Teoremita de Gauss
1 + 2 + 3 + · · · + n = n(n+1)/2
[Este texto forma parte del libro Te Regalo un teorema, de Pablo Groisman & Gofel.]
Conseguir Te regalo un teorema
Cuenta la leyenda que, cuando tenía alrededor de 7 años, el pequeño Carl Friedrich Gauss se portó mal en la escuela. De castigo, su maestro lo mandó a sumar todos los números del 1 a 100. A los pocos segundos el niño respondió: 5050.*
Parece que Carl Friedrich se avivó de que en vez de hacer 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + 100, le convenía hacer (1 + 100) + (2 + 99) + (3+98) + . . . + (50 + 51), ya que cada uno de estos términos da 101. Como en total son 50 términos, la suma total da 1 + 2 + 3 + . . . + 100 = 101 . 50 = 5050.
Le decimos “teoremita” porque es una pavada al lado de la obra del propio Gauss, que incluye el teorema fundamental del álgebra, el teorema de Fermat para n=5, la conjetura de Kepler para arreglos regulares (ver más adelante), el método de cuadrados mínimos (¡para errores gaussianos!), la mismísima campana de Gauss, el teorema de la divergencia, el de Gauss-Bonnet y mucho más.
También se lo puede demostrar con este dibujito.
Fíjense que en este rectángulo de 10 ᐧ 11 cuadraditos pintamos 1 + 2 + 3 + ᐧ ᐧ ᐧ + 10 de ellos, y que eso viene a ser justo la mitad del total, que son 10 ᐧ 11, así que 1 + 2 + 3 + ᐧ ᐧ ᐧ + 10 = (10ᐧ11)/2. Pero el 10 no tiene nada de especial. Si en lugar de 10 y 11 usamos 100 y 101 o cualquier otro número que se te ocurra y el que le sigue, obtendremos la misma igualdad.
Una tercera demostración del teorema puede darse mediante hechos básicos de teoría de grafos. Un grafo es un conjunto de puntos (llamados también vértices o nodos) unidos por aristas; solemos escribir G=(V,E),
que significa que el grafo G es el que tiene a V como conjunto de vértices y a E como conjunto de aristas. Para cada uno de los nodos v del grafo, llamamos grado de v (y escribimos d(v)) a la cantidad de aristas que lo unen a otros vértices.
Teorema.
La suma de los grados de todos los vértices de un grafo es igual a dos veces la cantidad de aristas.
En este grafo, los grados son 1, 1, 2, 3, 2, 5, su suma da
1 + 1 + 2 + 3 + 2 + 5 = 14,
y tiene 7 aristas. Así que 2 ᐧ 7 = 14. Lo que dice el teorema es que esto mismo pasa en todos los grafos.
Demostración
Si sumamos todos los grados estamos contando a todas las aristas, pero a cada una la estamos contando dos veces, una vez por cada uno de sus extremos.
Q.E.D.
Con este resultado podemos dar una nueva demostración del teoremita de Gauss.
Demostración.
Si consideramos ahora un grafo de n + 1 puntos en el que cada uno de los vértices está unido a todos los demás (se lo llama “grafo completo”), tenemos que, por un lado, la suma de todos los grados es n(n + 1), ya que cada uno de los n+1 vértices está unido a los otros n.
Pero por otro lado, la cantidad de aristas es
n+(n -1)+(n-2)+ · · · + 3 + 2 + 1.
Eso es porque para contar las aristas debemos tener cuidado de no volver a contar nuevamente las que ya contamos. Empezamos entonces por un vértice y contamos las n aristas que salen de él, pasamos al siguiente, y como una ya la contamos, nos quedan n-1,
luego n-2, etc. Concluimos que
n(n + 1) = 2 (1 + 2 + 3 + ᐧ ᐧ ᐧ + n),
o lo que es lo mismo,
n(n + 1)/2 = 1 + 2 + 3 + ᐧ ᐧ ᐧ + n.
Q.E.D.
Vale la pena notar que esto mismo ocurre cuando contamos la cantidad de partidos que se juegan en un campeonato de todos contra todos, que podemos pensarlo como un grafo en donde ponemos un punto por cada equipo y una arista entre ellos que represente el partido que juegan entre ellos. Si tenemos en total n+1 equipos, podemos contar la cantidad total de partidos o bien multiplicando la cantidad de partidos que juega cada equipo (n) por la cantidad de equipos (n+1) y dividiendo por 2, porque así contamos cada partido dos veces, o bien sumando la cantidad de partidos jugados por el campeón (n), luego la cantidad de partidos jugados por el segundo (descontando el que jugó con el campeón, es decir n-1), luego la cantidad jugada por el tercero (descontando el que jugó con el primero y el segundo, es decir n-2), etc. Nuevamente,
n(n + 1)/2 = 1 + 2 + 3 + ᐧ ᐧ ᐧ + n.
* Es poco probable que la historia sea cierta y casi seguro que no lo es así como está contada acá, pero debe ser una de las historias no necesariamente ciertas más contadas en las clases de matemática. Así que siendo este un libro de regalos, podemos permitírnosla sin angustiarnos. Recuerden que a caballo regalado…
