O que é jogo de soma-zero (jogo justo)?
O estudo das probabilidades foi motivado pelo desejo que os jogadores tinham de entender os mecanismos do acaso, os quais operam de forma subjacente aos jogos de azar e, a partir disso, encontrar meios de calcular os riscos, chances de vitória e ganhos esperados. A literatura sobre o tema é vasta e igualmente fascinante — há uma mística em se estudar história da teoria da probabilidade e do risco, causa fascínio.
Muitos dos princípios probabilísticos inerentes aos jogos de azar estão presentes no mercado de ações — a especulação e o risco são dois exemplos; portanto, entender esses princípios básicos sob um ponto de vista mais simples, como de um jogo de cara ou coroa, ajuda quando se deseja fazer a extensão para casos mais complexos, como o mercado de capitais (acredite, é possível fazer isso!).
Um jogo justo — ou jogo de soma zero — é definido em termos dos ganhos esperados. Um jogo de soma zero é equilibrado, ou seja, os apostadores têm chances iguais de vencer ou perder em cada rodada, em decorrência disso, o ganho esperado de cada jogador é zero, ao final do jogo, cada um está com a mesma quantia que possuía no começo.
Suponhamos que João e Maria são irmãos e gostam de um joguinho pra passar o tempo. Eles concordam em jogar cara e coroa valendo 1,00 a rodada, isso significa dizer que quando Maria vence a rodada, João lhe paga 1,00 e quando João vence a rodada, Maria lhe paga 1. Ao jogar a moeda, suponhamos que Maria escolha cara. X representa a quantia que ela ganha/perde na rodada, quando o resultado for cara, X(cara)=1 (ganho) e se o resultado for coroa então X(coroa)=-1 (perda).
Agora, suponha que a moeda seja honesta, sendo assim, a probabilidade de sair cara em um lançamento é igual a de sair coroa. Dizer que a moeda é honesta equivale a dizer que o seu resultado, ao ser lançada, não favorece a nenhum dos lados.
Como estamos falando que João e Maria vão apostar dinheiro no jogo, há de se supor que eles tenham dinheiro. Portanto, definimos Fj e Fm como a quantidade de dinheiro que cada um deles possui, antes de começar a jogar e suponhamos também que Fj=Fm. Considere que ao final do jogo, as fortunas de João e Maria serão incrementadas pelo dinheiro ganho por cada um deles no jogo. Como essa quantia exata é uma variável aleatória, podemos considerar o seu valor esperado (i.e, ganho esperado). Mas o valor esperado de X é zero, portanto temos o resultado abaixo.
Ou seja, ao final de um jogo de soma zero, para um número suficientemente longo de rodadas, a riqueza ESPERADA dos jogadores é a mesma que tinham no começo.
Mas note que estamos falando de resultado esperado, não o resultado exato, lembre-se que o resultado exato é uma variável aleatória. Observe a figura abaixo, nela supomos que Fm=Fj=500 e depois de 250.000 repetições, a fortuna média de Maria segue a curva em azul.
Agora, façamos duas mudanças no jogo. Primeiro (1), façamos Fj=60 e Fm=50, depois, supondo que João escolha cara, (2) façamos a moeda viciada com probabilidade de dar cara em 60% das jogadas.
Como resultado da mudança em (1), a probabilidade de vitória de João subiu de 0,5 para 0,54 (em média), considerando 10 simulações de 1000 repetições cada, com média de número de rodadas em torno de 250.000. Mantendo Fm=Fj, e aplicando a hipótese (2), nesse cenário, João vence, em média, todos os jogos, para um número suficientemente grande de rodadas. Observe que, uma moeda viciada favorece um dos jogadores, sobretudo se jogarem muitas rodadas, no limite, o lado favorecido pelo viés da moeda vencerá.
Além disso, pode-se dizer que, em um jogo de soma zero, o qual só termina quando alguém fica sem dinheiro, aquele jogador que tiver maior fortuna inicial terá uma vantagem competitiva.
A fortuna acumulada de um jogador em um jogo de soma zero é um processo estocástico do tipo martingale; se o jogo favorecer um dos lados, então estamos falando de um processo supermartingale ou submartingale. Mais tarde, quando abordarmos esse tópico, o assunto discutido aqui será retomado.
Abaixo temos o código usado na simulação (em linguagem R).
