Planos de pensão: uma modelagem matemática.

No texto anterior, onde falamos sobre fundo de pensão, foi abordado um modelo simples do que seria a ideia básica de um plano de pensão. Vamos recapitular o exemplo apresentado.

Imagine que Bastian Balthazar Bux — ou Bux, para os íntimos — , como podemos chamá-lo, é um funcionário de uma companhia que manufatura papel. Ele trabalha há 15 anos nessa empresa e agora está com 45 anos. A diretoria executiva da companhia decidiu que, com o objetivo de assegurar a aposentadoria de Bux, serão “provisionados” para ele 20,00 por mês para cada ano trabalhado, até que Bux esteja com 65 anos, idade com a qual irá se aposentar, dando início ao recebimento do benefício que lhe será pago pelo resto de sua vida.

Bux faz as contas, ele está com 45, até os 65 são (65–45) anos o que dá um total de 20 anos de trabalhos futuros, mais os 15 anos que ele já trabalhou na companhia, terá um total de anos trabalhados, aos 65, de 20+15=35 anos. Considerando que cada ano trabalhado acrescentará 20,00 ao valor mensal que deverá receber ao longo de sua aposentadoria, isso daria uma aposentadoria mensal de 20x35 = 700,00.

Com base nos dados apresentados no exemplo, construímos um modelo algébrico:

Onde, de acordo com o exemplo, b=20, a=15 e p=20, resultando uma F(15,20,20) = 700.

Agora que recapitulamos a situação, vamos discorrer com maior profundidade sobre um plano de pensão, o qual, como foi dito na ocasião do outro texto, é um modelo matemático que determina quanto um aposentado irá receber periodicamente durante sua aposentadoria. Com o objetivo de deixar esse modelo mais próximo do que seria um plano de pensão mais realista, vamos introduzir um pouco mais de informação, mas sem perder o foco, mantendo a ideia original em mente, à guisa de um facho de luz para alumiar o trajeto.

Como vamos estudar a fórmula de um plano de pensão, não vamos abordar a questão da fonte de financiamento, contribuições, etc., esse tópico será tratado em outro momento.

Pensemos na fórmula apresentada, como foi dito b=20 é o valor que será provisionado — reservado — pela empresa para o pagamento da pensão de Bux. Foi dito que, para cada ano de trabalho de Bux, somar-se-á 20,00 ao valor de seu benefício de aposentadoria pago mensalmente. Agora considere que a empresa não mais vai reservar 20,00, mas sim um valor que é função do salário anual de Bux, ou seja, o valor provisionado pela empresa vai depender do salário de Bux, ao longo de seus anos de trabalho. Suponha que Bux, aos 45 anos, trabalhando na empresa, receba um salário de s= 20.000,00 por ano, atualmente. Digamos agora que o valor provisionado, não é mais 20 fixo, mas uma proporção do salário anual, proporção esta que será denotada pela letra z, note, como é uma proporção, z está entre 0 e 1.

Agora, considere z=0.001 e s = 20.000,00:

Ótimo, encontramos os mesmos 20,00. Fizemos o primeiro passo para deixarmos nosso modelo mais próximo da realidade. Vejamos como fica nosso modelo original, incluindo essa pequena mudança.

Excelente, não? Agora, o empregador de Bux definiu que o valor que vai ser reservado para compor seu benefício vai depender de seu salário anual, nada mais justo. Pense no problema que seria manter b=20 fixo. Bux trabalha mais, se esforça, passa a receber mais, mas sua aposentadoria não aumentaria em decorrência de seu esforço. Qual o problema disso: ao final de sua vida laboral, Bux sofreria uma queda no seu poder aquisitivo, pois, mesmo que estivesse recebendo um alto salário, sua aposentadoria estaria sendo calculada com base nos mesmos 20,00 durante toda a sua vida laboral, fazendo com que, ao se aposentar, ele trocasse um salário alto por um benefício mais baixo, o que seria péssimo para Bux. Note que, em nosso novo modelo, quanto maior for o salário de Bux, maior será o valor da provisão de seu benefício, já que b(z,s) e F(a,b,p) são funções de coeficiente linear (por enquanto).

E por falar em poder aquisitivo, precisamos incluir em nosso modelo um modo de atualizar o salário anual de Bux para repor a inflação, além de ajustar os aumentos salariais decorrentes da produtividade e aumento de competência técnica. Para isso, suponha que a empresa de Bux tenha um plano de cargos e salários, lá consta que, todo o ano o salários serão ajustados anualmente, em 3%, com o objetivo de repor inflação e adicionar o reajuste de categoria. Vamos assumir que Bux não vá mudar de cargo, para simplificar as coisas.

Aqui vamos tomar a liberdade de assumir que o leitor saiba o que é capitalização instantânea. É algo parecido com juros compostos, só que ao invés de os juros serem calculados mensalmente ou anualmente, por exemplo, eles são calculados instantaneamente — isso é um recurso teórico valioso que simplifica as coisas, sobretudo no futuro, quando formos tratar de Valor Presente Atuarial.

Agora, como incluir isso em nosso modelo? Simples, inclui-se o fator de atualização com capitalização contínua:

Como p representa o tempo de trabalho futuro, para cada p, a nossa função retorna o valor mensal para um benefício de aposentadoria ao qual Bux teria direito a partir do momento em que se aposentar, considerando que naquele instante Bux conta com (a+p) anos de serviço. Lembre-se que a é a contagem de tempo anterior de serviço, antes de a empresa chegar para Bux e lhe falar que, a partir daquele momento, sua aposentadoria será implantada, ou seja, os valores começaram a ser provisionados.

Suponhamos que Bux — que agora conta com a idade n=50 anos — , saia do trabalho antes de completar a idade de aposentadoria — em nosso exemplo 65 anos. Ele não poderia perder o seu direito adquirido até então sob pena de ter que começar tudo de novo em algum lugar, portanto ele teria direito ao valor que já foi provisionado para ele. Quanto seria esse valor mensal? Considerando todos os dados anteriores, mais o fato de que, como Bux está com 50 anos, então p=5 e substituindo na fórmula, temos:

Ou seja, assumindo, por simplificação, que ao sair da empresa aos 50 Bux passaria a receber aprovisão mensal a que tem direito, iria receber então 464,73 por mês (isso é uma simplificação grosseira, na pratica não é assim que funciona). Se se aposentar aos 65, receberia, por mês:

Note que o valor da aposentadoria aumentou em relação ao exemplo original, antes era 700!!! Isso aconteceu por conta da introdução do mecanismo de ajuste do salário e do fato de o plano de pensão incorporar essa melhoria.

A fórmula que encontramos é um modelo de plano de pensão bem mais realista que aquela apresentada no texto sobre fundos de pensão. E deve ser dito que tornar um modelo mais realista não quer dizer aumentar sua complexidade, mas torná-lo mais adequado a realidade, portanto, é a realidade que é complexa, os modelos são sempre uma simplificação da realidade.

Conforme os anos passam, o valor mensal do benefício de Bux aumenta, exponencialmente, conforme a figura abaixo. Vamos ver o que acontece com essa figura se mudarmos alguns parâmetros.

Se aumentarmos z para z=0.005, Bux se aposentaria recebendo mais de 6000,00 por ano. Se, ao invés disso, o salário de Bux, aos 45 anos, aumentasse para 30000, ele se aposentadoria recebendo quase 1900,00 por mês. É sempre delicado o aumento de salários, porque isso aumenta em muito o valor da provisão, por conta do modelo ser exponencial, isso inclusive, será abordado quando falarmos de déficit atuarial. Alterar z é sempre delicado, pois ele terá maior impacto no custo das aposentadorias para o fundo de pensão.

O modelo desenvolvido nesse texto será utilizado em próximos textos, sobretudo quando formos falar sobre valor presente atuarial, deficit atuarial e reserva matemática.

Recomendação de leitura sobre o tema:

Rotar, Vladimir I. Actuarial models: the mathematics of insurance. CRC Press, 2014, cap. 11

Anderson, Arthur W. Pension mathematics for actuaries. Actex Publications, 2006.