Teorema(s) de unicidad
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Un teorema de unicidad es uno que establece que hay a lo sumo un objeto que posee determinadas propiedades. Los más comunes son los que establecen la unicidad de la solución de una ecuación diferencial, como la del atractor de Lorenz, aunque también los hay para ecuaciones de las comunes y para muchas otras yerbas. En muchas ecuaciones no podemos “despejar” la solución y en esos casos se hace muy importante saber si hay una única solución (aunque nosotros no podamos despejarla) o si ese no es el caso. Estos teoremas son súper relevantes porque es muy común que queramos definir un objeto matemático por sus propiedades.
La raíz cuadrada de 2 es un número que al elevarlo al cuadrado da 2. Esa es su definición. De hecho, el número 2 tiene dos raíces cuadradas, ya que (-√2)² = (√2)² = 2. Entonces, si queremos tener unicidad, nos conviene definirla como el número positivo que al elevarlo al cuadrado da 2. Ese sí que es único. Cuestión que es muy importante saber si las propiedades requeridas definen unívocamente al objeto o no.
Nuestra abuela no es única, pero nuestra madre sí lo es. Eso en las denominadas y ya obsoletas –como tales– “familias tipo”.
Un caso muy especial son las soluciones de las ecuaciones porque en general uno logra establecer, con suerte, que determinado fenómeno obedece
a una ecuación. Newton decía F = m·a, Einstein E = m·c², Pitágoras a²+b²=c², … la lista es enorme.
Si la solución es única, estamos pipí cucú, hallamos la solución de nuestra ecuación y tenemos al objeto que describe el fenómeno. ¡Listo! Pero si no lo es, ¿cómo sabemos cuál de todas las soluciones es la que sirve para
describir nuestro fenómeno?
Los teoremas de unicidad maridan bárbaro con los teoremas de existencia. Los primeros garantizan que hay a lo sumo un objeto con las propiedades que le pedimos pero ¿hay al menos uno? Podría no haber ninguno. Para eso están los teoremas de existencia (hay al menos un número que elevado al cuadrado da 2, te invito a intentar demostrarlo, ;- ).
Algunos teoremas de unicidad famosos son:
- Teorema fundamental de la aritmética: todo número natural tiene una única factorización en números primos.
- Teorema de Picard-Lindelöf de unicidad de ecuaciones diferenciales ordinarias.
- Teorema de punto fijo de Banach (es el próximo).
- Teorema chino del resto.
- Teorema de unicidad de la serie de Fourier.
- Teorema de unicidad de jugadores de fútbol que hayan ganado un mundial y en el camino hayan marcado el mejor gol de la historia de los mundiales luego de haber hecho un gol con la mano. Con la mano de Dios.
