Assioma della scelta e insiemi non misurabili

(non rigoroso, ma senza formule!)

Una teoria matematica si basa sempre su degli assiomi, cioè degli enunciati il più possibile semplici che si postulano come veri e che serviranno come punto di partenza per tutte le dimostrazioni. La teoria nella quale si pone implicitamente la maggior parte del mondo matematico è la teoria degli insiemi, chiamata teoria ZF (Z sta per Ernst Zermelo e F per Abraham Fraenkel). Questa teoria possiede, a seconda di come viene presentata, da 8 a 10 assiomi.

Si può citare per esempio, l’esistenza di un insieme vuoto:

Un insieme privo di elementi è detto insieme vuoto e si indica con {} o con ∅

o quella di un insieme infinito:

Un insieme infinito è costituito da un numero infinito di elementi.

Si può parlare anche dell’assioma della coppia, che permette di costruire un nuovo insieme a partire da due insiemi dati:

Dati due insiemi A e B, possiamo trovare un insieme C i cui elementi sono esattamente A e B.

o dell’assioma delle parti, che permette di costruire l’insieme delle parti di un insieme dato:

Se consideriamo un insieme A formato da n elementi e tutti i possibili sottoinsiemi, compreso il vuoto e A stesso, l’insieme di questi insiemi viene chiamato insieme delle parti.

Gli assiomi della teoria ZF permettono di costruire quasi tutti gli oggetti matematici e di dimostrare i teoremi ad essi correlati. Per esempio, per costruire i numeri interi, una delle procedure classiche consiste nel partire dall’insieme vuoto, che farà da 0. Con l’assioma della coppia, si può costruire un insieme che riunisce l’insieme vuoto con se stesso, il che darà un insieme contenente un unico elemento. Questo insieme farà da 1. Per il numero 2, si costruisce grazie all’assioma della coppia un insieme con due elementi distinti: 0 e 1. Continuando questo procedimento, si otterranno tutti gli interi naturali.

Così, nella teoria degli insiemi, tutti gli oggetti matematici sono degli insiemi. Per esempio, un triangolo nel piano è un insieme di punti. Un punto è un insieme ordinato di due numeri reali, e i numeri reali si costruiscono a partire dai numeri interi, che sono stati anch’essi costruiti grazie agli assiomi. La costruzione dei numeri reali è molto complicata, e qui non ne parliamo.

Certamente non c’è bisogno di tutto ciò per la matematica elementare. Si può senza difficoltà calcolare il risultato di 6×7 senza dover passare per la definizione insiemistica dei numeri interi, ma ciò non impedisce che qualsiasi risultato matematico si basa su meno di una dozzina di verità non dimostrate.

Esiste tuttavia un assioma, comparso nel 1904 ad opera di Zermelo,, che si aggiunge talvolta alla teoria ZF, che prende allora il nome di ZFC: l’assioma della scelta (choice in inglese, choix in francese):

Data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.

A grandi linee, questo assioma enuncia che se si dispone di un insieme composto di insiemi non vuoti, si potrà costruire un nuovo insieme con degli elementi provenienti da ciascuno degli insiemi interni. Detto altrimenti, si può affermare che se dispone di un comò che ha diversi cassetti non vuoti, l’assioma dice che è possibile prendere un oggetto da ciascuno dei cassetti. Ciò sembra evidente se si pensa a un comò in una casa, ma diventa più complicato quando un comò possiede infiniti cassetti, e ogni cassetto contiene infiniti oggetti indiscernibili (indistinguibili per proprietà o relazione).

Questo assioma è piuttosto contestato, ed è proprio per questo che lo si pone sempre a parte dagli altri assiomi della teoria degli insiemi. Un primo motivo di contestarlo è che, diversamente dagli altri assiomi, non è completamente evidente. Il principale ostacolo consiste nel fatto che, mentre gli insiemi sono costruibili all’infinito, l’assioma della scelta enuncia l’esistenza di insiemi che sono in pratica difficili da costruire. E ciò é piuttosto fastidioso: basta ricordare che, secondo Georg Cantor, un

«Insieme è una collezione di oggetti qualsiasi, ben definiti e distinguibili, che fanno parte della nostra intuizione e del nostro pensiero».

Tale definizione è matematicamente corretta, perché le parole «ben definiti e distinguibili» rappresentano implicitamente un criterio di scelta.

Una classica illustrazione dovuta a Bertrand Russell fa intervenire un numero infinito di paia di scarpe. Esiste un metodo di scegliere una scarpa da ciascuna di queste paia? Dato che le due scarpe di un paio sono distinte, basta dire che si prende ogni volta la scarpa destra, e il gioco é fatto. La stessa domanda fatta per un numero infinito di paia di calze, tuttavia, non porta alla stessa risposta, perché é impossibile distinguere una calza destra da una sinistra. Sarà necessario allora scegliere caso per caso una calza per paio, il che non é possibile per un insieme infinito a meno di utilizzare l’assioma della scelta.

Il secondo dubbio che solleva la discussione sull’assioma della scelta è che i teoremi che implica sono talvolta controintuitivi. Esiste, ad esempio, il teorema di Banach-Tarski che consente di duplicare degli oggetti geometrici per semplice suddivisione, ma anche gli insiemi di Vitali, dei sottoinsiemi della retta dove non esiste più il concetto di lunghezza.

Parliamo allora di questo concetto di lunghezza o, più generalmente, della misura. Per degli oggetti unìdimensionali come gli estremi di un segmento, ciò che chiamiamo misura sarà allora la lunghezza del segmento. Per gli oggetti bidimensionali, la misura corrisponderà alla loro area o alla loro superficie. Per degli oggetti tridimensionali, la misura corrisponderà al loro volume. In realtà, il concetto di misura è un po’ più sottile, ma teniamo a mente che si tratta di un numero positivo che, a seconda dei casi, sarà uguale a una lunghezza, a un’area o a un volume.

Prendiamo per esempio il segmento unità, che corrisponde all’intervallo dei numeri compresi tra 0 e 1. Poiché questo intervallo è di lunghezza 1, la sua misura è uguale a 1. Se dividiamo questo intervallo in due parti uguali, otteniamo due segmenti di lunghezza 0,5. La misura totale è dunque due volte 0,5, cioè sempre 1. La nostra divisione non ha cambiato la misura di questo oggetto.

Altra suddivisione. Mettiamo da una parte il punto di ascissa 0,5 e dall’altra il resto. Poiché un punto non ha lunghezza, la sua misura è uguale a 0. Dall’altra parte abbiamo due segmenti di lunghezza ½, quindi la loro misura, cioè la lunghezza totale, è sempre uguale a 1. In effetti, togliere un unico punto da un intervallo non cambia la sua misura; questo oggetto rimane perciò di lunghezza 1. Se togliamo un secondo punto succederà la stessa cosa. Si può quindi togliere qualsiasi numero finito di punti a un intervallo senza cambiarne la misura. Un gruppo di punti isolati possiede sempre una misura totale uguale a 0.

E se mettiamo da una parte un numero infinito di punti? In questo caso le cose si complicano un po’. Dividiamo dunque l’intervallo in un modo più raffinato. Mettiamo da una parte tutti i punti dell’intervallo che corrispondono a un numero decimale, cioè i numeri che possono essere scritti con un un numero finito di cifre dopo la virgola, come 0,25 o 0,55 o 0,46. Dall’altra parte restano i punti che non corrispondono ai numeri decimali finiti, come ⅓, π-3 o √2–1, ecc. Abbiamo allora da una parte un insieme di punti decimali. Questo insieme viene detto “numerabile”, cioè che è possibile elencarne gli elementi. Infatti esiste la possibilità di ordinarli in modo d’avere un primo, un secondo, un terzo è così via.

Un insieme viene detto numerabile se i suoi elementi sono in numero finito oppure se possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali.

Se un insieme numerabile possiede un numero infinito di elementi, viene detto infinito numerabile, e, dato che può essere messo in corrispondenza biunivoca con i numeri naturali, si può dire che un insieme è infinito numerabile se ha la cardinalità di N. Si può dimostrare che ogni sottoinsieme infinito di un insieme numerabile è anch’esso numerabile, e che ogni insieme infinito contiene un sottoinsieme numerabile. Esempi di insiemi numerabili sono l’insieme dei numeri interi, quello dei numeri razionali o quello dei numeri primi.

Il più semplice esempio di insieme non numerabile è dato dall’insieme dei numeri reali, la cui non numerabilità è stata dimostrata per la prima volta da Cantor tramite il suo argomento diagonale.

La teoria della misura indica che un insieme numerabile di punti ha sempre una misura uguale a 0, poiché si può intuitivamente considerare un insieme numerabile come un insieme pieno di buchi. I punti sono in qualche maniera tutti isolati l’uno dall’altro, per cui la lunghezza totale dell’insieme è la somma delle lunghezze dei punti. Poiché la misura di ciascun punto equivale a 0, la misura totale è 0.

Il secondo insieme è invece non numerabile. I punti non possono essere separati gli uni dagli altri. I buchi dell’insieme esistono solo in apparenza. Essi non sono sufficienti a diminuire la sua misura. Questo insieme possiede una misura esattamente uguale a 1.

Continuiamo allora la suddivisione. Abbiamo da una parte i numeri decimali, e dall’altra i non decimali. Togliamo un nuovo insieme infinito numerabile, quello dei numeri decimali di forma ⅓+ x, dove x è un numero decimale. Ciò corrisponde ai numeri i cui decimali finiscono per un numero infinito di 3. Chiameremo questo insieme la classe d’equivalenza di 1/3, che contiene numeri come ⅓+0.1 o 0.124333… Diremo che ⅓ è un rappresentante di questa classe. Resta ancora un numero infinito di punti, che corrispondono ai non decimali e non appartengono alla classe di 1/3. Questo insieme possiede sempre misura 1, perché abbiamo tolto una parte numerabile.

Togliamo adesso la classe d’equivalenza di √2–1, cioè i punti che corrispondono ai numeri di forma √2–1+x, dove x è un numero decimale. Rimane sempre un numero infinito di punti, i non decimali che non appartengono né alla classe di 1/3 né a quella di √2–1. Ancora una volta, questo insieme misura 1.

Possiamo continuare a togliere tante classi di equivalenza di numeri quante ne vogliamo: non si esaurirà mai l’insieme iniziale, che non diminuirà mai la sua misura. In effetti si può, ma bisogna farlo un numero infinito di volte, e questo infinito dev’essere non numerabile. Solo che, per farlo, bisogna essere in grado di scegliere un rappresentante della classe a ogni tappa, e non esiste alcun mezzo di creare esplicitamente questa lista. Il solo mezzo per farlo è quello di utilizzare l’assioma della scelta, cioè riconoscere che la lista esiste ma senza poter dire a che cosa assomigli. L’assioma della scelta permette dunque di scegliere un rappresentante di ciascuna classe d’equivalenza, ma non fornisce esplicitamente questa lista.

Qual è la misura di questa lista di rappresentanti? Senza entrare nei dettagli, si può dimostrare che questo insieme non ha misura zero, ma si può ugualmente dimostrare che la sua misura non è esattamente più grande di zero. La sola via d’uscita è dire che il concetto stesso di misura non è applicabile a questo insieme. Questa lista di rappresentanti, chiamata insieme di Vitali, non può dunque essere matematicamente misurata. Si tratta di ciò che viene detto un insieme “non misurabile”: in genere, si costruiscono gli insiemi di Vitali a partire dai numeri razionali piuttosto che da quelli decimali, ma il risultato è lo stesso. Anche se le loro densità sono le stesse, intuitivamente si immaginano più buchi tra i decimali che tra i razionali. Più formalmente:

L’insieme di Vitali, che prende il nome dal matematico italiano Giuseppe Vitali, fornisce un esempio di sottoinsieme dei numeri reali. R che non è misurabile da nessuna misura che sia positiva. Per la costruzione dell’insieme di Vitali è indispensabile l’assioma della scelta.

In breve, è possibile costruire oggetti in cui il concetto stesso di lunghezza, di area, o di volume non può esistere. Questa cosa non sarebbe poi così grave se Banach e Tarski non se ne fossero impadroniti. Essi hanno dimostrato che, associando opportunamente più oggetti non misurabili, è possibile costruire dei nuovi oggetti che invece sono misurabili. Così sono giunti a suddividere una sfera piena in 5 pezzi di cui quattro non misurabili, che consentono di costruire due nuove sfere identiche a quella di partenza attraverso semplici rotazioni e traslazioni. Ma questa è un’altre storia e ce ne occuperemo un’altra volta.

Fonte:

Choux romanesco, vache qui rit et intégrales curvilignes : Deux (deux ?) minutes pour le théorème de Banach-Tarski, consultato il 16 ottobre 2016.