Christopher e almeno una mucca

Il quantificatore esistenziale

Christopher è il bambino affetto dalla sindrome di Asperger, una forma di autismo, protagonista del delizioso romanzo Lo stano caso del cane ucciso a mezzanotte di Mark Haddon (Einaudi, 2005), che spesso riserva qualche considerazione matematica. Eccone una, che riporto dall’edizione originale accompagnata dalla mia traduzione:

“And I realize that I told a lie in Chapter 13 because I said “I cannot tell jokes,” because I do know 3 jokes that I can tell and I understand and one of them is about a cow, and Siobhan said I didn’t have to go back and change what I wrote in Chapter 13 because it doesn’t matter because it is not a lie, just a clarification.

And this is the joke.

There are three men on a train. One of them is an economist and one of them is a logician and one of them is a mathematician. And they have just crossed the border into Scotland (I don’t know why they are going to Scotland) and they see a brown cow standing in a field from the window of the train (and the cow is standing parallel to the train).

And the economist says, “Look, the cows in Scotland are brown.”

And the logician says, “No. There are cows in Scotland of which one at least is brown.”

And the mathematician says, “No. There is at least one cow in Scotland, of which one side appears to be brown.”

And it is funny because economists are not real scientists, and because logicians think more clearly, but mathematicians are best”.

(Mark Haddon, The Curious Incident of the Dog in the Night-time, Doubleday, 2002)

“E mi rendo conto che ho raccontato una bugia nel Capitolo 13 perché ho detto “Non posso raccontare storielle”, perché io in realtà conosco 3 storielle che posso raccontare e io capisco e una di loro è su una mucca, e Siobhan* ha detto che non devo tornare indietro e cambiare quello che ho scritto nel Capitolo 13 perché non importa perché non è una bugia, solo una spiegazione.

E questa è la storiella.

Ci sono tre uomini su un treno. Uno di loro è un economista e uno di loro è un logico e uno di loro è un matematico. E loro hanno appena passato il confine con la Scozia (non so perché stanno andando in Scozia) e vedono dal finestrino del treno una mucca marrone ferma in un campo (e la mucca è ferma parallela al treno).

E l’economista dice, “Guardate, le mucche in Scozia sono marroni”.

E il logico dice, “No. Ci sono mucche in Scozia delle quali almeno una è marrone”.

E il matematico dice, “No. C’è almeno una mucca in Scozia, della quale un fianco appare essere marrone”

Ed è divertente perché gli economisti non sono veri scienziati, e perché i logici pensano più chiaramente, ma i matematici sono il meglio”.

*Siobhan (pron. Sciovan) è la insegnante di Christopher, che lo sta aiutando a scrivere un libro.

“At least one” (“almeno uno”) è il termine matematico che significa uno o più. Si usa nelle situazioni in cui l’esistenza può essere stabilita ma non si conosce come determinare il numero totale delle soluzioni. Se per un dato problema si può determinare almeno una soluzione, si può dire che esiste una soluzione per quel problema. In insiemistica e in logica ciò si indica con il quantificatore esistenziale ∃. Spesso i matematici cercano di provare l’esistenza di soluzioni (attraverso il cosiddetto teorema d’esistenza) e poi indagano sulla loro unicità (attraverso il cosiddetto teorema di unicità). Se si riesce a determinare che un dato problema ha una e una sola soluzione, si utilizza il quantificatore esistenziale di unicità ∃!. La forma di questi quantificatori è quella di una E maiuscola rovesciata, l’iniziale della parola inglese Exists (esiste).

Come avrebbe potuto formalizzare la sua frase il matematico sul treno diretto in Scozia? Forse, usando il linguaggio dell’insiemistica, avrebbe fatto così:

X = l’insieme delle mucche scozzesi

x = una mucca

m = ha un fianco marrone.

∃x∈X/m

“Esiste almeno una mucca x che appartiene all’insieme X delle mucche scozzesi che ha un fianco marrone m”.

Il logico, utilizzando la congiunzione ∧ (e), potrebbe formalizzare il concetto in questo modo:

∃x(Px ∧ Qx)

“Esiste almeno una mucca x tale che x è una mucca scozzese P e un animale con il fianco marrone Q”.

Sul fatto poi che gli economisti non siano dei veri scienziati, forse il nostro Christopher ha ragione.