2D Linear Equations

หมายเหตุ ผู้อ่านสามารถดู table of contents ของ Linear Algebra Recapได้ที่ http://bit.ly/2Oly2gz

เปิดบทความซีรี่ตัวใหม่กับ Linear Algebra Recap ซึ่งในซีรี่ผมตั้งใจเขียนขึ้นเพื่อบันทึกเนื้อหาที่ได้จากกการเรียน Linear Algebra ของ MIT สอนโดย Gilbert Strang ทาง youtube เพื่อที่ว่านอกจากจะเป็นการทบทวนของตัวผมเองแล้วหวังว่ามันจะเป็นประโยชน์กับคนอื่นบ้างไม่มากก็น้อย แต่ถ้าใครไม่ติดอะไรผมแนะนำให้เข้าไปดูต้นฉบับทาง youtube ดีกว่าครับเพราะคนสอนเทพมากในศาสตร์นี้ ซึ่งในตอนท้ายของแต่ละบทความผมจะแปะ Link ของ video ที่เขียนสรุปไว้ให้นะครับ โดยเหตุผลที่ผมต้องเริ่มต้นศึกษา Linear Algebra เนื่องจากในโลกของ Artificial Intelligence (AI) โดยเฉพาะ Deep Learning (DL) มีการประยุคใช้ Linear Algebra อย่างหนักหน่วงมาก การเข้าใจพื้นฐานเหล่านี้อย่างดีจะทำให้การศึกษา DL ไปได้ไกลขึ้น

เริ่มต้นกันด้วย Linear Equations ซึ่งการถอด Linear Equations สามารถทำได้ผ่านทาง 2 แบบ 2 มุมมอง คือ 1.มุมมองแบบ Rows 2.มุมมองแบบ Columns เราจะเริ่มต้นด้วยแบบ Row ก่อนนะครับ โดย Linear Equations ตามตัวอย่างใน video จะเป็น 2D space

เมื่อแยก unknown vector กับ known matrix ออกจากกันจะสามารถเขียนในรูปแบบใหม่ได้ว่า Ax = b

ในโจทย์นี้เรามาเริ่มหาเส้นแรกกันนั้นคือ 2x-y=0 ลองนึกขึ้นมาว่าเลขอะไรที่คูณด้วย 2 และลบกับอีก 1 ตัวเลขแล้วผลลัพธ์ออกมาเท่ากับ 0 ผมจะลองเป็น x = 2 และ y = 4 พอแทนค่าในสมการแล้วจะได้ว่า (2 * 2) — 4 = 0 แจ่ม! ลงล็อกพอดีเลย แต่จริงๆแล้วมันมีหลายตัวเลขมากที่สามารถแทนค่าแล้วยังคงออกมาถูกต้องเช่นเดิมอย่างเช่น x = 3 และ y = 6 โดยวิธีนึงที่ง่ายต่อการดูค่าของตัวเลขทั้งหมดที่ลงตัวกับสมการนี้คือการเขียนกราฟ

กราฟเส้นแสดงตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแทนในสมการ 2x-y=0 ได้

จากรูปจะเห็นได้ว่าทุกจุด x และ y ที่เส้นสีแดงลากผ่านนั้นคือค่าตัวเลขทั้งหมดที่สามารถนำมาแทนค่าในสมการ 2x-y=0 ได้อย่างลงตัว

ต่อมาสมการที่ 2 คือ -x + 2y = 3 สิ่งที่เราต้องทำก็เช่นเดิม คือหาว่าเราจะใส่ตัวเลขอะไรดีเพื่อให้สมการออกมาถูกต้อง เรามาลองเป็น x = -3 และ y = 0 ก็จะแทนค่าออกมาว่า -(-3) + (2 * 0) = 3 ซึ่งก็ออกมาได้อย่างถูกต้อง ถัดมาลองอีกสะ 1 ตัวเลขเป็น x = 1 และ y = 2 แทนค่าออกมาเป็น -1 + (2 * 2) = 3 จากนั้นลองนำชุดตัวเลขทั้ง 2 ชุดมาเขียนเป็นกราฟก็จะได้ออกมาตามรูปด้านล่างนี้ โดยทุกจุดที่เส้นลากผ่านนั้นก็คือค่าตัวเลขทั้งหมดที่สามารถนำมาแทนค่าในสมการได้

กราฟเส้นแสดงตัวเลขทั้งหมดที่สามารถแทนในสมการ-x + 2y = 3 ได้

เมื่อเราได้เส้นของชุดตัวเลขที่สามารถแทนค่าในสมการทั้ง 2 ตัวได้แล้วสุดท้ายให้ลองใส่ทั้ง 2 เส้นในกราฟเดียว

กราฟของทั้ง 2 สมการข้างต้น

จะเห็นได้ว่ามีเพียง 1 จุดเท่านั้นที่ทั้ง 2 เส้นตัดการพอดีนั้นคือ x = 1 และ y = 2 ซึ่งตัวนั้นดังกล่าวคือ unknown vector ใน สมการ Ax = b ของเรานั้นเอง โดยเขียนใหม่ได้ว่า (2*1) + ((-1)*2) = 0 และ ((-1) * 1) + (2 * 2) = 3 แจ่ม!

Ax= b

ที่ผ่านมาข้างต้นเราถอด Linear Equations ด้วยมุมมองแบบ Rows ทีนี้เราลองมาดูในมุมมองแบบ Columns โดยใช้โจทย์เดิมกันบ้างนะครับ ซึ่งก็สามารถเขียนออกมาดังรูปด้านล่าง โดยเราเรียกรูปแบบแบบนี้ว่า Linear Combination of Columns

ต่อมาที่เราต้องทำคือหา unknown scalar ซึ่งในที่นี้คือ x และ y แต่ด้วยว่าข้างต้นเราได้ตัวเลขซึ่งเป็น 1 ในชุดตัวเลขที่เหมาะสมที่ลงตัวกับการหาค่า b แล้วเราจะลองนำค่านั้นมาใช้งานเพื่อดูรูปแบบของ Linear Combination of Columns กัน ส่วนกระบวนการหาค่า unknown scalar จริงๆเราจะมาทำความเข้าใจในบทความต่อๆไป

เราจะเริ่มต้นด้วยการ plot 2 columns นั้นคือ column1 [2 1] , column2 [-1 2]

เนื่องจาก column1 ต้องทำการคูณด้วยค่า x ก่อนจึงจะทำการบวกด้วยผลลัพธ์ที่ได้จากการคูณของ cloumn2 แต่ด้วยในตัวอย่าง x มีค่ากับ 1 ฉะนั้น column1 จึงอยู่ในตำแหน่งเดิม และเนื่องจาก column2 คูณด้วย y ที่มีค่าเป็น 2 ซึ่งพูดอีกอย่างคือ ต้องเคลื่อนที่จากตำแหน่ง column1 ด้วย step [-1 2] จำนวน 2 ครั้ง เรามา zoom ดูการเครื่องที่ในแต่ละ step กันนะครับ

step 1
step 2

ซึ่งหลังจากทำการเคลื่อนที่จากตำแหน่ง column1 ด้วยการบวกด้วยค่าที่เป็น 2 เท่าของ column2 ก็จะมาหยุดที่ตำแหน่ง [0 3] พอดีซึ่งจะตรงกับค่า output ของ equations

มาถึงตรงนี้เราก็ได้เห็นภาพของ 2D Linear Equations กันแล้วทั้ง 2 แบบทั้งแบบ Row และ Column ในบทความต่อไปเราจะมาดูเรื่อง 3D Linear Equations กันนะครับ

หากท่านใดมีข้อสงสัยหรือคำชี้แนะใดๆสามารถฝากข้อความได้ที่ https://www.facebook.com/coeffest/ นะครับ ขอบคุณมากครับที่ติดตาม

References

Video Source:

https://www.youtube.com/watch?v=ZK3O402wf1c

Tools:

www.matheretter.de

www.sciweavers.org

www.desmos.com/calculator