3D Linear Equations เบื้องต้น

หมายเหตุ ผู้อ่านสามารถดู table of contents ของ Linear Algebra Recapได้ที่ http://bit.ly/2Oly2gz

ในบทความนี้เราจะดูรูปแบบการจัดการกับ 3D Linear Equations กันนะครับ โดยเริ่มจากโจทย์ที่จะใช้เป็นตัวอย่างกันก่อนนะครับ

ขั้นแรกเราลองมาแปลงโจทย์ดังกล่าวให้อยู่ในรูปแบบของ Rows กันเหมือนที่เราได้เห็นกันไปใน 2D Linear Equations ซึ่งจะออกมาได้ว่า

เรามาเริ่มกันที่ equation ตัวแรกกันนั้นก็คือ 2x-y=0 หรือถ้าแปลงให้อยู่ในรูปแบบ 3D ก็จะได้ว่า 2x-y+0z=0 โดยสมการนี้สามารถสร้างกราฟได้ทั้ง 2D และ 3D โดยที่สมการยังคงเป็นจริง เนื่องจากค่าในแกน z จะเป็น 0 เสมอ ซึ่งเมื่อเขียนกราฟในรูปแบบ 2D จะออกมาได้ดังนี้

ซึ่งก็จะเหมือนกับในบทความ 2D Linear Equations ที่ผ่านมาว่า เส้นสีแดงดังกล่าวจะวิ่งผ่านทุกจุดที่สามารถแก้สมการข้างต้น เช่นจากรูปเส้นได้วิ่งผ่านจุด x = 5 และ y = 10 เราลองมาทดสอบกันนะครับว่าจะแก้สมการได้ลงตัวหรือไม่

จะเห็นได้ว่าออกมาลงตัวพอดี ทีนี้ลองมาดูในรูปแบบ 3D กันบ้างนะครับ ซึ่งเมื่อทำการแสดงผลจากที่เคยเป็นเส้นตรง ก็จะกลายมาอยู่ในรูปแบบของ plane ตามรูป (รูปที่นำมาแสดงผลอาจจะมองในรูปแบบ 3D ได้ไม่ชัดนัก ถ้าผู้อ่านอยากมองเห็นว่า plane ในแบบ 3D เป็นอย่างไร แนะนำว่าให้เข้าเว็บ https://www.geogebra.org/3d?lang=en จากนั้นให้ใส่ a:Plane(2x-y=0) ในช่อง input ด้านซ้ายก็จะได้รูป plane ออกมาดังภาพ)

จากรูปผู้อ่านคงเห็นแล้วว่า plane คือแผ่น แผ่นนึงที่แสดงผลผ่านทุกจุดของทั้ง 3 แกนที่สามารถแก้สมการข้างต้นได้

ถัดมาเรามาดูสมการที่ 2 กันคือ -x + 2 y — z = -1 ซึ่งในสมการตัวนี้แกน z จะเข้ามามีบทบาทมากขึ้น ทีนี้เราต้องทำการหาตัวเลขของทั้ง 3 แกนที่ใส่ในสมการแล้วออกมาลงตัวพอดี วิธีที่ 1 เราทำการสุ่มเลือกตัวเลขนึงมาที่ทำการสมการออกมาลงตัวเช่น x = 1 , y = 0.5 , z = 1 ซึ่งลงตัวพอดี -1*1 + 2 * 0.5–1*1 = -1 ซึ่งคำตอบต่อไปแล้วมีชุดตัวเลขอื่นไหมที่ใส่แล้วสมการลงตัวแบบนี้ คำตอบคือมีครับโดยทำการสร้าง plane จากชุดตัวเลขข้างต้นเราก็จะได้ plane ที่ครอบคลุมทุกจุดที่ใส่ได้ลงตัว วิธีที่ 2 เป็นวิธีที่ผมชอบมากสุด (เพราะง่าย) ขึ้นแรกเปิดเว็บ https://www.geogebra.org/3d?lang=en จากนั้นในช่อง Input ใส่สมการเข้าไปเลยครับ จากนั้น plane ก็จะออกมา

จากนั้นให้เปิดหน้า tools ขึ้นมาโดยกด icon ด้านขวาของชุด icons ซ้ายบนของหน้าจอตามรูป

ขั้นต่อไปให้ทำการเลือกเครื่องมือที่ชื่อว่า Point เพื่อทำการ point จุดลงบน Plane ของเรา ซึ่งจากตัวอย่างในรูปด้านล่างเราได้ทำการสุ่ม point 2 จุดด้วยกันคือจุด A และ B

เลือกเครื่องมือที่ชื่อ Point
point จุด A และ B

จากนั้นทำ icon algebra ด้านซ้ายของ icon Tools ดังรูป

ในหน้า algebra นี้เราก็จะเห็นว่าได้มีข้อมูลของตำแหน่งจุด A และ B ที่เราได้ทำการ point จุดไปดังนี้

เท่านี้เราก็จะได้ชุดตัวเลขที่สามารถใส่ในสมการได้อย่างลงตัวกันแล้ว เรามาลองทดสอบกันดีกว่า ว่าจะลงตัวจริงไหมโดยเริ่มจากจุด A = (x: 0.03, y: -0.46, z: 0.05) เมื่อใส่ในสมการก็จะได้ว่า -1*0.03 + 2 * -0.46–1 * 0.05 = -1 ลงตัวพอดี แต่ถ้าแม้วิธีนี้จะง่ายและสะดวก ผมพบว่าตัวเว็บบ่อยครั้งมีความผิดพลาดเรื่องการคำนวนความแม่นยำของตัวอยู่บวกลบ 0.01 จึงไม่แนะนำทางดีเท่าไร ถ้าจะนำไปใช้งานจริง

ถัดมาก็มาถึงสมการที่สุดท้ายโดยผมขอข้ามขั้นตอนการหานะครับ เพราะขั้นตอนจะเหมือนกับการหาของสมการที่ 2 ทุกประการ ซึ่งเราจะข้ามมาดูบทสรุปของการหาค่า coefficients ทั้ง 3 ค่ากันเลย โดยจากที่เราได้เห็นในบทความที่แล้วกันแล้วว่าค่า coefficients ของ 2D เกิดจากจุดที่ตัดกันของเส้น 2 เส้น และใน 3D ก็เช่นกัน คือค่า coefficients ที่เราต้องการจะอยู่ในจุดที่ ทั้ง 3 plane มีการตัดการพอดี ซึ่งจะได้ออกมาว่าคือจุดที่ x=0,y=0,z=1 ดังรูปด้านล่างซึ่งเมื่อนำค่าดังกล่าวใส่ในสมการทั้ง 3 ก็จะออกมาลงตัวทุกสมการพอดี

จุดตัดของ 3 planes คือ x=0,y=0,z=1

จบไปแล้วสำหรับการแก้สมการมุมมองแบบ Rows ต่อไปเราจะมาดูการแก้สมการ 3D โดยอาศัยมุมมองแบบ Columns กันบ้างนะครับ เริ่มจากแปลงสมการให้อยู่ในรูปแบบของ Linear Combination of Columns

Linear Combination of Columns Form

แค่มองในมุมมองนี้ท่านผู้อ่านก็จะสังเกตได้ว่า vector ด้านขวาของเครื่องหมาย = เหมือนกับ vector ตัวที่ 3 ซึ่งถ้าเราไม่คิดอะไรมาก ก็ทำให้ 2 vector แรกเป็น 0 ให้หมดแล้วนำ vector ที่ 3 มาเป็นคำตอบได้เลยซึ่งก็คือคูณด้วย 1 ผลที่ออกก็จะได้ว่าแทน x = 0,y = 0,z = 1 ซึ่งก็เหมือนกับคำตอบที่ได้จากการหาจุดตัดของ 3 planes ที่เราได้จากการแก้สมการโดยใช้มุมมองแบบ Rows ไปก่อนหน้านี้

หากท่านใดมีข้อสงสัยหรือคำชี้แนะใดๆสามารถฝากข้อความได้ที่ https://www.facebook.com/coeffest/ นะครับ ขอบคุณมากครับที่ติดตาม

References

Video Source:

https://www.youtube.com/watch?v=ZK3O402wf1c

Tools:

http://www.sciweavers.org/free-online-latex-equation-editor

https://www.geogebra.org/3d?lang=en