculadora, o haciendo un programita en la compu, que te podría sumar fácilmente los primeros diez millones de términos, o 100 millones o un millón de millones (bueno, un millón de millones ya no le resulta tan fácil que digamos) y querés sacar conclusiones sobre la base de lo que observás, vas a llegar a la conclusión –equivocada– de que da finito.

Eso pasa porque, si bien la suma se va haciendo cada vez más grande a medida que vamos sumando más y más términos, crece tan despacito que no podemos distinguir si va a terminar dando infinito o si se va a estabilizar en una cantidad finita. Pero resulta que ese tan despacito no es taaan despacito. Es lo suficientemente rápido como para que la suma total sea infinita. El tema es que eso no vamos a poder resolverlo con una compu.

Encima, como Oresme no tenía métodos avanzados, como el cálculo infinitesimal de Leibniz y Newton, que es la herramienta que solemos usar hoy para demostrar este teorema –pero que se inventó tres siglos después–, no le quedó otra que hacer una demostración elemental, que acá les dejo de regalo.

Demostración. Antes que nada, vamos a agrupar los términos. El primer grupo es el primer término solito, el segundo son los siguientes dos, el tercero son los siguientes cuatro, y así. ¿Cuánto aporta cada grupo?

El primero aporta 1, el segundo es ½+⅓; aporta más que ½. El tercero es ¼+1⁄5+1⁄6+1⁄7; como todas las fracciones contribuyen 1⁄7 o más, la suma aporta más que 4 veces 1⁄7, es decir, cuatro séptimos. Y eso es más grande que cuatro octavos, que es lo mismo que un medio. Y así… (te invito a escribir el siguiente grupo de ocho términos, que es más grande que ocho quinceavos, que es más grande que ocho dieciseisavos, etc.). Entonces tenemos infinitos grupos y cada uno de ellos aporta más que ½. Por lo tanto, el total tiene que dar infinito.

Q.E.D.

*Bueno, famosas entre los nerds, como quien escribe. Hay varias en la misma familia, como la de Aquiles y la tortuga o la que dice que si uno quiere ir hasta el final de un camino, primero debe recorrer la mitad del mismo; para recorrer la mitad restante, primero debe recorrer la mitad de la misma, es decir, la cuarta parte del camino original; para recorrer la cuarta parte que queda por recorrer, primero debe recorrer la octava parte del camino original y así ad infinitum, lo que nos lleva a concluir que nunca llegaremos al final del camino. Hoy sabemos muy bien que una suma de infinitas cosas puede dar un número finito si esas cantidades se hacen muy pequeñas rápidamente.